Vizualizare sursă pentru „Grup (matematică)”

[[Fișier:Rubik's cube.svg|thumb|right|Manevrele posibile ale unui [[Cubul Rubik|cub Rubik]] formează un grup.]]
În [[Matematică|matematică]], un '''grup''' este o [[Mulțime|mulțime]] prevăzută cu o [[operație binară]] care combină orice două [[Element (matematică)|elemente]] ale ei pentru a forma un al treilea element în așa fel încât sunt satisfăcute patru condiții, denumite [[Axiomă|axiomele]] grupurilor, și anume [[Închidere (matematică)|închiderea]], [[Asociativitate|asociativitatea]], existența [[Element neutru|elementului neutru]], respectiv a [[Element simetric|elementului simetric]]. Unul dintre cele mai familiare exemple de grup este mulțimea [[Număr întreg|numerelor întregi]] împreună cu operația de [[Adunare|adunare]], dar grupurile sunt întâlnite în domenii numeroase din interiorul și din afara matematicii, și ajută la concentrarea pe unele aspecte structurale esențiale, detașându-le de natura concretă a subiectului de studiu.<ref>{{Harvard citations|last=Herstein|year=1975|loc=§2, p. 26|nb=yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last=Hall|year=1967|loc=§1.1, p. 1|nb=yes}}: „The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied.” [„Ideea de grup este una răspândită în întreaga matematică, atât pură cât și aplicată.”]</ref>

Grupurile au în comun o înrudire fundamentală cu noțiunea de [[Simetrie|simetrie]]. De exemplu, un [[Grup de simetrie|grup de simetrie]] codifică trăsăturile simetrice ale unui obiect [[Geometrie|geometric]]: grupul constă din mulțimea transformărilor care lasă obiectul neschimbat, împreună cu operația de combinare a două astfel de transformări prin efectuarea lor una după alta. [[Grup Lie|Grupurile Lie]] sunt grupuri de simetrie utilizate în [[Modelul standard|Modelul Standard]] din [[Fizica particulelor elementare|fizica particulelor]]; [[Grup Poincaré|grupurile Poincaré]], un tip particular de grupuri Lie, pot exprima simetria fizică ce stă la baza [[Teoria relativității restrânse|teoriei relativității restrânse]]; [[Clasă cristalografică|grupurile punctuale]] sunt folosite pentru a înțelege [[Simetrie moleculară|fenomenele de simetrie din chimia moleculară]]. 

Conceptul de grup a apărut în legătură cu studiul permutărilor a ''n'' elemente, studiu datorat lui Cauchy<ref> N. Mihăileanu, ''Istoria matematicii'', volumul  II, p.211</ref>. Conexiunea cu [[Ecuație polinomială|teoria ecuațiilor polinomiale]] a fost sesizată începând cu [[Évariste Galois]] în anii 1830<ref>[[Nicolae N. Mihăileanu]], ''Istoria matematicii'', volumul II, p. 215</ref>, el fiind creatorul numelui ''grup''<ref>[[Nicolae N. Mihăileanu]], ''Istoria matematicii'', volumul II, p. 213</ref>. Alte sectoare ale matematicii, cum ar fi [[Teoria numerelor|teoria numerelor]] și geometrie sunt și ele sursă a noțiunii de grup care a fost generalizată și a devenit bine cunoscută și acceptată pe la 1870. [[Teoria grupurilor]] modernă—o disciplină matematică activă—studiază grupurile ca atare. Pentru a explora grupurile, matematicienii au pus la punct [[Teoria grupurilor|diferite noțiuni]] pentru a descompune grupurile în părți mai mici și mai ușor de înțeles, cum ar fi [[Subgrup|subgrupurile]], [[Grup factor|grupurile factor]] și [[Grup simplu|grupurile simple]]. Pe lângă proprietățile lor abstracte, teoreticienii grupurilor studiază și diferite feluri în care un grup poate fi concret exprimat, atât din punct de vedere al [[Teoria reprezentării|teoriei reprezentării]] (adică prin [[Reprezentare de grup|reprezentările grupurilor]]) cât și prin [[Teoria computațională a grupurilor|teoria computațională a grupurilor]]. S-a dezvoltat o teorie pentru [[Grup finit|grupurile finite]], care a culminat cu [[Clasificarea grupurilor simple finite|clasificarea grupurilor simple finite]], definitivată în 2004. De pe la jumătatea anilor 1980, [[Teoria geometrică a grupurilor|teoria geometrică a grupurilor]], care studiază [[Grup finit generat|grupurile finit generate]] ca obiecte geometrice, a devenit un domeniu activ în teoria grupurilor.

