De la Wikipedia, enciclopedia liberă
În matematică, și mai precis în analiză, integralele Wallis sunt o familie de integrale introduse de John Wallis.
Portretul lui Wallis, datat cu anul 1701
Integralele Wallis
sunt definite de șirurile:
![{\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47647776ba61c70a5ab19c93c9b8df8f0db95192)
sau, echivalent (făcând substituția:
):
![{\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21ab64bd5fdcdb815710d3aa3cb44dac1e0a1f2)
In particular, câțva termeni sunt în tabelul:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...
|
Integralele Wallis:
pot fi calculate cu ajutorul funcțiilor beta și gamma. Conform relației
, avem:
![{\displaystyle W_{n}={\frac {1}{2}}B\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988edca7ac5cbac26329f0208d223fb43418a2b7)
și avem două cazuri, pentru
și
. Pentru aceste valori ale lui
avem:
.
Cum însă
,
obținem
.
Într-un mod asemănător se calculează și
![{\displaystyle W_{2p}={\frac {1}{2}}B\left(p+{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma (p+{\frac {1}{2}})\Gamma ({\frac {1}{2}})}{2\Gamma (p+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8f844ae83758d1be85439703e717c345c53158)
iar în final se obține
.
Este ușor de observat că
.
Se poate considera că
![{\displaystyle W_{\alpha }={\frac {1}{2}}B\left({\frac {\alpha +1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae67dbd43bd953cc23c5c7f149e2f01488789772)
chiar și pentru valori reale ale lui
mai mari ca -1, și, ca urmare , se pot obține, folosind definiția funcției beta [1] , că
,
.
Produsul acestor două integrale ne conduce la
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {t^{2}dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\frac {\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba419363fc7a8d91264821ee1e8d6cbd9f16e17f)
- ^