Vizualizare sursă pentru „Centru de masă”

'''Centrul de masă''' sau '''centrul maselor''' {{nc|este [[locație medie|locația medie]]}} a tuturor [[masă|maselor]] sistemului. În cazul unui [[corp]] [[solid]], poziția centrului maselor este determinată în raport cu acel corp. Folosirea centrului maselor permite adesea simplificarea [[Ecuație de mișcare|ecuației de mișcare]], fiind un [[punct de referință]] convenabil pentru calculul unor [[mărimi fizice]], precum [[Moment cinetic|momentul cinetic]] sau [[Moment de inerție|momentul de inerție]]. În multe aplicații, ca cele din [[astrodinamică]], corpurile pot fi înlocuite, în scopul analizării mișcării lor, prin masa lor aplicată în centrul maselor.

Termenul '''centrul maselor''' este adesea interschimbabil cu '''[[Centru de greutate|centrul de greutate]]''', dar sunt concepte fizice diferite. Cele două centre se suprapun într-un [[câmp gravitațional]] uniform, de exemplu pentru corpurile aflate la suprafața [[Pământ]]ului, deoarece Pământul este mult mai mare în raport cu corpurile, iar [[Forță gravitațională|forțele gravitaționale]] pot fi considerate paralele. 

Într-un câmp gravitațional neuniform, '''centrul de greutate''' se referă la punctul în care se aplică rezultanta tuturor forțelor gravitaționale aplicate asupra corpului, iar cele două centre nu se mai suprapun. Diferența este mică dar măsurabilă în ceea ce privește, de exemplu, [[Cuplu gravitațional|cuplul gravitațional]] care acționează asupra [[Satelit artificial|sateliților artificiali]].  

{{nc|[[Baricentru]]l se referă de asemenea la centrul maselor.}}

În general, centrul maselor unui corp nu corespunde cu [[centru geometric|centrul geometric]] al acestuia, iar acest lucru este exploatat de către inginerii proiectanți de mașini de sport, făcând ca centrul maselor să fie cât mai jos posibil pentru ca mașina să fie cât mai ușor manevrabilă. Un atlet care execută [[săritura în înălțime]] în stilul '' Fosbury Flop'', își îndoaie corpul de așa natură încât este posibil să ștergă bara în timp ce centrul său de masă nu.<ref>{{cite book |title=Space Tourism: Adventures in Earth Orbit and Beyond |first=Michael |last=Van Pelt |publisher=Springer |year=2005 |isbn=0387402136 |pages=185}}</ref>

==Definiție==
'''Centrul de masă''' al unui sistem de puncte materiale este punctul în raport cu care [[Momentul forței|momentul static]] al sistemului este nul. Pentru a-l afla se [[funcție de ponderare|ponderează]] raza vectoare  <math>\mathbf{r}_i</math>  cu masa ei <math>m_i \,</math>, [[sumă]]m pentru toate masele sistemului și se divide cu masa întregului sistem. Se obține:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \mathbf{R} = { \displaystyle\sum m_i \mathbf{r}_i \over \displaystyle\sum m_i }. </math> </td> <td width="50"> <math> (1.1) </math> </td> </tr>
</table>

În cazul [[Mecanica mediilor continue|mediilor continue]] având densitatea <math>\rho(\mathbf{r})</math> și masa totală <math>M</math>, suma se transformă în integrală:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \mathbf R =\frac 1M \int \mathbf{r} \; dm = \frac 1M \int\rho(\mathbf{r})\, \mathbf{r} \ dV =\frac{\displaystyle\int\rho(\mathbf{r})\, \mathbf{r} \ dV}{\displaystyle\int\rho(\mathbf{r})\ dV}. </math> </td> <td width="50"> <math> (1.2) </math> </td> </tr>

</table>

Proiecțiile vectorului de poziție pe cele trei axe furnizează [[coordonate carteziene|coordonatele carteziene]] ale centrului de masă:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \begin{cases} x_{CM} = \frac {\sum m_i x_i } {\sum m_i} \\ \\ y_{CM} = \frac {\sum m_i y_i } {\sum m_i} \\ \\ z_{CM} = \frac {\sum m_i z_i } {\sum m_i}  \end{cases} </math> </td> <td width="50"> <math> (1.3) </math> </td> </tr>

</table>

Dacă un corp este [[Mediu omogen|omogen]], el are aceeași [[densitate]], iar centrul maselor corespunde cu centrul lui geometric.

==Exemple==
* Centrul de masă a două particule se află pe dreapta care leagă centrele lor de masă. Centrul de masă se află mai aproape de particula mai grea.
* Centrul de masă al unui inel cu densitate uniformă se află în centrul inelului, indiferent de materialul din care este alcătuit.
* Centrul de masă al unui triunghi solid omogen se află la intersecția [[Mediană|medianelor]] triunghiului, care de altfel este și media celor trei vârfuri.
* Centru de masă al unui dreptunghi omogen se află la intersecția diagonalelor.
* Într-un corp cu [[simetrie]] sferică, centrul de masă se află în centrul geometric.<ref>{{citation
|title=College physics, Volume 1
|edition=2
|first1=Alan
|last1=Giambattista
|first2=Betty
|last2=McCarthy Richardson
|first3=Robert
|last3=Coleman Richardson
|publisher=McGraw-Hill Higher Education
|year=2007
|isbn=0-071-10608-1
|page=235
|url=http://books.google.com/books?ei=qLuyTP6IL8OfOv6H6e0F}}</ref> Acest lucru se aplică în mod aproximativ [[Pământ]]ului, deoarece densitatea variază considerabil, dar în adâncime și mai puțin în [[latitudine]] și [[longitudine]].
* Mai general, dacă un corp are un plan de simetrie, centrul maselor se află în acel plan de simetrie. Dacă un corp are o axă de simetrie, centrul maselor se află pe axa de simetrie, iar dacă un corp are un centru de simetrie, centrul maselor se află în acel centru de simetrie.

==Istoric ==
Conceptul centrului de masă a fost introdus pentru prima dată de fizicianul și matematicianul grec [[Arhimede]]. El a arătat că [[Momentul forței|momentul]] exercitat pe o [[pârghie]] de mai multe greutăți aflate la diferite distanțe de-a lungul ei, este același cu momentul dat de toate greutățile mutate într-un singur punct, centrul lor de masă. În lucrarea ''[[Despre Corpurile Plutitoare]]'' el a demonstrat că orientarea corpului plutitor este de așa natură încât face ca centrul de masă să fie cât mai jos posibil. A dezvoltat tehnica matematică de găsire a centrului de masă al corpurilor cu densitate uniformă având diverse forme, în particular pentru [[triunghi]], [[Sferă|emisferă]] și pentru [[trunchi]]ul unui [[paraboloid circular]].

[[Legile lui Newton#Principiul al II-lea al mecanicii|Legea a doua a lui Newton]] este refomulată în ceea ce privește centrul de masă din prima lege a lui [[Leonhard Euler|Euler]].

==Proveniența centrului de masă==
În următoarele ecuații de mișcare se presupune că există un sistem de particule guvernate de forțe interne și externe. Forțele interioare sunt cauzate de interacțiunea particulelor din interiorul sistemului, iar forțele exterioare sunt forțe care își au originea în afara sistemului, dar interacționează cu particulele din interiorul sistemului. Forțele exterioare nu apar neapărat datorită unui câmp uniform sau dintr-un potențial de forțe.

Pentru orice sistem în care nu există forțe externe, centrul de masă se mișcă cu viteză constantă. Acest lucru este valabil pentru toate sistemele cu forțe clasice interne, câmp electric, câmp magnetic, reacții chimice, etc. Mai precis, acest lucru este adevărat pentru orice forțe interne care satisfac [[Legile lui Newton# Principiul al III-lea al mecanicii |legea a III-a]] a lui Newton (sisteme nedeformabile). 

Impulsul total pentru orice sistem de particule este dat de:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \mathbf{p}=M\mathbf{v}_\mathrm{cm}</math> </td> <td width="50"> <math> (4.1) </math> </td> </tr>

</table>

în care ''M'' este masa totală, iar '''v'''<sub>cm</sub> este viteza centrului de masă. Viteza poate fi calculată luând derivata funcție de timp a poziției centrului de masă.

O forță analoagă [[Legile lui Newton# Principiul al II-lea al mecanicii |legii a II-a]] a lui Newton este:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \mathbf{F} = M\mathbf{a}_\mathrm{cm} </math> </td> <td width="50"> <math> (4.2) </math> </td> </tr>

</table>

în care '''F''' este suma tuturor forțelor externe aplicate sistemului, iar '''a'''<sub>cm</sub> este accelerația centrului de masă.

Fie forța internă a sistemului egală cu:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \mathbf{F} = M \ddot{\mathbf{R}} </math> </td> <td width="50"> <math> (4.3) </math> </td> </tr>

</table>

în care <math>M</math> ete masa totală a sistemului, iar <math>\mathbf{R}</math> un vector care încă nu este definit. Deoarece &nbsp;<math>\mathbf{p} = \sum{m_j\dot{r}_j}</math>&nbsp; iar &nbsp;<math>\mathbf{F} = \dot{\mathbf{p}},</math>&nbsp; atunci

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \mathbf{R} = \frac{1}{M}\sum{m_jr_j} </math> </td> <td width="50"> <math> (4.4) </math> </td> </tr>

</table>

Se obține deci o definiție vectorială a centrului de masă în funcție de forța totală din sistem. Această formă este folositoare pentru problema celor două corpuri.

Este logic să cerem ca, pentru orice sistem de mase, centrul de masă să se afle în interiorul înfășurătoarei convexe a sistemului. În particular, pentru două particule punctiforme, centrul de masă se află pe segmentul care leagă vârfurile vectorilor '''r'''<sub>1</sub> și '''r'''<sub>2</sub>. Geometric, '''R''' - '''r'''<sub>1</sub>&nbsp;= ''k''('''r'''<sub>2</sub> - '''R''') pentru o anumită valoare a constantei ''k''. Luând distanțele în ambele părți ale ecuației, obținem ''d''<sub>1</sub>&nbsp;= ''kd''<sub>2</sub>, în care ''d''<sub>1</sub> este distanța de la centrul de masă la corpului 1, iar ''d''<sub>2</sub> este distanța de la centrul de masă la corpului 2. Constanta ''k'' va depinde numai de masele ''m''<sub>1</sub> și ''m''<sub>2</sub> și vom examina natura acestei dependențe.

Presupunem că masa totală ''M'' este diferită de zero. Este clar că dacă ''m''<sub>2</sub>&nbsp;= 0, centrul de masă coincide cu cel al corpului 1, iar ''d''<sub>1</sub>&nbsp;= 0. Aceasta înseamnă că ''d''<sub>2</sub>&nbsp;= ''D'', iar ''m''<sub>1</sub>&nbsp;= ''M''. Simetria cere ca relația să rămână adevărată dacă schimbăm corpul 1 cu corpul 2.

Cel mai simplu model care satisface cerințele de mai sus este un [[model liniar]], în care ''d''<sub>1</sub>&nbsp;= (''D''/''M'')''m''<sub>2</sub> și ''d''<sub>2</sub>&nbsp;= (''D''/''M'')''m''<sub>1</sub>.

În acest model avem ''k''&nbsp;= ''d''<sub>1</sub>/''d''<sub>2</sub>&nbsp;= ''m''<sub>2</sub>/''m''<sub>1</sub>. După înmulțirea ecuației vectoriale cu ''m''<sub>1</sub>, obținem ''m''<sub>1</sub>('''R'''&nbsp;- '''r'''<sub>1</sub>)&nbsp;= ''m''<sub>2</sub>('''r'''<sub>2</sub>&nbsp;− '''R'''), sau (''m''<sub>1</sub>&nbsp;+ ''m''<sub>2</sub>)'''R'''&nbsp;= ''m''<sub>1</sub>'''r'''<sub>1</sub>&nbsp;+ ''m''<sub>2</sub>'''r'''<sub>2</sub>. Astfel că,

:<math> \mathbf{R} = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2}. </math>

Să presupunem acum că există și corpul al treilea de masă ''m''<sub>3</sub> și având vectorul de poziție '''r'''<sub>3</sub>. Pentru moment să rupem simetria celor trei corpuri și definim centrul de masă al celor trei corpuri ca centrul de masă a două corpuri determinat de corpul al treilea împreună cu un singur corp de masă ''M''<sub>0</sub>&nbsp;= ''m''<sub>1</sub>&nbsp;+ ''m''<sub>2</sub> plasat în centrul de masă al corpurilor 1 și 2, al cărui vector de poziție este '''R'''<sub>0</sub>. Obținem:

:<math> 
 \mathbf{R} = \frac{M_0 \mathbf{R}_0 + m_3 \mathbf{r}_3}{M_0 + m_3}
= \frac{ (m_1 + m_2) \left( \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2} \right) + m_3 \mathbf{r}_3}{M_0 + m_3}
= \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2 + m_3 \mathbf{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}.
</math>

Deoarece '''R''' se dovedește a fi simetric funcție de ''m''<sub>''i''</sub> și '''r'''<sub>''i''</sub>, nu contează modul în care combinăn corpurile, în felul acesta putând extinde formula pentru '''n''' corpuri, obținând:

:<math>  \mathbf{R} = \frac{\sum m_i \mathbf{r}_i}{\sum m_i}.  </math>

Deci modelul simplu al centrului de masă al celor două corpuri determină complet și unic formula pentru orice număr de mase. Scriind  ''M''&nbsp;= ''m''<sub>1</sub>&nbsp;+ ''m''<sub>2</sub> + ... + ''m''<sub>''n''</sub>, formula centrului de masă poate fi exprimată sub forma:

:<math> M \mathbf{R} = \sum m_i \mathbf{r}_i. </math>

Diferențiind ambele părți ale ecuației obținem:

:<math> M \mathbf{V} = \sum m_i \mathbf{v}_i,  </math>

adică, suma impulsului unui număr oarecare de corpuri este egală cu impulsul centrului lor de masă. Acesta este principiul care dă expresia precisă a noțiunii intuitive că sistemul ca un tot se comportă ca masa totală ''M'' plasată în '''R''', și justifică modelul simplu liniar [[unidimensional]] al centrului de masă.

== Proprietăți ale centrului de masă ==
Centrul de masă este punctul geometric asociat sistemului în care se consideră concentrată toată [[masă|masa]] acestuia, fiind deci util în descrierea mișcării globale a sistemului:
* [[Impuls]]ul total al sistemului este egal cu masa sistemului înmulțită cu viteza centrului de masă:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="600"> <math>  \vec P = m_1 \vec v_1 + m_2 \vec v_2+ \cdots + m_n \vec v_n = (m_1  + m_2 + \cdots  + m_n) \cdot \vec v_{CM}. </math> </td> <td width="50"> <math> (5.1) </math> </td> </tr>
</table>
* Rezultanta forțelor externe care acționează asupra sistemului este egală cu masa sistemului înmulțită cu accelerația centrului de masă:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \vec F =  (m_1  + m_2 + \cdots  + m_n) \cdot \vec a_{CM}. </math> </td> <td width="50"> <math> (5.2) </math> </td> </tr>
</table>
* [[Moment static|Momentul static]] al unui [[sistem de puncte materiale]] în raport cu un plan este egal cu produsul dintre masa sistemului și distanța centrului de masă la acel plan:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \begin{cases} \sum m_i x_i = M_{x_{CM}} \\ \\\ \sum m_i y_i = M_{y_{CM}} \\ \\ \sum m_i z_i = M_{z_{CM}} \end{cases} </math> </td> <td width="50"> <math> (5.3) </math> </td> </tr>
</table>
* Dacă sistemul de puncte materiale are un plan, o axă sau un centru de simetrie, centrul de masă se află în acel plan, pe acea axă sau în acel centru.

''Demonstrație.''
Presupunând că sistemul admite planul &nbsp;<math> Oxz </math>&nbsp; ca plan de simetrie, oricărui punct &nbsp;<math> P_i(x_i, y_i, z_i) </math>&nbsp; de masă &nbsp;<math> m_i </math>&nbsp; îi corespunde un punct &nbsp;<math> P_j (x_i, -y_i, z_i) </math>&nbsp; de aceeași masă &nbsp;<math> m_i. </math>&nbsp;
Cum &nbsp;<math> \sum_i m_i y_i =0, </math>&nbsp; rezultă &nbsp;<math> y_C = 0, </math>&nbsp; deci centrul de masă se află în planul &nbsp;<math> Oxz. </math>&nbsp;

Dacă se presupune că sistemul admite axa &nbsp;<math> Oz </math>&nbsp; ca axă de simetrie, atunci unui punct &nbsp;<math> P_i (x_i, y_i, z_i) </math>&nbsp; de masă &nbsp;<math> m_i </math>&nbsp; îi corespunde totdeauna un punct &nbsp;<math> P_j (-x_i, y_i, z_i) </math>&nbsp; de aceeași masă &nbsp;<math> m_i. </math>&nbsp;
Cum &nbsp;<math> \sum_i m_i x_i = 0; \; \sum_i m_i y_i =0, </math>&nbsp; rezultă &nbsp;<math> x_C=0, y_C=0, </math>&nbsp; deci centrul de masă se află pe axa &nbsp;<math> Oz. </math>&nbsp;

Considerând că sistemul admite originea sistemului de referință &nbsp;<math> O </math>&nbsp; ca centru de simtrie, din condițiile de simetrie rezultă că oricărui punct &nbsp;<math> P (x_i, y_i, z_i) </math>&nbsp; de masă &nbsp;<math> m_i </math>&nbsp; îi corespunde întotdeauna un punct &nbsp;<math> P_j (-x_i, -y_i, -z_i) </math>&nbsp; de aceeași masă &nbsp;<math> m_i. </math>&nbsp;
Cum momentele statice &nbsp;<math> \sum_i m_i x_i=0, \; \sum_i m_i y_i=0, \; \sum_i m_i z_i=0, </math>&nbsp; rezultă  &nbsp;<math> x_C=0, \; y_C=0, \; z_C=0, </math>&nbsp; deci centrul de masă se află în polul ''O''.
* Dacă un sistem de puncte materiale &nbsp;<math> (S) </math>&nbsp; se compune dintr-un număr de ''p'' subsisteme &nbsp;<math> (S_1), (S_2), \cdots , (S_p) </math>&nbsp; de mase &nbsp;<math> M_1, M_2, \cdots , M_p </math>&nbsp; și vectori de poziție ai centrelor de masă &nbsp;<math> \vec r_{C_1}, \vec r_{C_2}, \cdots , \vec r_{C_p}, </math>&nbsp; centrul de masă al sistemului &nbsp;<math> (S) </math>&nbsp; se obține considerând masele sistemelor componente &nbsp;<math> M_i, </math>&nbsp; concentrate în centrele de masă &nbsp;<math> C_i \; (i= 1, 2, \cdots , p). </math>&nbsp;

