Parte întreagă și parte fracționară

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Partea întreagă și partea fracționară a unui număr real[modificare | modificare sursă]

Definiții[modificare | modificare sursă]

Fie x un număr real.

  1. Se numește parte întreagă a lui x, cel mai apropiat întreg mai mic sau egal cu x.
  2. Se numește parte fracționară a lui x, diferența dintre număr și partea lui întreagă.

Definiția este sugerată de Axioma lui Arhimede : Pentru orice număr real x, exista un număr întreg n, unic, astfel incat n ≤ x < n + 1.

Notații[modificare | modificare sursă]

  • [x] - partea întreagă a numărului real x.
  •  \begin{Bmatrix} x \end{Bmatrix} - partea fracționară a numărului real x.

Exemple[modificare | modificare sursă]

  •  \left [ 35,67 \right ]=35
  •  \begin{Bmatrix} 35,67 \end{Bmatrix} =0,67


  •  \left[ -35,67 \right] =-36
  •  \begin{Bmatrix} -35,67 \end{Bmatrix}=0,33

Proprietăți imediate[modificare | modificare sursă]

  • Partea întreagă a oricărui număr real este un număr întreg, adică  \left [ x \right ] \in \Z , pentru orice  x \in \R

 \left [ x \right ] = \begin{cases} \mbox{...}\\ -2, & \mbox{pentru }x \in \left[-2,-1 \right) \\ -1, & \mbox{pentru }x \in \left[ -1,0 \right) \\ 0, & \mbox{pentru }x \in \left[0,1 \right) \\ 1, & \mbox{pentru }x \in \left[1,2 \right) \\ 2, & \mbox{pentru }x \in \left[2,3 \right) \\ \mbox{...}\end{cases}

  • Orice număr întreg mai mic sau egal cu x este mai mic decât partea întreagă a lui x:  \forall n \in \Z,  \forall x 
\in \R, n \le x\Rightarrow \; n \le [x]
  • Partea întreagă a unui număr este egală cu numărul, dacă și numai dacă numărul este întreg, adică  \left [ x \right ] =x \Leftrightarrow x \in \Z
  • Din Axioma lui Arhimede, rezultă inegalitatea părții întregi: Orice număr real este încadrat de doi întregi consecutivi,

adică pentru orice  x \in \R

  \left[ x \right] \le \ x< \left[ x \right]+1,

de unde rezultă că

 x-1< \left[ x \right] \le \ x


  • Partea fracționară a unui număr real este un număr pozitiv subunitar sau nul:  0 \le \begin{Bmatrix} x \end{Bmatrix} <1, pentru orice  x \in \R
  • Partea fracționară a unui număr întreg este nulă:  x \in \Z \Leftrightarrow  \begin{Bmatrix} x \end{Bmatrix}=0, pentru orice  x \in \R
Remarcă: Mulțimea numerelor reale se poate scrie ca reuniunea tuturor intervalelor care au capete numere întregi consecutive:
 \R = \bigcup_{n \in \Z}^{} \left[ n, n+1 \right)

Alte proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Propoziția 1: Dacă  x<y, atunci  \left [ x \right ] \le \left [ y \right ]
Demonstrație:
Din   \left[ x \right] \le \ x  \le \ y, cum   \left[ x \right] este un număr întreg mai mic sau egal decât y, rezultă că   \left[ x \right] + \left[ y \right]\le x+y , cum membrul stâng este un număr întreg și cel drept un număr real, rezultă  \left [ x \right ] \le \left [ y \right ]
  • Propoziția 2: Partea întreagă a sumei a două numere reale este mai mare sau egală cu suma părților întregi ale fiecărui număr:   \left[ x + y \right] \ge \ \left[ x \right]+\left[ y \right], pentru orice x,y \in \R
Demonstrație:
Din   \left[ x \right] \le \ x  și   \left[ y \right] \le \ y , rezultă   \left[ x\right]+ \left[ y \right] \le \ x+y . Cum membrul stâng este un număr întreg și membrul drept este un număr real, rezultă că membrul stâng este mai mic decât partea întreagă a membrului drpet:   \left[ x \right]+ \left[ y \right] \le \ \left[ x + y \right]
  • Propoziția 3: Orice termen număr întreg al unei sume "se pierde" de sub partea întreagă:   \left[ x + n \right] = \left[ x \right] +n, pentru orice x\in \R și n\in \Z
Demonstrație:
Fie x \in \R . Se notează  k=\left[ x \right] . La inegalitatea părții întregi se adună k în toți membrii: \left[ x \right] \le \ x< \left[ x \right]+1 | +k, ceea ce este echivalent cu   \left[ x \right] +k \le \ x+k< \left[ x \right]+k+1. Așadar, numărul real   \left[ x \right] +k este situat între doi întregi consecutivi, deci,   \left[ x + n \right] = \left[ x \right] +n .


