Scheme de probabilitate

Scheme clasice de probabilitate

Schema lui Poisson

Fie $A_{1},A_{2},...,A_{n}$, n evenimente independente ale unui experiment.Notăm cu $p_{i}(A_{i})$ probabilitatea realizării evenimentului de exemplu $A_{i}$ și $q_{i}(A_{i})=1-p_{i},p_{i}+q_{i}=1,i=$ ${\overline {1,n}}\$.

Probabilitatea realizării unui număr de „k” evenimente din cele „n”, este data de coeficientul lui $X_{k}$ din dezvoltarea:

$(p_{1}X+q_{1})\cdot (p_{2}X+q_{2})\cdot ...\cdot (p_{n}X+q_{n})$

Exemplu:

Se consideră 4 urne, fiecare conținând bile albe și bile negre.În prima urnă avem 50 bile din care 10 sunt albe, iar în a doua urnă 30 bile din care 5 sunt albe, iar în a treia urnă 10 bile din care 2 sunt albe, iar în ultima urnă 25 bile din care 10 sunt albe.Care este probabilitatea ca, extrăgând din fiecare urnă o bilă, să obținem 3 bile albe.

Soluție:

Alegem următoarele evenimente independente:

$A_{1}:$"Bila extrasă din urna $U_{1}$ este albă"

$A_{2}:$"Bila extrasă din urna $U_{2}$ este albă"

$A_{3}:$"Bila extrasă din urna $U_{3}$ este albă"

$A_{4}:$"Bila extrasă din urna $U_{4}$ este albă"

$P_{1}(A_{1})={10 \over 50}={1 \over 5}\Rightarrow q_{1}(A_{1})={4 \over 5}$

$P_{2}(A_{2})={5 \over 30}={1 \over 6}\Rightarrow q_{2}(A_{2})={5 \over 6}$

$P_{3}(A_{3})={2 \over 10}={1 \over 5}\Rightarrow q_{3}(A_{3})={4 \over 5}$

$P_{4}(A_{4})={10 \over 25}={2 \over 5}\Rightarrow q_{4}(A_{4})={3 \over 5}$

probabilitatea ca,din cele 4 bile extrase,3 să fie albe,este coeficientul lui $X^{3}$ din dezvoltarea:

$({1 \over 5}X+{4 \over 5})\cdot ({1 \over 6}X+{5 \over 6})\cdot ({1 \over 5}X+{4 \over 5})\cdot ({2 \over 5}X+{3 \over 5})$

Rezultat ${29 \over 750}$

Schema lui Bernoulli sau schema binomială

Fie $A_{1},A_{2},...,A_{n}$, n evenimente independente echiprobabile, $P(A_{i})=p,i=$ ${\overline {1,n}}\$ și $q=1-p$

Probabilitatea realizării unui număr de k evenimente din cele n evenimente date este egală cu coeficientul lui $x^{k}$ din dezvoltarea binomială $(px+q)^{n},$ adică este egală cu: $C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$

Exemplu:

O urnă conține 10 bile ,dintre care 3 sunt albe.se fac 25 extrageri(cu reintroducerea în urna a bilei extrase).Care este probabilitatea ca bila albă să apară de 10 ori?

Soluție:

Considerăm evenimentul $A_{i},$:"La extragerea $i$ să apară bila albă", $i=$ ${\overline {1,n}}\$

Evenimentele $A_{i}$ sunt independente și echiprobabile cu $p=P(A_{i})={3 \over 10}$ și $q={7 \over 10}$

Probabilitatea este:

$C_{25}^{10}({3 \over 10})^{10}\cdot ({7 \over 10})^{15}$

Bibliografie

• Burtea M.,Burtea G. -"Matematică-manual pentru clasa a X-a ", Ed.Carminis,2008
• Ganga M.-"Matematică-manual pentru clasa a X-a",Ed.Mathpress,2008
• Radu V.,Barbu D.,Parau E.,Surulescu N.-"Elemente de Teoria Probabilităților și aplicații", Ed.Mirton,1997