Nilpotență

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Problema 1 Fie matricea A . Să se arate că este nilpotență dacă și numai dacă , oricare ar fi natural.

 Sunt cunoscute relațiile: 

unde , sunt valorile proprii ale matricii .

Presupunem acum că este nilpotență , adică există astfel încât . Fie o valoare proprie asociată matricii și un vector propriu nenul corespunzător valorii proprii . Atunci avem (1).

Presupunem . Deoarece , multțimea este nevidă și din proprietatea de bună ordonare a lui rezultă faptul că are un cel mai mic element, . Dacă acesta este diferit de 1, atunci prin înmulțirea relației (1) cu obținem , de unde datorită faptului că și rezultă că , ceea ce este o contradicție cu minimalitatea lui . Prin urmare și . Folosind relația (1) avem și , ceea ce este o contradicție cu faptul că și . Deci presupunerea făcută este falsă și .

Deoarece a fost o valoare proprie aleasă arbitrar, orice valoare proprie a lui este 0. Din relațiile </math>(\star)</math> rezultă că

Reciproc, presupunem că . Folosim identitățile lui Newton: pentru orice și oricare numere complexe . În particular, dacă , atunci, din relațiile și presupunerea făcută rezultă că . Dacă înlocuim în formulele lui Newton pentru obținem: adică coeficienții polinomului , polinomul caracteristic al lui , sunt 0, în afară de coeficientul dominant. Prin urmare . Teorema Cayley-Hamilton spune că , adică . Prin urmare este o matrice nilpotență.

Legături externe[modificare | modificare sursă]

http://planetmath.org/NilpotentMatrix.html