Vizualizare sursă pentru „Snub”

{{imagine multiplă
| align = right  | total_width = 310
| image1 = Uniform polyhedron-43-s012.png
| caption1= [[Cub snub]] sau<br/>Cuboctaedru snub
| image2 = Uniform polyhedron-53-s012.png
| caption2=[[Dodecaedru snub]] sau<br/>Icosidodecaedru snub
}}
[[Fișier:Snubcubes in grCO.svg|300px|thumb|Două copii chirale ale cubului snub, ca vârfuri alternate (roșii sau verzi) ale [[cuboctaedru trunchiat |cuboctaedrului trunchiat]]]]
În [[geometrie]], '''snub''' este o operație aplicată unui [[poliedru]]. Termenul provine din numele date de [[Kepler]] la două [[poliedru arhimedic |poliedre arhimedice]]: [[cub snub |cubul snub]] (cubus simus) și [[dodecaedru snub |dodecaedrul snub]] (dodecaedron simum).<ref>{{la icon}} [[Kepler]], ''Harmonices Mundi'', 1619</ref> În general, snuburile au simetrie chirală cu două forme: cu orientare în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic. După numele lui Kepler, un snub poate fi văzut ca o [[Expandare (geometrie) |expandare]] a unui [[poliedru regulat]]: deplasarea fețelor, răsucirea lor în jurul centrelor lor, adăugarea de poligoane noi centrate pe vârfurile originale și adăugarea de perechi de triunghiuri care se încadrează între marginile originale.

Terminologia a fost generalizată de [[Coxeter]], cu o definiție ușor diferită, pentru o gamă mai largă de [[politop uniform |politopuri uniforme]].

== Snubul Conway ==
[[John Horton Conway | John Conway]] a explorat [[operator (matematică)|operatorii]] poliedrici generalizați, definind ceea ce acum se numește acum [[notația Conway a poliedrelor]], care poate fi aplicată poliedrelor și [[pavare |pavărilor]]. Conway numește operația așa cum a fost definită de Coxeter ''semisnub''.

În această notație, operatorul ''snub'' (''s'') este definit de operatorii ''dual'' (''d'') și ''giro'' (''g'') drept ''s''&nbsp;=&nbsp;''dg'' și este echivalent cu o [[alternare (geometrie) |alternare]] a unei trunchieri a operatorului ''ambo''. Notația Conway evită operația de alternare (''half'') a lui Coxeter, deoarece se aplică numai la poliedre cu fețe poligonale cu un număr par de laturi.
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Figuri regulate snub
|-
!Forme pentru snub
!colspan=3|Poliedre
!colspan=2|Pavări euclidiene
!Pavări hiperbolice
|-
!Nume
|[[Tetraedru]]
|[[Cub]] or<br/>[[octaedru]]
|[[Icosaedru]] sau<br/>[[dodecaedru]]
|[[Pavare pătrată]]
|[[Pavare hexagonală]] sau<br/>[[Pavare triunghiulară]]
|[[Pavare heptagonală]] sau<br/>[[Pavare triunghiulară de ordinul 7]]
|-
!Imagini
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t0.png|40px]][[Fișier:Uniform polyhedron-33-t2.png|40px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t0.svg|40px]][[Fișier:Uniform polyhedron-43-t2.svg|40px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t0.svg|40px]][[Fișier:Uniform polyhedron-53-t2.svg|40px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t0.svg|40px]][[Fișier:Uniform tiling 44-t2.svg|40px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 63-t0.svg|40px]][[Fișier:Uniform tiling 63-t2.svg|40px]]
|[[Fișier:Heptagonal tiling.svg|40px]][[Fișier:Order-7 triangular tiling.svg|40px]]
|-
![[notația Conway a poliedrelor |Notația<br/>Conway]]
!sT
!sC = sO
!sI = sD
!sQ
!sH = s&Delta;
!s&Delta;<sub>7</sub>
|-
!Imagini
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-s012.svg|100px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-s012.png|100px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-s012.png|100px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 44-snub.svg|100px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 63-snub.svg|100px]]
|[[Fișier:Snub triheptagonal tiling.svg|100px]]
|}

În 4 dimensiuni Conway propune că [[24-celule snub]] ar trebui numit ''24-celule semisnub'', deoarece, spre deosebire de [[poliedru snub |poliedrele snub]] tridimensionale, sunt forme omnitrunchiate alternate, nu este un [[24-celule omnitrunchiat]] alternat. În schimb, este de fapt un [[24-celule trunchiat]] alternat.<ref>Conway, 2008, p.&nbsp;401 Gosset's Semi-snob Polyoctahedron</ref>

== Snubul Coxeter, regulat și cvasiregulat ==
[[Fișier:A5-A7.gif|thumb|Un [[cub snub]] poate fi construit dintr-un [[rombicuboctaedru]] prin rotirea celor 6 fețe pătrate albastre până când cele 12 fețe pătrate albe devin perechi de fețe triunghiulare echilaterale]]
Terminologia lui Coxeter este ușor diferită, înseamnând o trunchiere alternată, obținâmd cubul snub ca un ''cuboctaedru snub'', iar dodecaedrul snub ca un ''icosidodecaedru snub''. Această definiție este utilizată în denumirile a două [[poliedru Johnson |poliedre Johnson]]: [[bisfenoid snub |bisfenoidul snub]] și [[antiprismă pătrată snub |antiprisma pătrată snub]], precum și în politopuri din dimensiuni superioare, cum ar fi 4-dimensionalul [[24-celule snub]], cu simbolul Schläfli extins s{3,4,3} și diagrama Coxeter {{CDD|node_h|3|node_h|4|node|3|node}}.

Un poliedru regulat (sau pavare), cu simbolul Schläfli <math>\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>, și diagrama Coxeter {{CDD|node_1|p|node|q|node}} are trunchierea definită ca <math>t \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math> și {{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}, și are snubul definit ca trunchierea alternată <math>ht \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} = s \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math> și {{CDD|node_h|p|node_h|q|node}}. Această construcție alternată necesită ca ''q'' să fie par.

Un [[poliedru cvasiregulat]], cu simbolul Schläfli <math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math> sau ''r''{''p'',''q''} și diagrama Coxeter {{CDD|node_1|split1-pq|nodes}} sau {{CDD|node|p|node_1|q|node}}, are trunchierea cvasiregulată definită ca <math>t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math> sau ''tr''{''p'',''q''} și {{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}} sau {{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}} și are snubul cvasiregulat definit ca rectificarea trunchiată alternată <math>ht\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} = s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math> or ''htr''{''p'',''q''} = ''sr''{''p'',''q''} și {{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}} sau {{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}.
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Cub snub, obținut din cub sau cuboctaedru
|-
|
!Sămânță
![[Rectificare (geometrie)|Rectificat]]<br/>r
![[Trunchiere (geometrie)|Trunchiat]]<br/>t
![[Alternare (geometrie)|Alternat]]<br/>h
|-
!Nume
!Cub
![[Cuboctaedru]]<br/>Cub rectificat
![[Cuboctaedru trunchiat]]<br/>Cub cantitrunchiat
!Cuboctaedru snub<br/> Cub rectificat snub
|-
![[notația Conway a poliedrelor |Notația Conway]]
|C
|CO<br/>rC
|tCO<br/>trC or trO
|htCO = sCO<br/>htrC = srC
|-
!Simbol Schläfli
|{4,3}
|<math>\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> or r{4,3}
|<math>t \begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> or tr{4,3}
|<math>ht \begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix} = s \begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math><br/>htr{4,3} = sr{4,3}
|-
!Diagramă Coxeter
|{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
|{{CDD|node_1|split1-43|nodes}} sau {{CDD|node|4|node_1|3|node}}
|{{CDD|node_1|split1-43|nodes_11}} sau{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}
|{{CDD|node_h|split1-43|nodes_hh}} sau {{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}
|-
!Imagine
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t0.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t1.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t012.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-s012.png|50px]]
|}

De exemplu, cubul snub al lui Kepler este obținut din cuboctaedrul cvasiregulat, cu un simbol Schläfli vertical <math>\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> și diagrama Coxeter {{CDD|node_1|split1-43|nodes}}, iar așa este mai explicit numit ''cuboctaedru snub'', exprimat de un simbol Schläfli vertical <math>s\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> și o diagramă Coxeter {{CDD|node_h|split1-43|nodes_hh}}. Cuboctaedrul snub este alternarea ''cuboctaedrului trunchiat'', <math>t\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> și {{CDD|node_1|split1-43|nodes_11}}.

Poliedrele regulate cu fețe cu un număr par de vârfuri pot fi, de asemenea, snubate ca trunchieri alternate, cum ar fi ''octaedru snub'', așa cum <math>s\begin{Bmatrix} 3 , 4 \end{Bmatrix}</math>, {{CDD|node_h|3|node_h|4|node}}, este alternarea [[octaedru trunchiat |octaedrului trunchiat]], <math>t\begin{Bmatrix} 3 , 4 \end{Bmatrix}</math> și {{CDD|node_1|3|node_1|4|node}}.. ''Octaedru snub'' reprezintă [[pseudoicosaedru]]l, un [[icosaedru]] regulat cu [[simetrie piritoedrică]].

''Tetratetraedrul snub'', ca <math>s\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> și {{CDD|node_h|split1|nodes_hh}}, este alternarea formei cu simetrie tetraedică, trunchiate, <math>t\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> și {{CDD|node_1|split1|nodes_11}}.
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|-
|
!Sămânță
!Trunchiat<br/>t
!Alternat<br/>h
|-
!Nume
!Octaedru
!Octaedru trunchiat
!Octaedru snub
|-
!Notația Conway
|O
|tO
|htO or sO
|-
!Simbol Schläfli
|{3,4}
|t{3,4}
|ht{3,4} = s{3,4}
|-
!Diagramă Coxeter
|{{CDD|node_1|3|node|4|node}}
|{{CDD|node_1|3|node_1|4|node}}
|{{CDD|node_h|3|node_h|4|node}}
|-
!Imagine
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t12.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-h01.svg|50px]]
|}

