Paralelă Clifford

În geometria eliptică două linii sunt paralele Clifford dacă distanța (perpendiculară) dintre ele este constantă pentru orice punct. Conceptul a fost studiat pentru prima dată de William Kingdon Clifford în spațiul eliptic și apare doar în spații cel puțin tridimensionale. Deoarece dreptele paralele au proprietatea de a fi echidistante, termenul „paralele” a fost preluat din geometria euclidiană, deși „dreptele” geometriei eliptice sunt curbe geodezice și, spre deosebire de dreptele din geometria euclidiană, au o lungime finită.

Algebra cuaternionilor oferă o geometrie care descrie spațiului eliptic în care paralelismul Clifford este explicit.

Istoric

Paralelele Clifford au fost descrise pentru prima dată în 1873 de către matematicianul englez William Kingdon Clifford.
În 1900 Guido Fubini și-a scris teza de doctorat despre „Paralelismul Clifford în spații eliptice”.
În 1931 Heinz Hopf a folosit paralelele Clifford pentru a dezvolta fibratul Hopf^⁠(d).
În 2016 Hans Havlicek a arătat că există o corespondență biunivocă între paralelismele Clifford și planele externe cuadricei Klein.

Descriere

Liniile cu lungimea 1 din spațiul eliptic sunt descrise de versori cu axa fixă r:

$\lbrace e^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace$

Pentru un punct arbitrar u în spațiul eliptic, două paralele Clifford la această linie trec prin u. Paralela Clifford la linie este

$\lbrace ue^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace ,$

iar cea la stânga este

$\lbrace e^{ar}u:\ 0\leq a<\pi \rbrace .$

Generalizarea paralelismului Clifford

Definiția inițială a lui Clifford era pentru liniile paralele curbe, dar conceptul a fost generalizat la obiectele paralele Clifford cu mai mult de o dimensiune. În spațiul euclidian cvadridimensional, obiectele paralele Clifford cu 1, 2, 3 sau 4 dimensiuni sunt legate prin rotații izoclinice. Paralelismul Clifford și rotațiile izoclinice sunt aspecte strâns legate de simetriile SO(4) care caracterizează 4-politopurile regulate.

Suprafețe Clifford

Rotirea unei linii în jurul alteia, cu care este paralelă Clifford, creează o suprafață Clifford.

Paralelele Clifford prin punctele de pe suprafață se află toate pe suprafață. Ca urmare, o suprafață Clifford este o suprafață riglată^⁠(d) deoarece orice punct se află pe două linii, fiecare aflându-se pe suprafață.

Fiind date două rădăcini pătrate ale lui −1 exprimate în cuaternioni prin r și s, suprafața Clifford prin ele este dată de

$\lbrace e^{ar}e^{bs}:\ 0\leq a,b<\pi \rbrace .$

Bibliografie

• en Tyrrell, J. A.; Semple, J.G. (1971). Generalized Clifford parallelism. Cambridge University Press. ISBN 0-521-08042-8. 
• en Laptev, B.L. & B.A. Rozenfel'd (1996) Mathematics of the 19th Century: Geometry, page 74, Birkhäuser Verlag ISBN: 3-7643-5048-2 .
• en Duncan Sommerville (1914) The Elements of Non-Euclidean Geometry, page 108 Paratactic lines, George Bell & Sons
• en Frederick S. Woods (1917) Higher Geometry, "Clifford parallels", page 255, via Internet Archive

Vezi și

• Tor Clifford^⁠(d)
• 4-politop regulat