Parte întreagă și parte fracționară

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare

Se definește partea întreagă și partea fracționară a unui număr real astfel: Fie x un număr real.

  1. Se numește parte întreagă a lui x cel mai apropiat întreg mai mic sau egal cu x.
  2. Se numește parte fracționară a lui x diferența dintre număr și partea lui întreagă.

Definiția este sugerată de axioma lui Arhimede: Pentru orice număr real x, există un număr întreg n, unic, astfel încât n ≤ x < n + 1.

Gauss a introdus notatia [1].

Notații[modificare | modificare sursă]

  • - partea întreagă a numărului real x.
  • - partea fracționară a numărului real x.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Proprietăți imediate[modificare | modificare sursă]

  • Partea întreagă a oricărui număr real este un număr întreg, adică , pentru orice

  • Orice număr întreg mai mic sau egal cu x este mai mic sau egal decât partea întreagă a lui x: ,
  • Partea întreagă a unui număr este egală cu numărul, dacă și numai dacă numărul este întreg, adică
  • Din Axioma lui Arhimede, rezultă inegalitatea părții întregi: Orice număr real este încadrat de doi întregi consecutivi,

adică pentru orice

,

de unde rezultă că

  • Partea fracționară a unui număr real este un număr pozitiv subunitar sau nul: , pentru orice
  • Partea fracționară a unui număr întreg este nulă: , pentru orice
Remarcă: Mulțimea numerelor reale se poate scrie ca reuniunea tuturor intervalelor care au capete numere întregi consecutive:

Alte proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Propoziția 1: Dacă , atunci
Demonstrație:
Din , cum este un număr întreg mai mic sau egal decât y, rezultă că , cum membrul stâng este un număr întreg și cel drept un număr real, rezultă
  • Propoziția 2: Partea întreagă a sumei a două numere reale este mai mare sau egală cu suma părților întregi ale fiecărui număr: , pentru orice
Demonstrație:
Din și , rezultă . Cum membrul stâng este un număr întreg și membrul drept este un număr real, rezultă că membrul stâng este mai mic decât partea întreagă a membrului drept:
  • Propoziția 3: Orice termen număr întreg al unei sume "se pierde" de sub partea întreagă: , pentru orice și
Demonstrație:
Fie . Se notează . La inegalitatea părții întregi se adună k în toți membrii: , ceea ce este echivalent cu . Așadar, numărul real este situat între doi întregi consecutivi, deci, .


  • Propoziția 4: Orice termen număr întreg al unei sume "iese" de sub partea fracționară: , pentru orice și
Demonstrație:
Fie .
  • Propoziția 5: Identitatea lui Hermite:
Demonstrație: Fie cu
  • Dacă x se află în prima jumătate a intervalului, adică: , se obține , deci . Așadar, (1).
, deci (2).
Din (1) și (2) rezultă .
  • Dacă x se află în a doua jumătate a intervalului, adica: , rezultă , deci , deci (3)
, deci (4)
Din (3) și (4) rezultă .

Funcția parte întreagă[modificare | modificare sursă]

Funcția , , pentru orice se numește funcția parte întreagă. Câteva proprietăți ale acestei funcții:

  • Monotonie - monoton crescătoare pe : Dacă , atunci .
  • Injectivitate - nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
  • Surjectivitate - este surjectivă, adică orice număr întreg este partea întreagă a cel puțin unui număr real: , , astfel încât .
  • Continuitate: este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este \ .
  • Derivabilitate: fiind constantă pe porțiuni, are derivata nulă; domeniul de derivabilitate este \ .
  • Alte proprietăți:
, (din Propoziția 2)
, (din Propoziția 3)

Funcția parte fracționară[modificare | modificare sursă]

Funcția , , pentru orice se numește funcția parte fracționară. Câteva proprietăți ale acestei funcții:

  • Monotonie - este strict crescătoare pe orice interval de forma , unde : Dacă , atunci .
  • Injectivitate - nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
  • Surjectivitate - este surjectivă, adică orice număr subunitar pozitiv sau nul este partea fracționară a cel puțin unui număr real: , , astfel încât .
  • Continuitate: este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este \ .
  • Derivabilitate: fiind egală cu diferența dintre și un n umăr întreg, are derivata egală cu 1; domeniul de derivabilitate este \ .
  • Alte proprietăți:
, (din Propoziția 4)

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Earliest Uses of Function Symbols: Until recently [x] has been the standard symbol for the greatest integer function. According to Grinstein (1970), "The use of the bracket notation, which has led some authors to term this the bracket function, stems back to the work of Gauss (1808) in number theory. The function is also referred to by Legendre who used the now obsolete notation E(x)." The Gauss reference is to Theorematis arithmetici demonstratio nova. Werke Volume: Bd. 2 p. 5. (aufgerufen am 25. Juli 2009)

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • "Matematica - TC + CD" - I.V. Maftei, A.V. Mihai, M.A. Nicolae, Cătălin-Petru Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN și Ed. NEDION - București, 2004
  • "Matematica - TC + CD" - D. Savulescu, M. Chirciu, Ș. Alexe, N. Dragomir, T. Deaconu, A.R. Petrescu - Ed. Corint, București, 2008