Inegalitatea Hölder

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În analiza matematică, inegalitatea lui Hölder, care poartă numele matematicianului german Otto Hölder, reprezintă o relație fundamentală în cadrul spațiilor spațiilor Lp.

Fie S un spațiu măsurabil, și fie 1 ≤ p, q ≤ ∞ cu 1/p + 1/q = 1, iar f o funcție definită pe Lp(S) și g definită pe Lq(S). Atunci fg parcurge L1(S) și

Dacă S ={1,...,n}, obținem un caz particular al inegalității :

valabilă pentru toate numerele reale (sau complexe) x1,...,xn, y1,...,yn.

Pentru p = q = 2, obținem Inegalitatea Cauchy-Schwarz.

Inegalitatea lui Hölder este utilizată pentru a demonstra inegalitatea triunghiului în spațiul Lp, în multe cazuri fiind denumită inegalitatea Minkowski, dar și pentru a demonstra că Lp este spațiul dual asociat lui Lq și aceasta dacă .

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Faptul că funcția logaritm natural este o funcție concavă ne permite să scriem că, pentru orice numere reale strict pozitive a și b și pentru orice p și q pentru care sunt pozitive și au suma 1: , sau folosind funcția exponențială: (1)

Să presupunem că Luând și din inegalitățile de mai sus, apoi însumând pentru k de la 1 la n, obținem: (2)

Acum să presupunem că și sunt nenule (adică cel puțin unul dintre și cel puțin unul dintre sunt nenule). Punând și putem să aplicăm inegalitatea (2) cu acei coeficienți și , de unde obținem inegalitatea lui Hölder. Acesta este evidentă dacă toți și toți sunt nuli.

Generalizare[modificare | modificare sursă]

Această inegalitate se poate generaliza astfel: Fie cu , atunci:

Avem și