Discuție:Viteză areolară

	Articolul Viteză areolară este un subiect de care se ocupă Proiectul Matematică, o inițiativă de a construi o listă cuprinzătoare și detaliată cu informații despre matematică Dacă doriți să participați la acest proiect, vă rugăm să vă înscrieți aici.
Început	Acest articol a fost evaluat ca făcând parte din grupa Început pe scala de calitate.
Neclasificat	Acest articol încă nu a fost evaluat pe scala de importanță.

Relația cu viteza unghiulară

Care e relația dintre viteza unghiulară și cea areolară?--MagnInd (discuție) 30 mai 2010 14:23 (EEST)

Consultație: viteza unghiulară instantanee este derivata temporală de ordinul întâi a unghiului la centru pe care-l descrie raza vectoare. Viteza areolară instantanee reprezintă derivata temporală de ordinul întâi a ariei pe care raza vectoare o mătură. Prima se măsoară în rad/s iar a doua în m² /s. Cele două mărimi sunt clar diferite, legate între ele prin relația geometrică dintre unghiul la centru elementar, modulul vectorului de poziție și a vectorului rază de curbură locală pentru un punct de pe traiectoria curbilinie generală. Scrierea relației generale dintre cele două mărimi fizice este o problemă care depășește cu mult cadrul acestei discuții (ea presupune formalismul tensorial pentru varietățile diferențiabile de ordinul doi). Pentru cazuri simple, cum este exemplul didactic al mișcării cirulare uniforme, relația se poate scrie relativ simplu; mă voi referi la acest caz trivial:

Pentru un punct material ce se mișcă cu viteză liniară uniformă pe o traiectorie circulară, viteza unghiulară se scrie, potrivit definiției, prin relația:

$\omega ={\frac {d\alpha }{dt}}$

scrierea vitezei areolare, pentru acest caz particular, este:

$\Omega ={\frac {dS}{dt}}$

legătura dintre elementul infinitesimal de arie ($\scriptstyle dS$) și unghiul la centru infinitesimal ($\scriptstyle d\alpha$) se scrie:

$dS={\frac {1}{2}}r^{2}d\alpha$

dacă facem înlocuirea și derivarea acestei ultime relații în penultima obținem:

$\Omega ={\frac {dS}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {d\alpha }{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}\omega$

Sau, invers:

$\omega =2\Omega {\frac {1}{r^{2}}}$

Cazul de mai sus, absolut simplu, prezintă cea mai trivială relație existentă între cele două noțiuni.

Pentru orice alte nedumeriri referitoare la chestiuni de științe ale naturii vă rog să nu aveți complexe de a contacta utilizatori experimentați în „construcția” enciclopediei ro.wp.

Al dumneavoastră devotat colaborator, --ZOLTAN (discuție) 30 mai 2010 17:54 (EEST)

Aceste elemente pot fi incluse în articolul despre Viteză areolară--MagnInd (discuție) 31 mai 2010 19:43 (EEST)--MagnInd (discuție) 31 mai 2010 23:12 (EEST)

(adus de la Discuție:Viteză unghiulară)

Traiectorii (orbite) pe conice (eliptice, hiperbolice)

E bine de dezvoltat articolul pentru cazul mai general (traiectorii necirculare)--MagnInd (discuție) 5 iunie 2010 14:40 (EEST)

De acord.De ce nu o dezvoltați dumneavoastră?--Zoltán (discuție) 6 iunie 2010 00:16 (EEST)

As dori sa o dezvolt dar nu prea am surse la îndemână (indicati niste surse care trateaza chestiunea), derivarea fara surse ia mai mult timp si trebuie oricum verificata cu surse daca deducerea e corecta--MagnInd (discuție) 6 iunie 2010 00:41 (EEST)

Pe net sunt șanse minime să găsiți surse care să trateze în detaliu chestiunea expresiei generale pentru viteza areolară. Problema aceasta este tratată în lucrări de mecanică teoretică sau de mecanică cerească. Din câte îmi amintesc eu, se pot găsi tratări detaliate ale problemei în lucrarea: Caius Iacob:Mecanică teoretică, Ed. didactică și pedagogică, București, 1980 sau în lucrări ale lui Mangeron de la Universitatea din Iași.

Oricum, problema scrierii relațiilor dintre viteza areolară și componentele poziției și a vitezei pentru mișcări pe curbe rectificabile sub acțiunea forțelor necentrale nu prezintă interes în mecanică întucât noțiunea are utilitate numai în cazul mișcărilor plane în câmp central de forțe.

Legătura utilă dintre viteza areolară și componentle poziției și a vitezei este exprimată de teorema ariilor. Astfel: pentru mișcări ce au loc sub acțiunea unor forțe care produc un moment permanent ortogonal pe o axă fixă sau dacă momentul este nul, momentul cinetic se conservă, adică relația:

$x{\dot {y}}-y{\dot {x}}={\frac {C_{1}}{m}}=C_{2}=const.$

este o integrală primă a mișcării.

Pentu mișcări cu moment cinetic constant, alegând planul traiectoriei în planul xOy, vectorul viteză areolară este paralelă cu axa Oz, astfel: valoarea componentei z a acesteia coincide cu valoarea scalară, se poate deci scrie:

$\left({\vec {\Omega }}\right)_{z}=\left({{\vec {r}}\times {\vec {v}} \over 2}\right)_{z}={\frac {x{\dot {y}}-y{\dot {x}}}{2}}$

Combinând ultimele două relații se găsește expresia:

$|{\vec {\Omega }}|=\Omega _{z}=C,unde:C={\frac {C_{2}}{2}}$

Această ultimă relație exprimă de fapt teorema ariilor: Dacă momentul $\scriptstyle {\vec {M}}$ al fortei $\scriptstyle {\vec {F}}$ este permanent ortogonal pe axa Oz, atunci mișcarea punctului, în proiecție pe planul xOy, se face cu viteză areolară constantă

Cu alte cuvinte, pentru mișcările plane, produse de forțe centrale, vectorul de poziție mătură arii egale în intervale de timp egale. Acesta este cazul tuturor mișcărilor libere ce au loc pe conice sub acțiunea forței centrale. Folosirea acestei teoreme este extrem de utilă (fiind o integrală primă a mișcării) pentru găsirea ecuațiilor de mișcare pe traiectorii eliptice, hiperbolice, etc. Din punct de vedere istoric, noțiunea „apare” pentru prima oară în Legile lui Kepler (a doua lege) cu privire la mișcarea orbitală a planetelor.

O formă cinematică generală pentru viteza areolară se poate scrie folosind pseudotensorul Levi-Civita:

$\Omega _{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}r_{j}{\frac {dr_{k}}{dt}}$

Relația aceasta însă nu are utilitate practică decât în cazul în care traiectoria mișcării și parametrii ei sunt aprioric determinate, altfel, nu ajută la nimic.--Zoltán (discuție) 6 iunie 2010 14:32 (EEST)

Multumesc de raspuns dezvoltat--MagnInd (discuție) 6 iunie 2010 22:43 (EEST)

Mai rămâne de făcut:

• explicitarea vitezei areolare în coordonate eliptice
• dezvoltarea secțiunii viteza areolară și legile lui Kepler
• legătura dintre legea a doua al lui Kepler și legea conservării momentului cinetic.
• scurtă retrospectivă istorică.

--ZOLTAN (discuție) 14 iunie 2010 00:03 (EEST)