Teorema Sylvester (geometrie)

Suma a trei vectori de lungimi egale

În geometria triunghiului, teorema Sylvester exprimă faptul că vectorul care unește centrul cercului circumscris unui triunghi cu ortocentrul acestuia este egal cu suma vectorilor care unesc centrul cercului cu vârfurile triunghiului.

Teoremă

În orice triunghi $ABC$ există relația:

$(1)\;\;{\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.$ (Sylvester)

Demonstrație. Se vor considera mijlocul $A_{1}$ al laturii $BC$ și $A'$ punctul diametral opus lui $A$ de pe cercul circumscris triunghiului.

Deoarece $m({\widehat {ABA'}})=90^{o}$ și $m({\widehat {ACA'}})=90^{o}$ (deoarece $AA'$ este diametru) și $BH\perp AC$ și $CH\perp AB$ rezultă că $A'BHC$ este paralelogram. Se scriu relațiile vectoriale referitoare la mediana unui triunghi:

$2{\overrightarrow {MO}}={\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {MA'}}$

${\overrightarrow {MB}}+{\overrightarrow {MC}}=2{\overrightarrow {MA_{1}}}={\overrightarrow {MH}}+{\overrightarrow {MA'}}.$

Se deduce:

$2{\overrightarrow {MO}}+{\overrightarrow {MH}}={\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {MB}}+{\overrightarrow {MC}}.$

Punând $M=O$ se obține relația cerută.

Observație. O propoziție similară este următoarea:

$2{\overrightarrow {HO}}={\overrightarrow {HA}}+{\overrightarrow {HB}}+{\overrightarrow {HC}}.\!$

Aceasta se obține pentru $M=H.$

Vezi și

• Legea de inerție a lui Sylvester