Nilpotență

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Problema 1 Fie matricea A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) . Să se arate că A este nilpotență dacă și numai dacă { \rm tr}\, (A^k)=0 , oricare ar fi k>0 natural.

 Sunt cunoscute relațiile: 

{\rm tr}\ (A^k)=\lambda_1^k+\lambda_2^k+...+\lambda_n^k,\ \forall k \in \mathbb{N}^*,\ \ (\star) unde \lambda_i,\ i=1..n, sunt valorile proprii ale matricii A.

Presupunem acum că A este nilpotență , adică există p \in \mathbb{N}^* astfel încât A^p=0. Fie \lambda o valoare proprie asociată matricii A și X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) un vector propriu nenul corespunzător valorii proprii \lambda. Atunci avem AX=\lambda X (1).

Presupunem \lambda \neq 0. Deoarece A^pX=0\cdot X=0, multțimea W=\{q \in \mathbb{N}*: A^qX=0\} este nevidă și din proprietatea de bună ordonare a lui \mathbb{N} rezultă faptul că W are un cel mai mic element, w. Dacă acesta este diferit de 1, atunci prin înmulțirea relației (1) cu A^{w-1} obținem A^wX=\lambda A^{w-1}X, de unde datorită faptului că A^w=0 și \lambda \neq 0 rezultă că A^{w-1}X=0, ceea ce este o contradicție cu minimalitatea lui w. Prin urmare w=1 și AX=0. Folosind relația (1) avem și \lambda X=0, ceea ce este o contradicție cu faptul că \lambda\neq 0 și X\neq 0. Deci presupunerea făcută este falsă și \lambda=0.

Deoarece \lambda a fost o valoare proprie aleasă arbitrar, orice valoare proprie a lui A este 0. Din relațiile </math>(\star)</math> rezultă că {\rm tr}\ (A^k)=\sum_{i=1}^n\lambda_i^k=0,\ \forall k \in \mathbb{N}^*.

Reciproc, presupunem că {\rm tr}(A^k)=0,\ \forall k \in \mathbb{N}^*. Folosim identitățile lui Newton: 
(-1)^m \sum\limits_{1\leq i_1 <...<i_m\leq n}x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_m}+\sum\limits_{k=1}^m\left((-1)^{k+m}\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i^k\right)\sum\limits_{1\leq i_1<...<i_{m-k}\leq n}x_{i_1}...x_{i_{m-k}}\right)=0, pentru orice m\leq n și oricare n numere complexe x_1,...,x_n. În particular, dacă x_i=\lambda_i,\ \forall i=1..n, atunci, din relațiile (\star) și presupunerea făcută rezultă că \displaystyle\sum_{i=1}^nx_i^k=0,\ \forall k \in \mathbb{N}^*. Dacă înlocuim x_i în formulele lui Newton pentru m=1,2,...,n obținem: 
\sum_{i=1}^nx_i=0,\ \sum_{1\leq i<j \leq n} x_ix_j=0,...,\ x_1x_2...x_n=0,
adică coeficienții polinomului p_A(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n), polinomul caracteristic al lui A, sunt 0, în afară de coeficientul dominant. Prin urmare p_A(x)=x^n. Teorema Cayley-Hamilton spune că p_A(A)=0, adică A^n=0. Prin urmare A este o matrice nilpotență.

Legături externe[modificare | modificare sursă]

http://planetmath.org/NilpotentMatrix.html