Teorema cleștelui

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În analiza matematică, Teorema cleștelui sau criteriul cleștelui furnizează o condiție suficientă privind convergența unui șir.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Fie (an), (bn), (xn) trei șiruri cu proprietățile:

Atunci șirul (xn) este convergent și are limita a.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Fie ε>0, ales arbitrar. Cum va exista un rang astfel încât:

să fie îndeplinite condițiiile: și

De aici:

ceea ce arată că:

Exemplificare[modificare | modificare sursă]

Cu ajutorul criteriului cleștelui se poate calcula limita seriei:

Rezolvare

Se notează:

Se observă că:

(1)

Deoarece:

  și  

Prin urmare:

(2)

Din (1) și (2), aplicând criteriul cleștelui, rezultă: