Utilizator:UVT FMI 11 Mihai/Sandbox

Funcția de gradul al doilea

Acest articol își propune trecerea în revistă a cunoștințelor despre funcția de gradul al doilea tratată la nivel elementar (clasa a 9-a de liceu).

Definiție:

O funcție de forma $f:\mathbb {R} \ \rightarrow \ \mathbb {R} \ ,f(x)=ax^{2}+bx+c$, unde $a,b,c\in \mathbb {R} \ ,a\neq 0$ se numește funcție de gradul al doilea de variabilă $x$, cu coeficienți reali.

Exemple:

1. $f:\mathbb {R} \ \rightarrow \ \mathbb {R} \ ,f(x)=x^{2}+3x-5$
2. $g:\mathbb {R} \ \rightarrow \ \mathbb {R} \ ,g(x)=-4x^{2}+2x$
3. $h:\mathbb {R} \ \rightarrow \ \mathbb {R} \ ,h(x)=x^{2}$ - cea mai simplă funcție de gradul al doilea
   

Forma canonică

Pentru deducerea proprietăților funcției pe cale elementară (fără a folosi derivatele), se folosește forma canonică $f(x)=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\triangle }{4a^{2}}}\right]$

Monotonia

NOTĂ: Pentru a determina monotonia unei funcții, fără a folosi derivatele, se studiază semnul raportului $R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}$, unde $x_{1},x_{2}\in A$, cu $x_{1}\neq x_{2}$, numit rata creșterii. Dacă $R(x_{1},x_{2})>0$, funcția este strict crescătoare pe mulțimea A, iar dacă $R(x_{1},x_{2})<0$, funcția este strict descrescătoare pe mulțimea A.

Fie $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$, cu $x_{1}\neq x_{2}\in \mathbb {R}$, calculând rata creșterii $\ R(x_{1},x_{2})$, se obține $a(x_{1}+x_{2})^{2}+b$.

Cazul 1: $a>0$

Dacă $x_{1},x_{2}\in \left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right]$ cu $x_{1}\neq x_{2}$, rezultă $x_{1}<=-{\frac {b}{2a}},x_{2}<=-{\frac {b}{2a}}$, deci $x_{1}+x_{2}<=-{\frac {b}{a}}$. Cum $a>0$, rezultă că $a(x_{1}+x_{2})^{2}+b<=0$, adică $R(x_{1},x_{2})<=0$. Rezultă că funcția $f$ este strict descrescătoare pe $\left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right]$

Dacă $x_{1},x_{2}\in \left[-{\frac {b}{2a}},-\infty \right)$ cu $x_{1}\neq x_{2}$, rezultă $x_{1}>=-{\frac {b}{2a}},x_{2}>=-{\frac {b}{2a}}$, deci $x_{1}+x_{2}>=-{\frac {b}{a}}$. Cum $a>0$, rezultă că $a(x_{1}+x_{2})^{2}+b>=0$, adică $R(x_{1},x_{2})>=0$. Rezultă că funcția $f$ este strict crescătoare pe $\left[-{\frac {b}{2a}},-\infty \right)$

În acest caz funcția admite un minim $f_{min}(x)=-{\frac {\triangle }{4a}}$; de aceea, $x_{V}=-{\frac {b}{2a}}$ se numește punct de minim, iar $y_{V}=-{\frac {b}{2a}}$ se numește valoare minimă

Cazul 2: $a<0$

Dacă $x_{1},x_{2}\in \left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right]$ cu $x_{1}\neq x_{2}$, rezultă $x_{1}<=-{\frac {b}{2a}},x_{2}<=-{\frac {b}{2a}}$, deci $x_{1}+x_{2}<=-{\frac {b}{a}}$. Cum $a<0$, rezultă că $a(x_{1}+x_{2})^{2}+b>=0$, adică $R(x_{1},x_{2})>=0$. Rezultă că funcția $f$ este strict descrescătoare pe $\left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right]$

Dacă $x_{1},x_{2}\in \left[-{\frac {b}{2a}},-\infty \right)$ cu $x_{1}\neq x_{2}$, rezultă $x_{1}>=-{\frac {b}{2a}},x_{2}>=-{\frac {b}{2a}}$, deci $x_{1}+x_{2}>=-{\frac {b}{a}}$. Cum $a<0$, rezultă că $a(x_{1}+x_{2})^{2}+b<=0$, adică $R(x_{1},x_{2})<=0$. Rezultă că funcția $f$ este strict descrescătoare pe $\left[-{\frac {b}{2a}},-\infty \right)$

În acest caz funcția admite un maxim $f_{max}(x)=-{\frac {\triangle }{4a}}$; de aceea, $x_{V}=-{\frac {b}{2a}}$ se numește punct de maxim, iar $y_{V}=-{\frac {b}{2a}}$ se numește valoare maximă.

Observație: Cu ajutorul derivatei întâi, $f'(x)=2ax+b$, pentru orice $x\in \mathbb {R}$, deci funcția $f$ este derivabilă pe $\mathbb {R}$. Rezolvând ecuația $f'(x)=0$, se obține un singur punct critic, deci, conform teoremei lui Fermat, un potențial punct de extrem: $x=-{\frac {b}{2a}}$.

Dacă $a>0$:

-pentru $x\in \left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right)$, $f'(x)<0$, deci funcția este strict descrescătoare pe $\left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right]$

-pentru $x\in \left(-{\frac {b}{2a}},-\infty \right)$, $f'(x)>0$, deci funcția este strict crescătoare pe $\left[-{\frac {b}{2a}},-\infty \right)$

Dacă $a<0$:

-pentru $x\in \left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right)$, $f'(x)>0$, deci funcția este strict crescătoare pe $\left(-\infty ,-{\frac {b}{2a}}\right]$

-pentru $x\in \left(-{\frac {b}{2a}},-\infty \right)$, $f'(x)<0$, deci funcția este strict descrescătoare pe $\left[-{\frac {b}{2a}},-\infty \right)$

Simetria

Deoarece, $f\left(-{\frac {b}{2a}}-x\right)=f\left(-{\frac {b}{2a}}+x\right)$ pentru orice $x\in \mathbb {R}$, se deduce că graficul funcției de gradul al doilea este simetric față de dreapta verticală ce conține vârful acesteia: dreapta de ecuație $x=-{\frac {b}{2a}}$

Graficul:

Curba descrisǎ de funcție se numește PARABOLĂ și poate fi vizualizatǎ la adresa http://math121cbaker.files.wordpress.com/2008/10/parabola-for-math.gif

Pentru trasarea graficului prim metode elementare se parcurg câteva etape, în vederea determinării unui număr suficient de puncte prin care se va trasa parabola:

• Intersecția cu axa $Ox$

- se rezolvǎ ecuația atașatǎ $f(x)=0\Leftrightarrow ax^{2}+bx+c=0$

- natura rǎdǎcinilor este datǎ de discriminantul ecuației, $\triangle =b^{2}-4ac$

- dacă $\triangle >0$ atunci ecuația are două rădăcini reale distincte: $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\triangle }}}{2a}}$, așadar parabola intersectează axa $Ox$ în douǎ puncte distincte $A(x_{1},0)$ și $A^{'}(x_{2},0)$.

- dacă $\triangle =0$ atunci ecuația are o rădăcină reală dublă: $x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}$, așadar parabola intersectează axa $Ox$ într-un singur punct, adică este tangentă axei în punctul $A(x_{1},0)$

- dacă $\triangle <0$ atunci ecuația nu are o rădăcini reale: $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {-\triangle }}}{2a}}$, așadar parabola nu intersectează axa $Ox$

• Intersecția cu axa $Oy$

- se calculează $f(0)=c$, deci punctul de intersecție este $B(0,c)$

• Vârful parabolei

Este punctul $V(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\triangle }{4a}})$

Pentru trasarea graficului se recomandă sintetizarea informațiilor deduse într-un tabel, în sensul că în tabel se vor trece coordonatele punctelor remarcabile descoperite: punctele de intersecție cu axele de coordonate, vârful și indicații de monotonie. Dacă punctele sunt insuficiente, se mai pot alege puncte cu abscise convenabile.