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \vec r_C = \frac {\sum_i M_i \vec r_{C_i}}  {\sum_i M_i}. </math> </td> <td width="50"> <math> (5.4) </math> </td> </tr>
</table>

''Demonstrație''.
Din relația  &nbsp;<math> (1.3) </math>&nbsp; se obține:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \vec r_{C_1} = \frac {\sum_{(S_1)} m_i \vec r_i} {\sum_{(S_1)} m_ii}; \;  \vec r_{C_2} = \frac {\sum_{(S_2)} m_i \vec r_i} {\sum_{(S_2)} m_i}; \; \cdots ;  \vec r_{C_p} = \frac {\sum_{(S_p)} m_i \vec r_i} {\sum_{(S_p)} m_i}.  </math> </td> <td width="50"> <math> (5.5) </math>  </td> </tr>
</table>

Deoarece:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math>  \sum_{(S_1)} m_i = M_1; \; \sum_{(S_2)} m_i = M_2; \; \cdots \sum_{(S_p)} m_i = M_p </math> </td> <td width="50"> <math> (5.6) </math>  </td> </tr>
</table>

relațiile (5.5) pot fi scrise:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \sum_{(S_1)} m_i \vec r_i = M_1 \vec r_{C_1}; \; \sum_{(S_2)} m_i \vec r_i = M_2 \vec r_{C_2}; \; \cdots \sum_{(S_p)} m_i \vec r_i = M_p \vec r_{C_p}.  </math> </td> <td width="50"> <math> (5.7) </math>  </td> </tr>
</table>

Vectorul de poziție &nbsp;<math> \vec r_C </math>&nbsp; al centrului maselor sistemului &nbsp;<math> (S) </math>&nbsp; este:
::<math> \vec r_C = \frac {\sum_{(S)} m_i \vec r_i}{\sum_{(S)} m_i} = \frac {\sum_{(S_1)} m_i \vec r_i + \sum_{(S_2)} m_i \vec r_i + \cdots + \sum_{(S_p)} m_i \vec r_i}  {\sum_{(S_1)} m_i + \sum_{(S_2)} m_i + \cdots + \sum_{(S_p)} m_i} = </math>
<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> = \frac {M_1 \vec r_{C_1} + M_2 \vec r_{C_2} + \cdots + M_p \vec r_{C_p}}  {M_1 + M_2 + \cdots + M_p} = \frac {\sum_i M_i \vec r_{C_i}}{\sum_i M_i}.  </math> </td> <td width="50"> <math> (5.8) </math>  </td> </tr>
</table>

* Dacă un sistem de puncte materiale &nbsp;<math> (S) </math>&nbsp; poate fi considerat ca provenind dintr-un sistem &nbsp;<math> (S_1) </math>&nbsp; din care s-a extras un sistem &nbsp;<math> (S_2) </math>&nbsp; și dacă se cunosc masele &nbsp;<math> M_1, M_2 </math>&nbsp; și centrele de masă definite de vectorii de poziție &nbsp;<math> \vec r_{C_1}, \vec r_{C_2}, </math>&nbsp; atunci centrul de masă al sistemului &nbsp;<math> (S_1) </math>&nbsp; se poate obține considerând că masele &nbsp;<math> M_1 </math>&nbsp; și &nbsp;<math> M_2 </math>&nbsp; s-ar concentra în centrele de masă &nbsp;<math> C_1 </math>&nbsp; și &nbsp;<math> C_2. </math>&nbsp;

''Demonstrație''.
Vectorul de poziție al centrului de masă ''C'' al sistemului &nbsp;<math> (S_1) </math>&nbsp; are expresia:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \vec r_C = \frac {M_1 \vec r_{C_1} + (- M_2 ) \vec r_{C_2}}  {M_1 +(- M_2) } = \frac {M_1 \vec r_{C_1} - M_2 \vec r_{C_2}}{M_1 - M_2}  </math> </td> <td width="50"> <math> (5.9) </math>  </td> </tr>
</table>

Referitor la sistemele &nbsp;<math> (S_1) </math>&nbsp;  și &nbsp;<math> (S_2), </math>&nbsp; se poate scrie conform (5.7) și (5.8):
<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \sum_{(S_1)} m_i \vec r_i = M_1 \vec r_{C_1} ; \; \sum_{(S_2)} m_i \vec r_i = M_2 \vec r_{C_2}.  </math> </td> <td width="50"> <math> (5.10) </math>  </td> </tr>
</table>

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \sum_{(S_1)} m_i = M_1 ; \; \sum_{(S_2)} m_i = M_2.  </math> </td> <td width="50"> <math> (5.11) </math>  </td> </tr>
</table>

Pentru întreg sistemul se obține:
::<math> \vec r_C = \frac {\sum_{(S)} m_i \vec r_i}  {\sum_{(S)} m_i} = \frac {\left (  \sum_{(S)} m_i \vec r_i + \sum_{(S_2)} m_i \vec r_i  \right ) -\sum_{(S_2)} m_i \vec r_i }  {\left (  \sum_{(S)} m_i + \sum_{(S_2)} m_i \right ) - \sum_{(S_2)} m_i}= </math>   
<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> = \frac {\sum_{(S_1)} m_i \vec r_i - \sum_{(S_2)} m_i \vec r_i}  {\sum_{(S_1)} m_i - \sum_{(S_2)} m_i} = \frac {M_1 \vec r_{C_1} - M_2 \vec r_{C_2}}  {M_1 - M_2}.  </math> </td> <td width="50"> <math> (5.12) </math>  </td> </tr>
</table>

''Observație''.
Proprietățile centrului de masă prezentate pentru sisteme de puncte materiale sunt valabile și în cazul sistemelor de corpuri omogene.

== Rotația și centrul de masă ==
[[Image:CoG stable.svg|thumb|Diagramă educatională cu un pendul în balans. CM al punctului (P) se află mai jos față de punctul de sprijin. Orice obiect al cărui CM este mai jos față de punctul de sprijin nu se va răsturna.]]
[[Image:How chair suspension is done.JPG|thumb|Artificiul scaunului suspendat face uz de centrul de masă al corpului uman care se află surprinzător de sus, și anume, este situat în fața [[Vertebră#Caractere regionale ale vertebrelor|vertebrei sacrale]].]]

Centrul maselor numit adesea și ''centrul de greutate'' datorită câmpului gravitațional uniform '''g''' care acționează asupra sistemului ca și când masa ''M'' a sistemului se află concentrată în centru de masă '''R'''. Acest lucru este văzut cel puțin în două feluri:
* [[Energie potențială|Energia potențială]] a unui sistem este egală cu energia potențială a unei particule care are aceeași masă ''M'' localizată în '''R'''.
* [[Momentul forței|Momentul]] gravitațional al unui sistem egalează momentul unei forțe ''M'''''g''' care acționează în '''R''':

::: <math>\mathbf{R} \times M\mathbf{g}=\sum_im_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{g}.</math>

Dacă câmpul gravitațional care acționează asupra unui corp nu este uniform, atunci centrul de masă nu are neapărat această proprietate convenabilă în ceea ce privește gravitația. Această situație a fost exprimată de [[Richard Feynman| Feynman]] în celebra sa carte ''The Feynman Lectures on Physics'':<ref>[http://www.amazon.com/Feynman-Lectures-Physics-set-Set/dp/0201021153/] The Feynman Lectures Set on [[Amazon.com|Amazon]]</ref>
{{quote|Centrul de masă este câteodată numit centrul de greutate, pentru motivul că, în multe cazuri, gravitația poate fi considerată uniformă. ...În cazul în care obiectul este așa de mare încât neparalelismul forțelor gravitaționale este semnificativ, atunci centrul în care trebuie aplicată forța de [[echilibru mecanic |echilibru]] nu este simplu de descris, el depărtându-se ușor de centrul de masă. Iată de ce trebuie să facem distincție între centrul de masă și centrul de greutate.}}

Chiar și atunci când se analizează [[Maree|forțele mareice]] de pe planetă, este suficient să folosim centrul de masă pentru a găsi mișcarea globală. În cazul câmpurilor neuniforme va trebui să vorbim de centrul de masă și nu de centrul de greutate.<ref>Symon, K. R. (1971). ''Mechanics'', 3rd ed., Reading: Addison-Wesley</ref>

== Inginerie ==
=== Semnificația în aeronautică ===
Centrul de masă este un punct important de pe [[avion]], deoarece îi afectează în mod semnificativ stabilitatea, pentru că în timpul zborului centrul de masă variază în funcție de consumul de combustibil. Pentru a fi siguri că avionul este suficient de stabil și sigur pentru zbor, centrul de masă trebuie să varieze în anumite limite specificate, limite care sunt diferite de la avion la avion.

De regulă, pentru avioane cu aripi fixe, acestea sunt centrate în jurul unui punct aflat la un sfert din coarda aripii față de bordul ei de atac, numit focarul aripii. Dacă centrul de masă se află în fața acestui punct, avionul are o manevrabilitate scăzută și este posibil ca la decolare sau aterizare să nu se înalțe de bot. Dacă centrul de masă se află în spatele acestui punct, atunci el este ușor manevrabil, dar și instabil, iar dacă se află mult în spatele focarului să-l pună în imposibilitatea de a zbura.

Pentru [[elicopter]]e în planare, centrul de masă se află întotdeauna sub rotor. Pentru zborul de înaintare, centrul de masă se va muta spre spate pentru a echilibra momentul negativ de [[tangaj]] prin aplicarea controlului ciclic pentru propulsia elicopterului înainte; în consecință un elicopter de croazieră va zbura cu ''nasul în jos''.

== Baricentrul în astronomie și astrofizică ==
[[Image:Solar system barycenter.svg|thumb|right|380px|Mișcarea baricentrului sistemului solar în raport cu Soarele.]]

'''Baricentrul''' (din [[limba greacă|greacă]] ''βαρύκεντρον'') este punctul dintre două corpuri în care se echilibrează unul pe altul. De exemplu, este centrul de masă a două sau mai multe corpuri cerești în jurul căruia gravitează. Când un satelit natural gravitează în jurul unei planete, sau o planetă în jurul unei stele, ambele corpuri gravitează de fapt în jurul unui punct care se află între cele două centre de masă și mai aproape de corpul mai mare. De exemplu, Luna nu gravitează exact în jurul centrului Pământului, ci în jurul unui punct care leagă cele două centre de masă aflat la aproximativ 1710 km sub scoarța Pământului, punct în care cele două mase se echilibrează.

Baricentrul este unul din focarele [[Orbită (astronomie)|orbitei eliptice]] a fiecărui corp. Acesta este un concept important în domeniul [[astronomie]]i, [[Astrofizică|astrofizicii]], ca și în [[problema celor două corpuri]].

În problema celor două corpuri, ''r''<sub>1</sub> distanța de la centrul maselor la primul corp este dată de formula:

:<math>r_1 = a \cdot {m_2 \over m_1 + m_2} = {a \over 1 + m_1/m_2}</math>

în care:
:''a'' este distanța dintre cele două centre ale corpurilor, iar
:''m''<sub>1</sub> și ''m''<sub>2</sub> sunt masele celor două corpuri.

''r''<sub>1</sub> este în esență semi-axa mare a orbitei primului corp în jurul baricentrului — iar ''r''<sub>2</sub>&nbsp;= ''a''&nbsp;− ''r''<sub>1</sub> este semi-axa mare a orbitei celui de al doilea corp. Dacă baricentrul se află localizat în ''interiorul'' celui mai masiv corp, mișcarea lui apare mai de grabă ca o ''oscilație'' decât ca o mișcare pe orbită.