== Definiție ==

Un [[pereche ordonată|cuplu]] <math>(G, \circ)</math>, format dintr-o mulțime [[mulțime vidă|nevidă]] ''G'' și o [[lege de compoziție]] internă "<math>\circ</math>" pe ''G'', este '''''grup''''' dacă sunt satisfăcute axiomele:

# ''Axioma închiderii''
#::: Oricare ar fi ''x'' și ''y'' din G, și rezultatul operației <math>x\circ y</math> face parte din G
# ''Axioma [[asociativitate|asociativității]]''
#::: Oricare ar fi ''x'',''y'',''z'' din G, <math>(x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)</math>
# '' Axioma elementului neutru''
#::: Există un element ''e'' în G, astfel încât <math>e\circ x = x\circ e = x</math>, oricare ar fi ''x'' din G
# ''Axioma elementelor simetrice''
#::: Oricare ar fi ''x'' din G, există ''y'' în G cu proprietatea că <math>x\circ y = y\circ x = e</math>
#: 
#: 
#: Dacă este satisfăcută și axioma
#:
# ''Axioma [[comutativitate|comutativității]]''
#::: Oricare ar fi ''x'',''y'' din G, <math>x\circ y = y\circ x</math>
#:
#: atunci grupul <math>(G, \circ)</math> se numește ''grup '''comutativ''''' sau '''''abelian'''''.

== Exemple ==

=== Mulțimea numerelor întregi ===
Unul dintre cele mai cunoscute grupuri este cel format de mulțimea [[Număr întreg|numerelor întregi]] '''Z''', adică mulțimea numerelor
:..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,&nbsp;...<ref>Lang, 2005, App. 2, p. 360</ref>
împreună cu operația de [[adunare]]. Proprietățile acestui grup folosesc drept model pentru axiomele abstracte date în definițiile de mai sus.

# Oricare ar fi doi întregi ''a'' și ''b'', suma ''a'' + ''b'' este tot un număr întreg. Cu alte cuvinte, adunarea întregilor doi câte doi nu poate da un rezultat care să nu fie întreg. Această proprietate este cunoscută sub numele de ''închidere în raport cu operația de adunare''.
# Oricare ar fi trei întregi ''a'', ''b'' și ''c'', (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c''). Cu alte cuvinte, dacă se adună întâi ''a'' cu ''b'', și rezultatul se adună cu ''c'', rezultatul final este același cu cel obținut adunând ''a'' cu suma dintre ''b'' și ''c'', proprietate denumită ''[[asociativitate]]''.
# Dacă ''a'' este un număr întreg, atunci 0 + ''a'' = ''a'' + 0 = ''a''. [[0 (cifră)|Zero]] se numește [[element neutru față de adunare|''element neutru'' în raport cu adunarea]], deoarece adunarea lui la orice întreg dă acel întreg.
# Oricare ar fi un întreg ''a'', există un întreg ''b'' astfel încât ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' = 0. Numărul întreg ''b'' se numește ''[[element opus]]'' al lui ''a'' și se notează cu −''a''.

=== Un grup de simetrie ===
Simetriile (adică rotațiile și reflexiile) unui pătrat formează un grup denumit [[grup diedral]], și notat cu D<sub>4</sub>.<ref>Herstein, 1975, cap. 2.oper6, p. 54</ref> Mulțimea conține următoarele operații:
{|class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:0 auto .5em auto;"
|-
| [[Fișier:group D8 id.svg|140px]] <br /> identitatea (păstrarea așa cum e) || [[Fișier:group D8 90.svg|140px]] <br /> r<sub>1</sub> (rotația cu 90° în sens orar) || [[Fișier:group D8 180.svg|140px]] <br /> r<sub>2</sub> (rotația cu 180°) || [[Fișier:group D8 270.svg|140px]] <br /> r<sub>3</sub> (rotația cu 90° în sens trigonometric)
|-
| [[Fișier:group D8 fv.svg|140px]] <br /> f<sub>v</sub> (întoarcerea în oglindă pe verticală) || [[Fișier:group D8 fh.svg|140px]] <br /> f<sub>h</sub> (întoarcerea în oglindă pe orizontală)|| [[Fișier:group D8 f13.svg|140px]] <br /> f<sub>d</sub> (întoarcere în oglindă după prima diagonală) || [[Fișier:group D8 f24.svg|140px]] <br /> f<sub>c</sub> (întoarcere în oglindă după a doua diagonală)
|-
|style="text-align:left" colspan=4 | Elementele grupului de simetrie al unui pătrat (D<sub>4</sub>). Colțurile sunt colorate și numerotate doar pentru vizualizarea operațiilor.
|}
:* operația identitate, care lasă totul neschimbat, notată id;
:* rotațiile pătratului cu 90° în sens orar, 180°, și 270° în sens orar, notate cu r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub> și r<sub>3</sub>, respectiv;
:* reflexiile după linia mediană verticală și cea orizontală (f<sub>h</sub> respectiv f<sub>v</sub>), și reflexiile după cele două [[Diagonală|diagonale]] (f<sub>d</sub> și f<sub>c</sub>).

{{clear}}
Oricare două transformări ''a'' și ''b'' pot fi [[Compunerea funcțiilor|compuse]], adică aplicată una după cealaltă. Rezultatul aplicării lui ''a'' și apoi a lui ''b'' se scrie simbolic ''de la dreapta la stânga'' astfel:
:{{nowrap begin}}''b'' • ''a''{{nowrap end}} („aplică transformarea ''b'' după aplicarea transformării ''a''”). Notația de la dreapta la stânga provine din cea folosită pentru compunerea funcțiilor.

Tabela din dreapta prezintă toate compunerile posibile. De exemplu, rotind cu 270° la dreapta (r<sub>3</sub>) și apoi oglindind orizontal (f<sub>h</sub>) se obține același rezultat ca reflexia după diagonală (f<sub>d</sub>). Utilizând simbolurile de mai sus, cu albastru în tabelă:
:{{nowrap begin}}f<sub>h</sub> • r<sub>3</sub> = f<sub>d</sub>.{{nowrap end}}

{| class="wikitable" border="1" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em; width:40ex; height:40ex;"
|+ [[Tabelă Cayley|Tabela grupului]] D<sub>4</sub>
|-
!width="12%" style="background:#FDD; border-top:solid black 2px; border-left:solid black 2px;"| •
!style="background:#FDD; border-top:solid black 2px;" width="11%"| id
!style="background:#FDD; border-top:solid black 2px;" width="11%"| r<sub>1</sub>
!style="background:#FDD; border-top:solid black 2px;" width="11%"| r<sub>2</sub>
!style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-top:solid black 2px;" width="11%"| r<sub>3</sub>
! width="11%"| f<sub>v</sub> !!width="11%"| f<sub>h</sub> !!width="11%"| f<sub>d</sub> !!width="11%"| f<sub>c</sub>
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | id
|style="background:#FDD;"| id
|style="background:#FDD;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;" | r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| r<sub>3</sub> || f<sub>v</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>d</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-top:solid black 2px;"| f<sub>c</sub>
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| id || f<sub>c</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>v</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| f<sub>h</sub>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD;"| id
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| r<sub>1</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>v</sub> || f<sub>c</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| f<sub>d</sub>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px; border-left:solid black 2px;" | r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| id
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>2</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>c</sub>
|| f<sub>h</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| f<sub>v</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>v</sub>
| f<sub>v</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub>|| id || r<sub>2</sub> || r<sub>1</sub> || r<sub>3</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>h</sub>
| f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub> || f<sub>v</sub> ||style="background:#DDF;border:solid black 2px;"| f<sub>d</sub> || r<sub>2</sub> || id || r<sub>3</sub> || r<sub>1</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>d</sub>
| f<sub>d</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub> || f<sub>v</sub> || r<sub>3</sub> || r<sub>1</sub> || id || r<sub>2</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>c</sub>
|style="background:#9DFF93; border-left: solid black 2px; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>c</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>v</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>d</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom:solid black 2px; border-top:solid black 2px; border-right:solid black 2px;" | f<sub>h</sub> || r<sub>1</sub> || r<sub>3</sub> || r<sub>2</sub> || id
|-
| colspan="9" style="text-align:left"| Elementul identitate, r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, și r<sub>3</sub> formează și ele un [[subgrup]], evidențiat cu roșu (regiunea din stânga-sus). O clasă laterală la stânga și o clasă laterală la dreapta ale acestui subgrup sunt evidențiate cu verde (pe ultimul rând) respectiv cu galben (pe ultima coloană).
|}
Dată fiind mulțimea transformărilor și operația de compunere, acestea formează un grup, respectând axiomele din definiție astfel:
<ol>
<li> Axioma de închidere cere ca prin compunerea {{nowrap begin}}''b'' • ''a''{{nowrap end}} a oricare două transformări de simetrie ''a'' și ''b'' să se obțină tot o transformare de simetrie. Un alt exemplu pentru operația pe grup este
:{{nowrap begin}}r<sub>3</sub> • f<sub>h</sub> = f<sub>c</sub>,{{nowrap end}}
adică rotația cu 270° în sens orar a pătratului obținut prin oglindirea pe orizontală e echivanetă cu oglindirea după diagonala a doua (f<sub>c</sub>). Într-adevăr, orice combinație de două transformări de simetrie reprezintă și ea o transformare de simetrie, ceea ce se poate verifica prin utilizarea tabelei grupului.

