Sari la conținut

Inegalitatea mediilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Demonstrație vizuală că (x + y)2 ≥ 4xy (media aritmetică este mai mare ca cea geometrică)[1]

În matematică inegalitatea mediilor afirmă că media aritmetică a unei liste de numere reale nenegative este mai mare sau egală cu media geometrică a aceleiași liste. În plus, că cele două medii sunt egale dacă și numai dacă toate numerele din listă sunt același (caz în care ambele medii sunt acel număr). Teorema se poate generaliza și pentru alte medii.

Fie numerele reale strict pozitive: , , , , ...,, pentru care există formulele :

  • Media aritmetică a numerelor și este = .
    • Generalizare: Media aritmetică a numerelor , , ..., este = .
  • Media armonică a numerelor și este = .
    • Generalizare: Media armonică a numerelor , , ..., este = .
  • Media geometrică a numerelor și este = .
    • Generalizare: Media geometrică a numerelor , , ..., este = .
  • Media pătratică a numerelor și este = .
    • Generalizare: Media pătratică a numerelor , , ..., este = .

Inegalitatea mediilor

[modificare | modificare sursă]

Mediile armonică, geometrică, aritmetică și pătratică se află între a și b. Egalitatea se obține dacă a = b.

Egalitatea se obține pentru x1 = x2 = ... = xn. Este atribuită lui Augustin Louis Cauchy.

Inegalitatea mediilor generalizate

[modificare | modificare sursă]

Fie    Atunci:

Demonstrație.

Fie funcția    Deoarece    funcția f este concavă și deci:

În particular, dacă    se obține inegalitatea mediilor:

  1. ^ en Hoffman, D. G. (), „Packing problems and inequalities”, În Klarner, David A., The Mathematical Gardner, Springer, pp. 212–225, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_19