În tabelul de mai jos sunt prezentate câteva exemple din [[sistemul solar]]. Valorile au fost rotunjite la trei cifre semnificative. În ultimele două coloane sunt date ''R''<sub>1</sub>, raza corpului masiv și ''r''<sub>1</sub>/''R''<sub>1</sub>, raportul dintre distanța la baricentru și rază. O valoare mai mică decât 1 arată că baricentrul se află în interiorul corpului masiv.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ '''Example'''
! Corpul <br />masiv
! ''m''<sub>1</sub> <br />(''m''<sub>E</sub>=1)
! Corpul <br />mai mic
! ''m''<sub>2</sub> <br />(''m''<sub>E</sub>=1)
! ''a'' <br />([[Km]])
! ''r''<sub>1</sub> <br />(km)
! ''R''<sub>1</sub> <br />(km)
! ''r''<sub>1</sub>/''R''<sub>1</sub>
|-
!colspan=8| Observații
|-
| [[Pământ]]ul
| 1
| [[Luna]]
| 0.0123
| 384,000
| 4,670
| 6,380
| 0.732
|-
|colspan=8| Pământul are o oscilație perceptibilă; vezi [[maree]]le.
|-
| [[Pluton]]
| 0.0021
| [[Charon (satelit)|Charon]]
| 0.000254 <br /> (0.121&nbsp;''m''<sub>Pluton</sub>)
| &nbsp; 19,600
| 2,110
| 1,150
| 1.83
|-
|colspan=8| Ambele corpuri au orbite distincte în jurul baricentrului, dar Pluton și Charon erau considerate planete duble înainte de redefinirea cuvântului [[planetă]] din august 2006.
|-
| [[Soare]]le
| 333,000
| Pământul
| 1
| 150,000,000 <br /> (1 [[Unitate astronomică|AU]])
| 449
| 696,000
| 0.000646
|-
|colspan=8| Oscilația Soarelui este abia perceptibilă.
|-
| Soarele
| 333,000
| [[Jupiter]]
| 318 <br /> (0.000955&nbsp;''m''<sub>Sun</sub>)
| 778,000,000 <br />(5.20 AU)
| 742,000
| 696,000
| 1.07
|-
|colspan=8| Soarele gravitează baricentrul aproape de suprafața.<ref name="NASA2005">{{cite web
  |date=2005-09-08
  |title=What's a Barycenter?
  |publisher=Space Place @ NASA
  |url=http://spaceplace.nasa.gov/en/kids/barycntr.shtml
  |accessdate=2011-01-20}}</ref>
|}

Dacă <math>m_1 \gg m_2 \,</math>, ceea ce este adevărat pentru Soare în raport cu orice planetă, atunci putem aproxima raporul <math>r_1 / R_1 \,</math> prin:

:<math>{a \over R_1} \cdot {m_2 \over m_1}</math>

Atunci, baricentrul sistemului Soare-planetă va fi în afara Soarelui numai dacă:

:<math>{a \over R_{\bigodot}} \cdot {m_{planet} \over m_{\bigodot}} > 1 \; \Rightarrow \; {a \cdot m_{planet}} > {R_{\bigodot} \cdot m_{\bigodot}} \approx 2.3 \times 10^{11} \; m_{Earth} \; \mbox{km} \approx 1530 \; m_{Earth} \; \mbox{AU}</math>

Adică, atunci când planeta este ''masivă și departe'' de Soare.

Dacă planeta Jupiter ar avea orbita planetei [[Mercur (planetă)|Mercur]] (57,900,000&nbsp;km, 0.387 AU), baricentrul sistemului Soare-Jupiter s-ar afla la 5,500&nbsp;km de centrul Soarelui (''r''<sub>1</sub>/''R''<sub>1</sub>&nbsp;~ 0.08). Dacă Pământul ar avea orbita planetei pitice [[Eris (planetă pitică)|Eris]] (68 AU), baricentrul Soare-Pământ va fi tot în interiorul Soarelui la aproximativ 30,000&nbsp;km de centru.

Pentru a calcula actuala traiectorie a Soarelui este necesară sumarea tuturor influențelor planetelor, cometelor, asteroizilor, etc, din sistemul solar. Dacă toate planetele ar fi aliniate de aceeași parte a Soarelui, centrul de masă combinat ar fi la aproximativ 500,000&nbsp;km de suprafața soarelui. Acest calcul are la bază distanța medie dintre corpuri și valoarea medie ''r''<sub>1</sub>. Dar toate orbitele corpurilor cerești sunt eliptice, iar distanțele dintre corpuri variază între [[Apsidă|apside]] în funcție de excentricitatea ''e''. Atunci, poziția baricentrului variază ea, și este posibil ca pentru unele sisteme baricentrul să fie uneori ''în interiorul sau în exteriorul'' celui mai masiv corp. Această situație apare atunci când:

:<math>{1 \over {1-e}} > {r_1 \over R_1} > {1 \over {1+e}}</math>

=== Animație ===
Imaginile sunt reprezentative.

{| class="wikitable" width=640
|valign=top|[[Image:orbit1.gif|200px]]<BR>Două corpuri de mase egale gravitează în jurul baricentrului. (similar cu sistemul [[90 Antiope]])
|valign=top|[[Image:orbit2.gif|200px]]<BR>Două corpuri cu mase diferite gravitează în jurul baricentrului precum sistemul [[Pluto]]–[[Charon (satelit)|Charon]].
|valign=top|[[Image:orbit3.gif|200px]]<BR>Două corpuri cu diferență mare între mase gravitează în jurul baricentrului precum sistemul [[Pământ]]–[[Lună]]
|valign=top|[[Image:orbit4.gif|200px]]<BR> Două corpuri cu diferență extremă între mase gravitează în jurul baricentrului precum sistemul [[Soare]]–[[Pământ]]
|-
|valign=top colspan=2|[[Image:orbit5.gif|400px]]<BR> Două corpuri de mase similare gravitează în jurul baricentrului pe o [[Orbită (astronomie)|orbită eliptică]] precum [[Stea|stelele binare]]
|}

== Centrul de masă al unui corp omogen ==
În [[mecanică]], corpul rigid se admite ca fiind un continuu material nedeformabil, adică orice [[element de volum]] are masă iar distanțele dintre puncte rămân nedeformate, indiferent de solicitările la care este supus corpul.
Pentru a stabili o legătură cu rezultatele obținute în cazul sistemelor de ''n'' [[punct material|puncte materiale]] se consideră corpul divizat în volume elementare &nbsp;<math> \Delta V_i </math>&nbsp; de mase &nbsp;<math> \Delta m_i.</math>&nbsp;

Când &nbsp;<math> \Delta m_i \to 0 </math>&nbsp; [[vector de poziție|vectorul de poziție]] al centrului de masă:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \vec r_C = \lim_{\Delta m_i \to 0} \frac {\sum_{i} \Delta m_i \vec r_i} {\sum_i \Delta m_i} = \frac {\int_{(D)} \vec r dm} {\int_{(D)} dm}, </math> </td> <td width="50"> <math> (9.1) </math> </td> </tr>
</table>

unde &nbsp;<math> (D) </math>&nbsp; este domeniul ocupat de corp și care se va nota cu &nbsp;<math> (V) </math>&nbsp; în cazul ''blocurilor'' (corpuri cu trei dimensiuni), &nbsp;<math> (A) </math>&nbsp; în cazul ''plăcilor'' (corpuri cu două dimensiuni, a treia fiind neglijabilă) și &nbsp;<math> (l) </math>&nbsp; în cazul ''barelor'' (corpuri cu o singură dimensiune, celelalte fiind neglijabile în raport cu prima).