Operația snub definită de Coxeter permite să se definească ''n''-[[antiprismă |antiprismele]] ca <math>s\begin{Bmatrix} 2 \\ n \end{Bmatrix}</math> sau <math>s\begin{Bmatrix} 2 , 2n \end{Bmatrix}</math>, bazate pe ''n''-prismele <math>t\begin{Bmatrix} 2 \\ n \end{Bmatrix}</math> or <math>t\begin{Bmatrix} 2 , 2n \end{Bmatrix}</math>, unde <math>\begin{Bmatrix} 2 , n \end{Bmatrix}</math> este un ''n''-[[hosoedru]] regulat, un poliedru [[degenerare (matematică)|degenerat]], dar o pavare validă a sferei cu fețe în formă de [[digon |digoane]] sau [[lentilă (geometrie)|lentile]].
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ [[Hosoedru |Hosoedre]] snub, {2,2p}
|-
!Imagine
| [[Fișier:Digonal antiprism.png|60px]]
| [[Fișier:trigonal antiprism.png|60px]]
| [[Fișier:square antiprism.png|60px]]
| [[Fișier:pentagonal antiprism.png|60px]]
| [[Fișier:Hexagonal antiprism.png|60px]]
| [[Fișier:Antiprism 7.png|60px]]
| [[Fișier:Octagonal antiprism.png|60px]]
| [[Fișier:Infinite antiprism.svg|60px]]
|-
!Diagrame Coxeter
|{{CDD|node_h|2x|node_h|4|node}}<br/>{{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h}}
|{{CDD|node_h|2x|node_h|6|node}}<br/>{{CDD|node_h|2x|node_h|3|node_h}}
|{{CDD|node_h|2x|node_h|8|node}}<br/>{{CDD|node_h|2x|node_h|4|node_h}}
|{{CDD|node_h|2x|node_h|10|node}}<br/>{{CDD|node_h|2x|node_h|5|node_h}}
|{{CDD|node_h|2x|node_h|12|node}}<br/>{{CDD|node_h|2x|node_h|6|node_h}}
|{{CDD|node_h|2x|node_h|14|node}}<br/>{{CDD|node_h|2x|node_h|7|node_h}}
|{{CDD|node_h|2x|node_h|16|node}}...<br/>{{CDD|node_h|2x|node_h|8|node_h}}...
|{{CDD|node_h|2x|node_h|infin|node}}<br/>{{CDD|node_h|2x|node_h|infin|node_h}}
|-
!rowspan=2|SimboluriSchläfli
|[[tetraedru |s{2,4}]]
|[[octaedru |s{2,6}]]
|[[antiprismă pătrată |s{2,8}]]
|[[antiprismă pentagonală |s{2,10}]]
|[[antiprismă hexagonală |s{2,12}]]
|[[antiprismă heptagonală |s{2,14}]]
|[[antiprismă octogonală |s{2,16}]]...
|[[antiprismă apeirogonală |s{2,&infin;}]]
|-
|sr{2,2}<br/><math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
|sr{2,3}<br/><math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>
|sr{2,4}<br/><math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 4 \end{Bmatrix}</math>
|sr{2,5}<br/><math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 5 \end{Bmatrix}</math>
|sr{2,6}<br/><math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 6 \end{Bmatrix}</math>
|sr{2,7}<br/><math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 7 \end{Bmatrix}</math>
|sr{2,8}...<br/><math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ 8 \end{Bmatrix}</math>...
|sr{2,&infin;}<br/><math>s \begin{Bmatrix} 2 \\ \infin \end{Bmatrix}</math>
|-
!Notația Conway
|A2 = T
|A3 = O
|A4
|A5
|A6
|A7
|A8...
|A&infin;
|}

Același proces se aplică pavărilor snub:
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|-
![[Pavare triunghiulară]]<br/>&Delta;
!Pavare triunghiulară trunchiată<br/>t&Delta;
!Pavare triunghiulară snub<br/>ht&Delta; = s&Delta;
|-
|{3,6}
|t{3,6}
|ht{3,6} = s{3,6}
|-
|{{CDD|node_1|3|node|6|node}}
|{{CDD|node_1|3|node_1|6|node}}
|{{CDD|node_h|3|node_h|6|node}}
|-
|[[Fișier:Uniform tiling 63-t2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 63-t12.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 63-h12.png|50px]]
|}

=== Exemple ===
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Snuburi bazate pe {p,4}
|-
!Spațiu
!colspan=2|Sferic
!Euclidian
!colspan=5|Hiperbolic
|-
!Imagine
|[[Fișier:Digonal antiprism.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-h01.svg|60px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 44-h01.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 542-h01.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 64-h02.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 74-h01.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 84-h01.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform tiling i42-h01.png|60px]]
|-
!Diagramă<br/>Coxeter
|{{CDD|node_h|2x|node_h|4|node}}
|{{CDD|node_h|3|node_h|4|node}}
|{{CDD|node_h|4|node_h|4|node}}
|{{CDD|node_h|5|node_h|4|node}}
|{{CDD|node_h|6|node_h|4|node}}
|{{CDD|node_h|7|node_h|4|node}}
|{{CDD|node_h|8|node_h|4|node}}
|...{{CDD|node_h|infin|node_h|4|node}}
|-
!Simbol<br/>Schläfli
|[[Tetraedru|s{2,4}]]
|[[Icosaedru|s{3,4}]]
|[[Pavare pătrată snub|s{4,4}]]
|[[Pavare pentapentagonală snub|s{5,4}]]
|[[Pavare hexahexagonală snub|s{6,4}]]
|[[Pavare heptaheptagonală snub| s{7,4}]]
|[[Pavare octaoctagonală snub|s{8,4}]]
|...|[[Pavare apeiroapeirogonală snub|s{&infin;,4}]]
|}

