Parte întreagă și parte fracționară

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Se definește partea întreagă și partea fracționară a unui număr real astfel: Fie x un număr real.

  1. Se numește parte întreagă a lui x cel mai apropiat întreg mai mic sau egal cu x.
  2. Se numește parte fracționară a lui x diferența dintre număr și partea lui întreagă.

Definiția este sugerată de Axioma lui Arhimede: Pentru orice număr real x, exista un număr întreg n, unic, astfel încât n ≤ x < n + 1.

Notații[modificare | modificare sursă]

  • - partea întreagă a numărului real x.
  • - partea fracționară a numărului real x.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Proprietăți imediate[modificare | modificare sursă]

  • Partea întreagă a oricărui număr real este un număr întreg, adică , pentru orice

  • Orice număr întreg mai mic sau egal cu x este mai mic decât partea întreagă a lui x: ,
  • Partea întreagă a unui număr este egală cu numărul, dacă și numai dacă numărul este întreg, adică
  • Din Axioma lui Arhimede, rezultă inegalitatea părții întregi: Orice număr real este încadrat de doi întregi consecutivi,

adică pentru orice

,

de unde rezultă că

  • Partea fracționară a unui număr real este un număr pozitiv subunitar sau nul: , pentru orice
  • Partea fracționară a unui număr întreg este nulă: , pentru orice
Remarcă: Mulțimea numerelor reale se poate scrie ca reuniunea tuturor intervalelor care au capete numere întregi consecutive:

Alte proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Propoziția 1: Dacă , atunci
Demonstrație:
Din , cum este un număr întreg mai mic sau egal decât y, rezultă că , cum membrul stâng este un număr întreg și cel drept un număr real, rezultă
  • Propoziția 2: Partea întreagă a sumei a două numere reale este mai mare sau egală cu suma părților întregi ale fiecărui număr: , pentru orice
Demonstrație:
Din și , rezultă . Cum membrul stâng este un număr întreg și membrul drept este un număr real, rezultă că membrul stâng este mai mic decât partea întreagă a membrului drpet:
  • Propoziția 3: Orice termen număr întreg al unei sume "se pierde" de sub partea întreagă: , pentru orice și
Demonstrație:
Fie . Se notează . La inegalitatea părții întregi se adună k în toți membrii: , ceea ce este echivalent cu . Așadar, numărul real este situat între doi întregi consecutivi, deci, .


  • Propoziția 4: Orice termen număr întreg al unei sume "iese" de sub partea fracționară: , pentru orice și
Demonstrație:
Fie .
  • Propoziția 5: Identitatea lui Hermite:
Demonstrație: Fie cu
  • Dacă x se află în prima jumătate a intervalului, , se obține , deci . Așadar, (1).
, deci (2).
Din (1) și (2) rezultă .
  • Dacă x se află în a doua jumătate a intervalului , rezultă , deci , deci (3)
, deci (4)
Din (3) și (4) rezultă .

Funcția parte întreagă[modificare | modificare sursă]

Funcția , , pentru orice se numește funcția parte întreagă. Câteva proprietăți:

  • Monotonie - monoton crescătoare pe : Dacă , atunci .
  • Injectivitate - Funcția parte întreagă nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
  • Surjectivitate - Funcția partea întreagă este surjectivă, adică orice număr întreg este partea întreagă a cel puțin unui număr real: , , astfel încât .
  • Continuitate: Funcția este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este \ .
  • Derivabilitate: Fiind constantă pe porțiuni, are derivata nulă; domeniul de derivabilitate este \ .
  • Alte proprietăți:
  • , (din Propoziția 2)
  • , (din Propoziția 3)

Funcția parte fracționară[modificare | modificare sursă]

Funcția , , pentru orice se numește funcția parte fracționară. Câteva proprietăți:

  • Monotonie - strict crescătoare pe orice interval de forma, unde : Dacă , atunci .
  • Injectivitate - Funcția parte fracționară nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
  • Surjectivitate - Funcția partea fracționară este surjectivă, adică orice număr subunitar pozitiv sau nul este partea fracționară a cel puțin unui număr real: , , astfel încât .
  • Continuitate: Funcția este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este \ .
  • Derivabilitate: Fiind egală cu diferența dintre și un n umăr întreg, are derivata egală cu 1; domeniul de derivabilitate este \ .
  • Alte proprietăți:
  • , (din Propoziția 4)

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • "Matematica - TC + CD" - I.V. Maftei, A.V. Mihai, M.A. Nicolae, Cătălin-Petru Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN și Ed. NEDION - București, 2004
  • "Matematica - TC + CD" - D. Savulescu, M. Chirciu, Ș. Alexe, N. Dragomir, T. Deaconu, A.R. Petrescu - Ed. Corint, București, 2008