Corpul omogen este corpul a cărui [[densitate]] este aceeași în toate punctele sale.
Cum ''densitatea'' sau ''masa specifică'' a corpului este definită prin raportul dintre masa coresounzătoare și volumul elementar,

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \rho = \rho_V = \frac {dm}{dV}, </math> </td> <td width="50"> <math> (9.2) </math> </td> </tr>
</table>

vectorul de poziție al centrului de masă al blocului omogen este:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \vec r_C = \frac {\int_{(D)} \vec r dm} {\int_{(D)} dm} = \frac {\int_{(D)} \vec r \rho_V dV} {\int_{(D)} \rho_V dV} = \frac {\int_{(D)} \vec r dV} {\int_{(D)} dV} </math> </td> <td width="50"> <math> (9.3) </math> </td> </tr>
</table>

ale cărui coordonate sunt:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> x_C = \frac {\int_{(D)} x dV}{\int_{(D)} dV}; \; y_C = \frac {\int_{(D)} y dV}{\int_{(D)} dV}; \; z_C = \frac {\int_{(D)} z dV}{\int_{(D)} dV}. </math> </td> <td width="50"> <math> (9.4) </math> </td> </tr>
</table>

În cazul plăcilor se poate defini, în mod analog, ''densitatea superficială'':

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \rho_A = \frac {dm}{dA}. </math> </td> <td width="50"> <math> (9.5) </math> </td> </tr>
</table>

Vectorul de poziție al centrului de masă al plăcii omogene este:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \vec r_C = \frac {\int_{(D)} \vec r dm} {\int_{(D)} dm} = \frac {\int_{(A)} \vec r \rho_A dA} {\int_{(A)}\rho_A dA} = \frac {\int_{(A)} \vec r dA} {\int_{(A)} dA}, </math> </td> <td width="50"> <math> (9.6) </math> </td> </tr>
</table>

ale cărui coordonate sunt:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> x_C = \frac {\int_{(A)} xdA}{\int_{(A)} dA} ; \; y_C = \frac {\int_{(A)} ydA}{\int_{(A)} dA} ; \; z_C = \frac {\int_{(A)} zdA}{\int_{(A)} dA} . </math> </td> <td width="50"> <math> (9.7) </math> </td> </tr>
</table>

În cazul barelor se definește ''densitatea liniară'':

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \rho_l = \frac {dm}{dl}. </math> </td> <td width="50"> <math> (9.8) </math> </td> </tr>
</table>

Vectorul de poziție al centrului de masă al barei omogene are expresia:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math> \vec r_C = \frac {\int_{(D)} \vec r dm} {\int_{(D)} dm} = \frac {\int_{(D)} \vec r \rho_l dl} {\int_{(l)} \rho_l dl} = \frac {\int_{(D)} \vec r  dl} {\int_{(l)} dl}, </math> </td> <td width="50"> <math> (9.9) </math> </td> </tr>
</table>

ale cărui coordonate sunt:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="500"> <math>  x_C = \frac {\int_{(l)} xdl}{\int_{(l)} dl}; \; y_C = \frac {\int_{(l)} ydl}{\int_{(l)} dl}; \; z_C = \frac {\int_{(l)} zdl}{\int_{(l)} dl}. </math> </td> <td width="50"> <math> (9.10) </math> </td> </tr>
</table>

==Locul centrului de masă ==
=== Al unei forme fizice arbitrare în 2D ===
Metoda este folositoare când se dorește găsirea centrului geometric al unei forme plane complexe de dimensiuni necunoscute și se bazează pe găsirea centrului de masă al corpului subțire cu [[densitate]] omogenă care are aceeași formă ca forma plană complexă.

{| border="2" cellspacing="2" cellpadding="2"
|-
| style="width:32%" |[[Image:Center gravity 0.svg|center|100px]]
| style="width:32%" |[[Image:Center gravity 1.svg|center|100px]]
| style="width:32%" |[[Image:Center gravity 2.svg|center|100px]]
|-
| '''Pasul 1:''' O formă arbitrară 2D.
| '''Pasul 2:''' Se suspendă forma într-o locație apropiată de margine.  Se lasă să cadă firul cu plumb și se marchează pe obiect.
| '''Pasul 3:''' Se suspendă forma într-o altă locație nu prea apropiată de prima. Se marchează din nou firul cu plimb. Intersecția celor două linii este centru de masă.
|}

=== Al unui obiect în formă de L ===
Aceasta este una din metodele de determinare a centrului de masă al obiectelor în formă de L. 

[[Image:CoG of L shape.svg|800px|CG al obiectului în formă de L]]

#Se împarte forma în două dreptunghiuri (figura 2). Se caută centrul de masă al dreptunghiurilor prin trasarea diagonalelor. Se trasează dreapta care unește cele două centre de masă. Centrul de masă al formei L trebuie să fie pe linia AB.
# Se împarte forma în alte două dreptunghiuri (figura 3). Se caută centrul de masă al dreptunghiurilor prin trasarea diagonalelor. Se trasează dreapta care unește cele două centre de masă. Centrul de masă al formei L trebuie să fie pe linia CD.
#Centrul de masă al formei L se află la intersecția celor două drepre AB și CD, în punctul O. Punctul O poate să cadă sau nu în interiorul formei L.

=== Al unei forme compuse ===
Această metodă este folositoare când se dorește aflarea centrului geometric sau al centrului de masă al unui obiect care poate fi ușor împărțit în forme elementare ale căror centre de masă pot fi găsite ușor (vezi ''[[Lista centrelor geometrice]]''). Întâi va fi găsit centrul de masă pe direcția ''x'' și apoi pe direcția ''y'' prin același procedeu.

[[Image:COG 1.svg]] Forma este ușor de divizat într-un pătrat, triunghi și cerc. De notat că cercul va avea arie negativă.

[[Image:COG 2.png]] Din [[Lista centrelor geometrice]] se notează coordonatele individuale ale centrului de masă al fiecărei figuri.

[[Image:COG 3.png]] Se calculează centru de masă pe direcția ''x'':
<math>\frac{3 \times (-2.5^2\pi) + 5 \times 10^2 + 13.33 \times \frac{10^2}{2}}{ -2.5^2\pi + 10^2 + \frac{10^2}{2}} \approx 8.5 </math> unități.
[[Fișier:Amsler integrometer front.jpg|thumb|right|150px|Integraf]]
Centru de masă se află la distanța de 8.5 unități față de colțul din stânga-jos al figurii.