{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Snuburi cvasiregulate bazate pe r{p,3}
|-
|-
!Notația<br/>Conway
!colspan=4|Sferic
!Euclidian
!colspan=3|Hiperbolic
|-
!Imagine
|[[Fișier:Trigonal antiprism.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-s012.svg|60px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-s012.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-s012.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 63-snub.svg|60px]]
|[[Fișier:Snub triheptagonal tiling.svg|60px]]
|[[Fișier:H2-8-3-snub.svg|60px]]
|[[Fișier:Uniform tiling i32-snub.png|60px]]
|-
!Diagramă<br/>Coxeter
|{{CDD|node_h|2x|node_h|3|node_h}}
|{{CDD|node_h|3|node_h|3|node_h}}
|{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}
|{{CDD|node_h|5|node_h|3|node_h}}
|{{CDD|node_h|6|node_h|3|node_h}}
|{{CDD|node_h|7|node_h|3|node_h}}
|{{CDD|node_h|8|node_h|3|node_h}}
|...{{CDD|node_h|infin|node_h|3|node_h}}
|-
!rowspan=2|Simbol<br/>Schläfli
|[[octaedru|sr{2,3}]]
|[[icosaedru|sr{3,3}]]
|[[cub snub|sr{4,3}]]
|[[dodecaedru snub|sr{5,3}]]
|[[pavare hexagonală snub|sr{6,3}]]
|[[pavare heptagonală snub|sr{7,3}]]
|[[pavare octogonală snub|sr{8,3}]]
|... [[pavare triapeirogonală snub|sr{&infin;,3}]]
|-
|<math>s\begin{Bmatrix} 2 \\3 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} 3 \\3 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} 4 \\3 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} 5 \\3 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} 6 \\3 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} 7 \\3 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} 8 \\3 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} \infin \\3 \end{Bmatrix}</math>
|-
!Notație<br/>Conway
|A3
|sT
|sC sau sO
|sD sau sI
|s&Eta; sau s&Delta;
|
|
|
|}

{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Snuburi cvasiregulate bazate pe r{p,4}
|-
!Spațiu
!colspan=2|Sferic
!Euclidian
!colspan=5|Hiperbolic
|-
!Imagine
|[[Fișier:square antiprism.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-s012.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 44-snub.svg|60px]]
|[[Fișier:H2-5-4-snub.svg|60px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 64-snub.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 74-snub.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 84-snub.png|60px]]
|[[Fișier:Uniform tiling i42-snub.png|60px]]
|-
!Diagramă<br/>Coxeter
|{{CDD|node_h|2x|node_h|4|node_h}}
|{{CDD|node_h|3|node_h|4|node_h}}
|{{CDD|node_h|4|node_h|4|node_h}}
|{{CDD|node_h|5|node_h|4|node_h}}
|{{CDD|node_h|6|node_h|4|node_h}}
|{{CDD|node_h|7|node_h|4|node_h}}
|{{CDD|node_h|8|node_h|4|node_h}}
|...{{CDD|node_h|infin|node_h|4|node_h}}
|-
!rowspan=2|Simbol<br/>Schläfli
|[[Antiprismă pătrată|sr{2,4}]]
|[[Cub snub |sr{3,4}]]
|[[Pavare pătrată snub |sr{4,4}]]
|[[Pavare tetrapentagonală snub |sr{5,4}]]
|[[Pavare tetrahexagonală snub |sr{6,4}]]
|[[Pavare tetraheptagonală snub |sr{7,4}]]
|[[Pavare tetraoctogonală snub|sr{8,4}]]
|...[[Pavare tetrapeirogonală snub |sr{&infin;,4}]]
|-
|<math>s\begin{Bmatrix} 2 \\4 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} 3 \\4 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} 4 \\4 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} 5 \\4 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} 6 \\4 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} 7 \\4 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} 8 \\4 \end{Bmatrix}</math>
|<math>s\begin{Bmatrix} \infin \\4 \end{Bmatrix}</math>
|-
!Notația<br/>Conway
|A4
|sC sau sO
|sQ
|
|
|
|
|
|}

=== Poliedre neuniforme snub ===
Poliedrele neuniforme cu toate fețele având un număr par de vârfuri pot fi snubate, inclusiv unele seturi infinite; de exemplu:
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Bipiramide snub sdt{2,p}
|-
|[[Fișier:Snub_square_bipyramid_sequence.png|320px]]
|-
!Bipiramidă pătrată snub
|- align=center
|[[Fișier:Snub_hexagonal_bipyramid_sequence.png|320px]]
|-
!Bipiramidă hexagonală snub
|}

{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Bipiramide rectificate snub srdt{2,p}
|-
|[[Fișier:Snub_rectified_hexagonal_bipyramid_sequence.png|480px]]
|}

{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Antiprisme snub s{2,2p}
|-
!Imagine
|[[Fișier:Snub digonal antiprism.png|50px]]
|[[Fișier:snub triangular antiprism.png|80px]]
|[[Fișier:Snub square antiprism colored.png|80px]]
|[[Fișier:Snub pentagonal antiprism.png|80px]]...
|-
!rowspan=2|Simbol<br/>Schläfli
|[[Disfenoid snub |ss{2,4}]]
|[[Icosaedru|ss{2,6}]]
|[[Antiprismă pătrată snub |ss{2,8}]]
|ss{2,10}...
|- 
|ssr{2,2}<br/><math>ss \begin{Bmatrix} 2 \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
|ssr{2,3}<br/><math>ss \begin{Bmatrix} 2 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>
|ssr{2,4}<br/><math>ss \begin{Bmatrix} 2 \\ 4 \end{Bmatrix}</math>
|ssr{2,5}...<br/><math>ss \begin{Bmatrix} 2 \\ 5 \end{Bmatrix}</math>
|}

=== Poliedrele stelate uniforme snub (Coxeter) ===
Poliedrele stelate snub se construiesc pe baza [[triunghi Schwarz |triunghiurilor Schwarz]] (p q r), cu unghiurile reflexiilor ordonate rațional, iar toate oglinzile sunt active și alternate.
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ [[Poliedru stelat uniform |Poliedre stelate uniforme]] snub
|- valign=top 
|[[Fișier:Retrosnub tetrahedron.png|100px]]<br/>[[Marele icosaedru|s{3/2,3/2}]]<br/>{{CDD|node_h|3x|rat|2x|node_h|3x|rat|2x|node_h}}
|[[Fișier:Small snub icosicosidodecahedron.png|100px]]<br/>[[Micul icosicosidodecaedru snub|s{(3,3,5/2)}]]<br/>{{CDD|node_h|split1|branch_hh|label5-2}}
|[[Fișier:Snub dodecadodecahedron.png|100px]]<br/>[[Ddodecadodecaedru snub|sr{5,5/2}]]<br/>{{CDD|node_h|5|node_h|5-2|node_h}}
|[[Fișier:Snub icosidodecadodecahedron.png|100px]]<br/>[[Icosidodecadodecaedru snub|s{(3,5,5/3)}]]<br/>{{CDD|node_h|split1-53|branch_hh|label5-3}}
|[[Fișier:Great snub icosidodecahedron.png|100px]]<br/>[[Marele icosidodecaedru snub|sr{5/2,3}]]<br/>{{CDD|node_h|5|rat|d2|node_h|3|node_h}}
|- valign=top
|[[Fișier:Inverted snub dodecadodecahedron.png|100px]]<br/>[[Dodecadodecaedru snub inversat|sr{5/3,5}]]<br/>{{CDD|node_h|5|rat|d3|node_h|5|node_h}}
|[[Fișier:Great snub dodecicosidodecahedron.png|100px]]<br/>[[Marele dodecicosidodecaedru snub|s{(5/2,5/3,3)}]]<br/>{{CDD|label5-3|branch_hh|split2-p3|node_h}}
|[[Fișier:Great inverted snub icosidodecahedron.png|100px]]<br/>[[Marele icosidodecaedru snub inversat|sr{5/3,3}]]<br/>{{CDD|node_h|5|rat|d3|node_h|3|node_h}}
|[[Fișier:Small retrosnub icosicosidodecahedron.png|100px]]<br/>[[Micul icosicosidodecaedru retrosnub|s{(3/2,3/2,5/2)}]]
|[[Fișier:Great retrosnub icosidodecahedron.png|100px]]<br/>[[Marele icosidodecaedru retrosnub|s{3/2,5/3}]]<br/>{{CDD|node_h|3x|rat|2x|node_h|5-3|node_h}}
|}

=== Politopuri și faguri snub din dimensiuni superioare (Coxeter) ===
În general, un 4-politop regulat cu simbolul Schläfli <math>\begin{Bmatrix} p , q, r \end{Bmatrix}</math>, și diagrama Coxeter {{CDD|node_1|p|node|q|node|r|node}}, are snubul cu simbolul Schläfli extins <math>s \begin{Bmatrix} p , q, r \end{Bmatrix}</math> și {{CDD|node_h|p|node_h|q|node|r|node}}.

Un 4-politop rectificat <math>\begin{Bmatrix} p \\ q, r \end{Bmatrix}</math> = '''r{p,q,r}''', și {{CDD|node|p|node_1|q|node|r|node}} are simbolul snubului <math>s\begin{Bmatrix} p \\ q , r \end{Bmatrix}</math> = '''sr{p,q,r}''' și {{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h|r|node}}.

=== Exemple ===
[[Fișier:Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png|thumb|Proiecție ortogonală a [[24-celule snub]]]]
Există un singur 4-politop convex uniform snub, [[24-celule snub]]. [[24-celule]] regulat are simbolul Schläfli <math>\begin{Bmatrix} 3 , 4, 3 \end{Bmatrix}</math> și diagrama Coxeter {{CDD|node_1|3|node|4|node|3|node}}, iar 24-celule snub este reprezentat de <math>s\begin{Bmatrix} 3 , 4, 3 \end{Bmatrix}</math> și diagrama Coxeter diagram {{CDD|node_h|3|node_h|4|node|3|node}}. El are și o construcție cu o simetrie indice 6 ca <math>s\left\{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}\right\}</math> sau s{3<sup>1,1,1</sup>} și {{CDD|node_h|splitsplit1|branch3_hh|node_h}}, și o subsimetrie indice 3 ca <math>s\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 , 4 \end{Bmatrix}</math> sau sr{3,3,4} și {{CDD|node_h|3|node_h|3|node_h|4|node}} sau {{CDD|node_h|split1|nodes_hh|4a|nodea}}.

[[Fagure 24-celule snub |Fagurele 24-celule snub]] asociat poate fi văzut ca <math>s\begin{Bmatrix} 3 , 4, 3, 3 \end{Bmatrix}</math> sau s{3,4,3,3} și {{CDD|node_h|3|node_h|4|node|3|node|3|node}}, iar cu simetrie mai mică <math>s\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 , 4, 3 \end{Bmatrix}</math> sau sr{3,3,4,3} și {{CDD|node_h|3|node_h|3|node_h|4|node|3|node}} sau {{CDD|node_h|split1|nodes_hh|3a|nodea|4a|nodea}}, iar cu o formă cu simetrie mai mică ca <math>s\left\{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}\right\}</math> sau s{3<sup>1,1,1,1</sup>} și {{CDD|nodes_hh|split2|node_h|split1|nodes_hh}}.

