Mulțime conexă

O mulțime este conexă într-un spațiu topologic dacă nu este reuniunea a două mulțimi nevide deschise și disjuncte. Folosind limbajul obișnuit, o mulțime conexă poate fi descrisă ca fiind o mulțime formată dintr-o singură bucată. De exemplu, intervalele de numere reale sunt mulțimi conexe.

Definiții și caracterizări

Fie (S,d) un spațiu metric.
Se spune despre o mulțime $A\subset \$ S că este conexă dacă în S nu există două mulțimi deschise D₁ și D₂ astfel încât

D_{1}\cap A\neq \emptyset ,D_{2}\cap A\neq \emptyset ,D_{1}\cap D_{2}=\emptyset ,D_{1}\cup D_{2}\supseteq A

O mulțime care nu este conexă se numește neconexă. O mulțime deschisă și conexă se numește domeniu.

Dacă o mulțime este conexă într-un spațiu topologic atunci spațiul respectiv este un spațiu topologic conex.

O multime $A\subseteq \mathbb {R}$ este conexă dacă și numai dacă este interval.
O mulțime nevidă $A\subseteq S$ a unui spațiu metric este conexă dacă și numai dacă orice funcție continuă de forma $f:A\to \{0,1\}$ este constantă.

Altfel spus, o mulțime $A$ este conexă dacă și numai dacă $A$ nu se poate reprezenta ca reuniunea a două mulțimi deschise relativ la $A$ , disjuncte și nevide. Din acest motiv, mulțimile conexe se mai numesc și mulțimi dintr-o singură bucată.

Aderența oricărei mulțimi conexe este o mulțime conexă.
Fie Á o familie de mulțimi conexe în (S,d) a cărei intersecție este nevidă. Atunci reuniunea sa este de asemenea o mulțime conexă în (S,d).
Dacă $x\in S$ , atunci clasa de echivalență care îl conține pe x se numește componenta conexă a punctului x și se notează cu C_x.

Evident, dacă (S,d) este un spațiu topologic conex atunci C_x=S pentru orice $x\in S$ .

Fie T o mulțime deschisă în spațiul topologic (S,d). Atunci T este neconvexă dacă și numai dacă există două mulțimi nevide, deschise și disjuncte T₁ și T₂ cu $T=T_{1}\cup T_{2}$ .
Fie F o mulțime închisă în spațiul topologic (S,d). Atunci F este neconvexă dacă și numai dacă există două mulțimi nevide, disjuncte și închise F₁ și F₂ cu $F=F_{1}\cup F_{2}$ .

Exemple

Mulțimea vidă și mulțimile formate dintr-un singur element (singletoanele) sunt conexe în orice spațiu topologic.
Mulțimea A={0,1} din $\mathbb {R}$ nu este conexă deoarece există, de exemplu, mulțimile deschise $D_{1}=(-\infty ,{\frac {1}{2}})$ și $D_{2}=({\frac {1}{3}},\infty )$ astfel încât

$D_{1}\cap A\neq \emptyset ,D_{2}\cap A\neq \emptyset ,D_{1}\cap D_{2}=\emptyset ,D_{1}\cup D_{2}\supseteq A$ .

Dacă d_b este topologia banală pe S atunci (S,d_b) este un spațiu topologic conex.
Dacă pe $\mathbb {R}$ se consideră topologia discretă t₀, atunci ( $\mathbb {R}$ , t₀) nu este un spațiu topologic conex.
Mulțimea (hiperbola)

$H=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}-y^{2}=1\}$ nu este conexă în ( $\mathbb {R} ^{2}$ , d) căci mulțimile deschise $D_{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x>0\}$ și $D_{2}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x<0\}$ au proprietățile
$(1,0)\in D_{1}\cap H,(-1,0)\in D_{2}\cap H,D_{1}\cap D_{2}=\emptyset ,D_{1}\cup D_{2}\supseteq H$ .

Bibliografie

Mihail Megan, Analiză matematică, volumul I, Editura Mirton, Timișoara,1999,pag.152-160
Nicolae Cotfas, Liviu Adrian Cotfas, Elemente de analiză matematică, Editura Universității din București, București, 2010, pp. 82-87.

Legături externe

http://fpcm5.fizica.unibuc.ro/~ncotfas/Elemente-de-Analiza-Matematica.pdf Arhivat în 14 mai 2014, la Wayback Machine.

Vezi și