Teorema cleștelui

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare

În analiza matematică, Criteriul majorării furnizează o condiție suficientă privind convergența unui șir.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Fie (an), (bn), (xn) trei șiruri cu proprietățile:

Atunci șirul (xn) este convergent și are limita a.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Fie ε>0, ales arbitrar. Cum va exista un rang astfel încât:

să fie îndeplinite condițiile: și
Din condițiile de mai sus avem: și .

De aici:

ceea ce arată că:

Exemplificare[modificare | modificare sursă]

Cu ajutorul criteriului majorării se poate calcula limita seriei:

Rezolvare

Se notează:

Se observă că:

(1)

Deoarece:

  și  

Prin urmare:

(2)

Din (1) și (2), aplicând criteriul majorării, rezultă: