Serie hipergeometrică fundamentală

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, prin serie hipergeometrică fundamentală, câteodată numită și q-serie hipergeometrică, se înțelege generalizarea q-seriilor analoage a seriei hipergeometrice ordinare. În mod uzual sunt definite două serii fundamentale: seria hipergeometrică fundamentală unilaterală și seria hipergeometrică fundamentală bilaterală.

Numele i-a fost dat prin analogie cu seria hipergeometrică ordinară. O serie ordinară este numită o serie ordinară hipergeometrică în cazul în care raportul dintre termenii succesivi este o funcție rațională de n. Dar dacă raportul termenilor succesivi este o funcție rațională de , atunci seria se numește serie hipergeometrică fundamentală.

Serie hipergeometrică fundamentală a fost luată în considerație pentru prima dată de Eduard Heine în secolul XIX, ca un mod de a capta caracteristicile comune ale funcției theta a lui Jacobi si ale funcției eliptice.


Definiție[modificare | modificare sursă]

Seria hipergeometrică fundamentală unilaterală este definită ca:

unde

este permutarea q-factorială. Cazul cel mai important se obține atunci când j = k+1, având forma:

Seria hipergeometrică fundamentală bilaterală corespounde seriei hipergeometrice bilaterale și este definită ca:

Cazul cel mai important se obține atunci când j = k, având forma:

Seria unilaterală poate fi obținută ca un caz special al celei bilaterale facând variabila b egală cu q, cel puțin atunci când nici una dintre variabilele a nu este o putere a lui q, caz în care toți termenii cu n < 0 vor dispărea.


Serii simple[modificare | modificare sursă]

Expresiile câtorva serii simple includ:



Identități simple[modificare | modificare sursă]

Cazul special este strâns legat de q-exponențial.

Identitatea lui Ramanujan[modificare | modificare sursă]

Ramanujan a dat următoarea identitate:

valabilă pentru și . Similar identitatea a fost dată de Bailey. Astfel de identități pot fi înțelese ca o generalizare a teoremei produsului triplu al lui Jacobi, care poate fi scris folosind q-serii:

Ken Ono a dat următoarea serie de puteri formală:


Referințe[modificare | modificare sursă]