  • Propoziția 4: Orice termen număr întreg al unei sume "iese" de sub partea fracționară:   \begin{Bmatrix} x+n \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} x \end{Bmatrix}, pentru orice x\in \R și n\in \Z
Demonstrație:
Fie x \in \R .   \begin{Bmatrix} x+n \end{Bmatrix} = x+n- \left[ x+n \right]= x+n- \left( \left[ x \right] +n \right) = x+n- \left[ x \right]-n= x- \left[ x \right] = \begin{Bmatrix} x \end{Bmatrix}
  • Propoziția 5: Identitatea lui Hermite:   \left[ x \right] + 
 \left[ x +\frac{1}{2} \right]= \left[ 2x \right]
Demonstrație: Fie x \in \R cu \left[ x \right] =n \Leftrightarrow n \le x <n+1
  • Dacă x se află în prima jumătate a intervalului, n \le x< \frac{2n+1}{2} , se obține n+ \frac{1}{2} \le x+ \frac{1}{2}< n+ \frac{1}{2}, deci  \left[ x+ \frac{1}{2} \right] =n . Așadar,  \left[ x \right]+ \left[ x+ \frac{1}{2} \right] =n+n=2n (1).
n \le x < \frac{2n+1}{2} | \cdot 2 \Leftrightarrow 2n \le 2x <2n+1, deci  \left[ 2x \right]=2n (2).
Din (1) și (2) rezultă   \left[ x \right] + \left[ x +\frac{1}{2} \right]= \left[ 2x \right].
  • Dacă x se află în a doua jumătate a intervalului  \frac{2n+1}{2} \le x<n+1, rezultă  n+1 \le x<n+ \frac{3}{2} , deci  \left[ x + \frac{1}{2} \right] =n+1 , deci  \left[ x \right] + \left[ x + \frac{1}{2} \right] =2n+1 (3)
 \frac{2n+1}{2} \le x<n+1 | \cdot 2 \Leftrightarrow 2n \le 2x <2n+2, deci  \left[ 2x \right]=2n+1 (4)
Din (3) și (4) rezultă   \left[ x \right] + \left[ x +\frac{1}{2} \right]= \left[ 2x \right].

Funcția parte întreagă[modificare | modificare sursă]

Funcția f: \R \rightarrow \Z, f(x)= \left[ x \right], pentru orice x \in \R se numește funcția parte întreagă. Câteva proprietăți:

  • Monotonie - monoton crescătoare pe  \R : Dacă x_1, x_2 \in \R , x_1<x_2 , atunci f(x_1) \le f(x_2) .
  • Injectivitate - Funcția parte întreagă nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
  • Surjectivitate - Funcția partea întreagă este surjectivă, adică orice număr întreg este partea întreagă a cel puțin unui număr real:  \forall n \in \Z ,  \exists x \in \R , astfel încât n= f\left( x \right).
  • Continuitate: Funcția este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este  \R \ \Z.
  • Derivabilitate: Fiind constantă pe porțiuni, are derivata nulă; domeniul de derivabilitate este  \R \ \Z.
  • Alte proprietăți:
  • f(x+y) \ge f(x)+f(y),\forall x,y \in \R (din Propoziția 2)
  • f(x+n) = f(x)+f(n),\forall x \in \R,\forall n \in \Z (din Propoziția 3)

Funcția parte fracționară[modificare | modificare sursă]

Funcția f: \R \rightarrow [0,1), f(x)= \begin{Bmatrix} x \end{Bmatrix}, pentru orice x \in \R se numește funcția parte fracționară. Câteva proprietăți:

  • Monotonie - strict crescătoare pe orice interval de forma [n,n+1) , unde  n \in \N : Dacă x_1, x_2 \in [n,n+1) , x_1<x_2 , atunci f(x_1) < f(x_2) .
  • Injectivitate - Funcția parte fracționară nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
  • Surjectivitate - Funcția partea fracționară este surjectivă, adică orice număr subunitar pozitiv sau nul este partea fracționară a cel puțin unui număr real:  \forall y \in [0,1) ,  \exists x \in \R , astfel încât y= f\left( x \right).
  • Continuitate: Funcția este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este  \R \ \Z.
  • Derivabilitate: Fiind egală cu diferența dintre x și un n umăr întreg, are derivata egală cu 1; domeniul de derivabilitate este  \R \ \Z.
  • Alte proprietăți:
  • f(x+n) = f(x),\forall x \in \R,\forall n \in \Z (din Propoziția 4)

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  1. "Matematica - TC + CD" - I.V. Maftei, A.V. Mihai, M.A. Nicolae, Cătălin-Petru Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN și Ed. NEDION - București, 2004
  2. "Matematica - TC + CD" - D. Savulescu, M. Chirciu, Ș. Alexe, N. Dragomir, T. Deaconu, A.R. Petrescu - Ed. Corint, București, 2008