Un fagure euclidian este un [[Fagure sleb hexagonal alternat |fagurele sleb hexagonal alternat]], s{2,6,3} și {{CDD|node_h|2x|node_h|6|node|3|node}} sau sr{2,3,6} și {{CDD|node_h|2x|node_h|3|node_h|6|node}} sau sr{2,3<sup>[3]</sup>} și {{CDD|node_h|2x|node_h|split1|branch_hh}}.
: [[Fișier:Tetroctahedric semicheck.png|160px]]

Alt fagure euclidian (scaliform) este [[Fagure sleb pătrat alternat |fagurele sleb pătrat alternat]], s{2,4,4} și {{CDD|node_h|2x|node_h|4|node|4|node}} sau sr{2,4<sup>1,1</sup>} și {{CDD|node_h|2x|node_h|split1-44|nodes_hh}}:
: [[Fișier:Alternated cubic slab honeycomb.png|160px]]

Unicul fagure uniform hiperbolic snub este ''fagurele pavare hexagonală snub'', ca s{3,6,3} și {{CDD|node_h|3|node_h|6|node|3|node}}, care poate fi construit și ca un [[fagure pavare hexagonală alternată]], h{6,3,3}, {{CDD|node_h1|6|node|3|node|3|node}}. El poate fi construit și ca s{3<sup>[3,3]</sup>} și {{CDD|branch_hh|splitcross|branch_hh}}.

Alt fagure hiperbolic (scaliform) este [[fagure octaedric snub de ordinul 4 |fagurele octaedric snub de ordinul 4]], s{3,4,4} și {{CDD|node_h|3|node_h|4|node|4|node}}.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{Cite journal | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | last2=Longuet-Higgins | first2=M. S. | last3=Miller | first3=J. C. P. | title=Uniform polyhedra | jstor=91532 | mr=0062446  | year=1954 | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences | issn=0080-4614 | volume=246 |issue=916 | pages=401–450 | publisher=The Royal Society | doi=10.1098/rsta.1954.0003 | bibcode=1954RSPTA.246..401C | s2cid=202575183 }}
* {{en icon}} [[Coxeter|Coxeter, H.S.M.]] ''Regular Polytopes'', (3rd edition, 1973), Dover edition, {{isbn|0-486-61480-8}} (pp.&nbsp;154–156 8.6 Partial truncation, or alternation)
* {{en icon}} ''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{isbn|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html], Googlebooks [https://books.google.com/books?id=fUm5Mwfx8rAC&lpg=PP1&dq=Kaleidoscopes%20Coxeter&pg=PP1#v=onepage&q=&f=false]
** (Paper 17) H.S.M. Coxeter, ''The Evolution of Coxeter–Dynkin diagrams'', [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
** (Paper 22) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi Regular Polytopes I'', [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
** (Paper 23) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'', [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
** (Paper 24) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes III'', [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
* {{en icon}} H.S.M. Coxeter, ''The Beauty of Geometry: Twelve Essays'', Dover Publications, 1999, {{isbn|978-0-486-40919-1}} (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
* {{en icon}} [[Norman Johnson]] ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
* {{en icon}} N.W. Johnson: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
* {{en icon}} [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ''The Symmetries of Things'' 2008, {{isbn|978-1-56881-220-5}}
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = Snubification | title = Snubification}}
* {{en icon}} Richard Klitzing, ''Snubs, alternated facetings, and Stott–Coxeter–Dynkin diagrams'', Symmetry: Culture and Science, Vol. 21, No.4, 329–344, (2010) [http://bendwavy.org/klitzing/pdf/Stott_v8.pdf]

{{Operatori poliedrici}}

[[Categorie:Geometrie]]
[[Categorie:Poliedre]]