=== Prin urmărirea perimetrului în jurul unui obiect ===
Dezvoltarea [[planimetru]]lui cunoscut și ca integraf, poate fi folosit la stabilirea centrului geometric sau al centrului de masă al unei forme neregulate. Această metodă poate fi aplicată formelor cu frontieră neregulată, netedă sau complexă, acolo unde alte metode ar fi prea dificile. Acest instrument a fost folosit de constructorii de nave pentru a se asigura că nava nu se răstoarnă.<ref>{{Citat web |url=http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/Publications/integrometer.pdf |accessdate=2011-04-22 |titlu=Locating the center of mass by mechanical means |archive-date=2011-10-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20111005145208/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/Publications/integrometer.pdf |dead-url=yes }}</ref>.

== Centrul de greutate ==
Se consideră un sistem mecanic cu ''N'' componente de mase &nbsp;<math> m_1, m_2, \cdots , m_n. </math>&nbsp;Poziția centrului de greutate este:
::<math> \begin{cases} x_{CG} = \frac {x_1 G_1 + x_2 G_2 + \cdots + x_n G_n}{G_1 + G_2 + \cdots + G_n} \\ \\  y_{CG} =\frac {y_1 G_1 + y_2 G_2 + \cdots + y_n G_n}{G_1 + G_2 + \cdots + G_n} \\ \\  z_{CG} = \frac {z_1 G_1 + z_2 G_2 + \cdots + z_n G_n}{G_1 + G_2 + \cdots + G_n}  \end{cases} </math>

Dacă sistemul mecanic se află într-un [[câmp gravitațional]] uniform ([[accelerație gravitațională|accelerația gravitațională]] este constantă) atunci în formulele anterioare accelerația gravitațională ''g'' se simplifică, iar ecuațiile respective descriu poziția centrului de masă al sistemului.

Deci într-un câmp gravitațional uniform centrul de greutate coincide cu cel de masă.

== Centrul forțelor paralele ==
Centrul forțelor paralele reprezintă punctul prin care trec axele centrale ale unui sistem de forțe paralele când acestea, fără să-și schimbe punctele de aplicație și nici mărimile lor scalare, se rotesc devenind paralele cu o altă axă.
Dacă &nbsp;<math> \mathbf r_j </math>&nbsp; este [[vector de poziție|vectorul de poziție]] al originei forței  &nbsp;<math> \mathbf F_j \; (j = 1,2, \cdots , n), </math>&nbsp; atunci vectorul de poziție al centrului forțelor paralele se definește prin:
::<math>\frac { \sum_1^n \mathbf r_j \mathbf F_j }  {\sum_1^n \mathbf F_j}.</math>

==Vezi și== 
* [[Centrul de greutate al unui avion]]
* [[Centrul de  percuție]]
* [[Centrul de presiune]]
* [[Distribuția de greutăți]]
* [[Problema celor două corpuri]]
* [[Loc geometric]]

==Note==
<references />

== Note ==
{{ref sus}}
* {{cite book| last = Voinea | first = Radu | coauthors = Dumitru Voiculescu, Florian-Paul Simion | year = 1989 | title = Introducere în mecanica solidului cu aplicații în inginerie | publisher = Editura Academiei Republicii Socialiste România}}  
* {{cite book | last = Feynman | first = Richard | coauthors = Robert Leighton, Matthew Sands | year = 1963 | title = The Feynman Lectures on Physics | publisher = Addison Wesley | ISBN = 0-201-02116-1}}
* {{cite book | last = Goldstein | first = Herbert | coauthors = Charles Poole, John Safko | year = 2002 | title = Classical Mechanics | edition = 3e | publisher = Addison Wesley | ISBN = 0-201-65702-3}}
* {{cite book | last = Kleppner | first = Daniel | coauthors = Robert Kolenkow | year = 1973 | title = An Introduction to Mechanics | edition = 2e | publisher = McGraw-Hill | ISBN = 0-07-035048-5}}
* {{cite book | last = Marion | first = Jerry | coauthors = Stephen Thornton | year = 1995 | title = Classical Dynamics of Particles and Systems | edition = 4e | publisher = Harcourt | ISBN = 0-03-097302-3}}
* {{cite book | last = Murray | first = Carl | coauthors = Stanley Dermott | year = 1999 | title = Solar System Dynamics | publisher = Cambridge UP | isbn = 0-521-57295-9}}
* {{cite book | author=Serway, Raymond A.; Jewett, John W. | title=Physics for Scientists and Engineers (6th ed.) | publisher=Brooks/Cole | year=2004 | ISBN=0-534-40842-7}}
* {{cite book |last= Symon |first= Keithe R. |title= Mechanics | edition = 3rd edition |publisher= Addison-Wesley |year= 1971  |isbn= 0-201-07392-7 }}
* {{cite book | author=Tipler, Paul | title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.) | publisher=W. H. Freeman | year=2004 | ISBN=0-7167-0809-4}}
{{ref jos}}

==Legături externe==
{{Wiktionary|barycentre}}
* [http://www.britannica.com/eb/article-9037797/centre-of-gravity Center of Gravity] Encyclopædia Britannica.
* [http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/Publications/integrometer.pdf Locating the center of mass by mechanical means] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111005145208/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/Publications/integrometer.pdf |date=2011-10-05 }}.
* [http://www.blazelabs.com/dynamic-cg.pdf The dynamic centre of gravity] Engineer Xavier Borg - Blaze Labs Research
* [http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/COM/com-a.html Motion of the Center of Mass] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050212113330/http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/COM/com-a.html |date=2005-02-12 }} shows that the motion of the center of mass of an object in free fall is the same as the motion of a point object.
* [http://orbitsimulator.com/gravity/articles/ssbarycenter.html The solar system's barycenter] Simulations showing the effect each planet contributes to the solar system's barycenter
* [http://www.astone.com/sky/cntr/ Polygon Center of Mass] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090409041807/http://www.astone.com/sky/cntr/ |date=2009-04-09 }} An algorithm that would calculate the center of mass of a polygonal figure consisting of n points (x, y).

{{DEFAULTSORT:Center Of Mass}}
[[Categorie: Mecanică clasică]]
[[Categorie:Concepte fizice fundamentale]]