Principiul contracției

Fie $(S,d)$ un spațiu metric complet. Aplicația $f:S\longrightarrow S$ este o contracție a lui S dacă există $q\in (0,1)$ , numit coeficient de contracție, astfel încât:

d(f(x),f(y))\leq qd(x,y)(\forall )x,y\in S\ (1.1)

Punctul $c\in S$ se numește punct fix al aplicației $f:S\longrightarrow S$ dacă avem: $f(c)=c.\ (1.2)$

Fie $a_{0}\in S$ fixat și fie șirul de puncte $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ din S definit succesiv prin:

\left\{{\begin{array}{rcl}a_{1}=f(a_{0})\\a_{2}=f(a_{1})\\...................\\a_{n}=f(a_{n-1})\end{array}}\right.\;

Știind că S este un spațiu metric complet pentru a arăta că șirul $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definit prin (1.3) este convergent în S este suficient să arătăm că acest șir este fundamental în S. Deoarece f este o contracție a lui S, avem succesiv:

d(a_{1},a_{2})=d(f(a_{0}),f(a_{1})\leq qd(a_{0},a_{1})

d(a_{2},a_{3})=d(f(a_{1}),f(a_{2})\leq qd(a_{1},a_{2})\leq q^{2}d(a_{0},a_{1})

d(a_{3},a_{4})=d(f(a_{2}),f(a_{3})\leq qd(a_{2},a_{3})\leq q^{3}d(a_{0},a_{1})

Prin inducție se obține:

d(a_{n},a_{n+1})\leq q^{n}d(a_{0},a_{1}),(\forall )n\in \mathbb {N} ,q\in (0,1).

(1.4)

Pe de altă parte, pentru orice $p\in \mathbb {N}$ , avem

d(a_{n},a_{n+p})\leq d(a_{n},a_{n+1}+d(a_{n+1},a_{n+2})+...d(+a_{n+p-1},a_{n+p})

și folosind corespunzător inegalitatea (1.4) se obține:

d(a_{n},a_{n+p})\leq q^{n}d(a_{0},a_{1})+q^{n+1}d(a_{0},a_{1})+...+q^{n+p-1}d(a_{0},a_{1})=

=q^{n}d(a_{0},a_{1})(1+q+q^{2}+...+q^{n-1})=q^{n}d(a_{0},a_{1}){\frac {q^{p}-1}{q-1}}=

=q^{n}d(a_{0},a_{1}){\frac {1-q^{p}}{1-q}}\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(a_{0},a_{1}).

Deci:

d(a_{p},a_{n+p})\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(a_{0},a_{1}),(\forall )n\in \mathbb {N} ,(\forall )p\in \mathbb {N} ,q\in (0,1).

(1.5)

Presupunem că $d(a_{0},a_{1})\neq 0$ . Deoarece $q\in (0,1)\Rightarrow {\frac {q^{n}}{1-q}}d(a_{0},a_{1})\rightarrow 0\in \mathbb {R}$ , ceea ce implică:

((\forall )\varepsilon >0,(\exists )N(\varepsilon )

, (1.6)

astfel încât $(\forall )n>N(\varepsilon )$ și $(\forall )p\in \mathbb {N} \Rightarrow d(a_{n},a_{n+p})<\varepsilon$ și aratăm că șirul de puncte $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ este un șir fundamental în spațiul metric complet S și in consecință este convergent în S. În acest caz notăm $c=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ ; $c\in S(a_{0}\longrightarrow c$ ) în S.

În acest caz notăm: $c=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ ; $c\in S$ ( $a_{0}\rightarrow c$ în S). Să arătăm că c este punctul fix al contracției f.
Deoarece $a_{n}\rightarrow c$ în S, rezultă că pentru orice $\varepsilon >0$ , există un rang $x(\varepsilon )>o$ , astfel încât dacă $n>N(\varepsilon )$ , atunci $d(a_{0},c)<\varepsilon$ .

Observând și inegalitatea evidentă $d(f(a_{0}),f(c))\leq d(a_{0},c)$ , datorită contracției f, se obține: $d(f(a),f(c))<\varepsilon ,(\forall )n>N(\varepsilon ))$ care arată că $f(a_{0})\rightarrow f(c)$ în S și care implică : $a_{n+1}\rightarrow f(c)$ în S. Dar avem și $a_{n+1}\rightarrow c$ în S și cum S este spațiu metric (unde limita unui șir convergent este unică rezultă egalitatea $f(c)=c$ , adică $c\in S$ este punct fix al contracției f.

Să arătăm acum unicitatea lui c. Presupunem că mai există $c_{1}\in S$ , astfel încât $f(c_{1})=c_{1}$ . În acest caz avem $d(c,c_{1})=d(f(c),f(c_{1}))\leq qd(c,c_{1}).$