Teorema Kronecker-Capelli

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În algebra liniară, criteriul rangului indică existența și/sau unicitatea soluțiilor unui sistem de ecuații.

Deoarece în practică se folosește de fapt eliminarea Gauss–Jordan (este mai ușor să fie gasite direct soluțiile, fară a calcula toți determinanții minorilor), acest criteriu este de natură scolastică și poate fi regăsit sub multe nume : Rouché-Frobenius-Kronecker-Capelli.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Pe scurt, un sistem de ecuații liniare


\left\{
\begin{matrix} 
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n = b_1\\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n = b_2\\
\vdots\\
a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 +\cdots + a_{m,n}x_n = b_m\\
\end{matrix}
\right.

admite soluție (soluții) dacă și numai dacă rangul matricii sistemului este egal cu rangul matricii extinse.

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Să presupunem că după eliminarea Gauss-Jordan, a rămas următoarea situație :


\begin{pmatrix}
1 & * & 0 & 0 & * & * & 0 & * & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & * & * & 0 & * & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & * & * & 0 & * & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & * & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}

Atunci rangul matricii este 4 (numărul de linii nenule), iar rangul matricii extinse este 5. În linia a cincea putem constata o egalitate 0 = 1, ceea ce face ca sistemul să fie incompatibil.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Ion D. Ion, Nicolae Radu, Algebra, ediția a III-a revizuită și completată , Editura didactică și pedagogică, București, 1981
  • Pierre Leroux, Algèbre Linéaire, une approche matricielle, Modulo Éditeur, Mont-Royal (Québec), 1983