Teorema lui Rolle

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teorema lui Rolle este o teoremă enunțată prima oară de Michel Rolle în 1691. Dacă f este o funcție definită pe un interval I și a și b două puncte din I (a < b) și dacă f este continuă pe [a , b], derivabilă pe (a , b), iar f(a) = f(b), atunci există un punct c, a < c < b, în care derivata se anulează, f'(c)=0.

Enunț teoremă[modificare | modificare sursă]

Fie . Dacă:

  1. este continuă pe intervalul închis  ;
  2. este derivabilă pe intervalul deschis  ;
  3. are valori egale la capetele intervalului, ),

atunci există cel puțin un punct din intervalul deschis , în care derivata se anulează,

.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Se analizează cazurile:

  1. Funcția este constantă pe intervalul închis . În acest caz , oricare ar fi și deci orice punct răspunde concluziei teoremei.
  2. Funcția nu este constantă. Cum este continuă pe un compact , atunci din Teorema lui Weierstrass este mărginită și își atinge marginile pe compact, adică există astfel încât

,

,

unde , sunt marginea superioară respectivă și marginea inferioară respectivă a lui . Deoarece nu este constantă, rezultă

.

Dacă punctul de minim se află în interiorul intervalului , atunci conform Teoremei lui Ferma

.

Deci luând teorema este demonstrată.

Dacă , deci coincide cu unul din capetele intervalului , atunci

.

În acest caz este clar că , punctul de maxim al lui , se află în interiorul intervalului . Din nou aplicând teorema lui Fermat se deduce

.

Deci și teorema este complet demonstrată.

Corolar[modificare | modificare sursă]

Fie , continuă pe , derivabilă pe și , unde sunt rădăcini pentru .

Atunci există cel puțin un punct astfel încât . Deci între două rădăcini ale funcției se află cel puțin o rădăcină a derivatei .

Interpretări[modificare | modificare sursă]

Interpretare geometrică[modificare | modificare sursă]

Teorema lui Rolle are o interpretare geometrică simplă. Din rezultă că tangenta la graficul funcției în punctul este paralelă cu axa Ox. Deci dacă cerințele Teoremei lui Rolle sunt îndeplinite, atunci pe graficul funcției există (cel puțin) un punct în care tangenta este paralelă cu axa Ox.

Interpretare fizică[modificare | modificare sursă]

Presupunem că este timpul și este coordonata unui punct, care se mișcă pe o dreaptă, la momentul . La momentul punctul are coordonata , apoi se mișcă într-un anumit mod cu viteza și se întoarce la punctul de plecare cu coordonata , la momentul . Este clar că pentru a se întoarce la punctul , el trebuie să se oprească la un anumit moment, adică la un anumit moment viteza este zero, .

Observații[modificare | modificare sursă]

  1. Teorema lui Rolle este o teoremă de existență.
  2. Toate cele trei cerințe din teorema lui Rolle sunt esențiale pentru ca teorema să fie adevărată. Dacă una din cele trei ipoteze nu se verifică, atunci concluzia teoremei nu mai are loc. Vom ilustra prin exemplele de mai jos acest lucru.

Exemplul 1[modificare | modificare sursă]

Fie funcția definită prin

Aceasta funcție verifică cerințele 2) și 3) din teoremă, dar nu verifică 1), adică nu este continuă la dreapta în . Deci nu este continuă pe . Avem , oricare ar fi și prin urmare , oricare ar fi .

Exemplul 2[modificare | modificare sursă]

Să considerăm , pentru care se verifică 1) (continuitatea pe intervalul ), 3) (), dar nu se verifică 2) întrucât nu este derivabilă în . Prin urmare, nu există punct intermediar în care , căci

Exemplul 3[modificare | modificare sursă]

Fie , . Aceasta funcție verifică 1), 2) din teoremă, dar nu verifică 3) (). Așadar nu există astfel încât deoarece , oricare ar fi .

Exemplul următor vine să atragă atenția că necesitatea ca domeniul de definiție al funcției să fie interval este esențială.

Fie ,

Evident este derivabilă pe și și totuși nu se anulează pe . Mulțimea de definiție nu este interval.

3. Nu trebuie să se tragă concluzia că derivata unei funcții nu se anulează în niciun punct dacă acea funcție nu satisface una una din condițiile teoremei lui Rolle. Nu avem decât să luăm ,

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Editura MathPress (Manual si culegere clasa a-XII-a - 4 ore)

Commons
Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de Teorema lui Rolle