<li> Asociativitatea tratează cazul compunerii a mai mult de două transformări: date fiind trei transformări ''a'', ''b'' și ''c'' din D<sub>4</sub>, există două moduri posibile de calcul a operației "''a'' apoi ''b'' apoi ''c''". Cerința
:{{nowrap begin}}(''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c''){{nowrap end}}
înseamnă că operația de compunere a trei elemente este independentă de prioritatea operațiilor, adică dacă întâi se face ''a'' după ''b'', și apoi ''c'' după rezultatul {{nowrap|''a'' • ''b''}} este același lucru cu a face ''a'' după rezultatul compunerii lui ''b'' cu ''c''.
De exemplu, {{nowrap begin}} (f<sub>d</sub> • f<sub>v</sub>) • r<sub>2</sub> = f<sub>d</sub> • (f<sub>v</sub> • r<sub>2</sub>){{nowrap end}} se poate verifica cu ajutorul tabelei grupului din dreapta
:{|style="text-align:center"|
|(f<sub>d</sub> • f<sub>v</sub>) • r<sub>2</sub>||&nbsp;=&nbsp;||r<sub>3</sub> • r<sub>2</sub>||&nbsp;=&nbsp;||r<sub>1</sub>, care este egal cu
|-
|f<sub>d</sub> • (f<sub>v</sub> • r<sub>2</sub>)||&nbsp;=&nbsp;||f<sub>d</sub> • f<sub>h</sub>||&nbsp;=&nbsp;||r<sub>1</sub>.
|}

<li> Elementul neutru este transformarea identică, ce lasă totul neschimbat: pentru orice transformare ''a'', efectuarea transformării identice după ''a'' (sau a lui ''a'' după transformarea identică) e același lucru cu operarea transformării ''a''; în formă simbolică,
: {{nowrap begin}}id • ''a'' = ''a'',{{nowrap end}}
: {{nowrap begin}}''a'' • id = ''a''.{{nowrap end}}</li>

<li> Elementul simetric este cel care inversează transformarea al cărui element simetric este. Fiecare transformare are o astfel de transformare: identitatea, oglindirile f<sub>h</sub>, f<sub>v</sub>, f<sub>d</sub>, f<sub>c</sub> și rotația la 180° r<sub>2</sub> sunt propriile inverse, deoarece prin efectuarea fiecăreia de două ori se obține orientarea inițială a pătratului. Rotațiile r<sub>3</sub> și r<sub>1</sub> sunt fiecare elementul simetric al celeilalte. Simbolic,
:{{nowrap begin}}f<sub>h</sub> • f<sub>h</sub> = id,{{nowrap end}}
:{{nowrap begin}}r<sub>3</sub> • r<sub>1</sub> = r<sub>1</sub> • r<sub>3</sub> = id.{{nowrap end}}</li>
</ol>

Spre deosebire de grupul numerelor întregi, în care ordinea operațiilor este irelevantă, în D<sub>4</sub> ea contează: {{nowrap begin}}f<sub>h</sub> • r<sub>1</sub> = f<sub>c</sub>{{nowrap end}} dar {{nowrap begin}}r<sub>1</sub> • f<sub>h</sub> = f<sub>d</sub>.{{nowrap end}} Cu alte cuvinte, D<sub>4</sub> nu este grup abelian, ceea ce face ca [[structură algebrică |structura]] acestui grup să fie mai complexă decât cea a numerelor întregi.

== Istorie ==
[[Fișier:Evariste galois.jpg|left|thumb|upright|Matematicianul francez [[Évariste Galois]], este considerat fondatorul teoriei moderne a grupurilor]]
Conceptul modern de grup abstract s-a dezvoltat din mai multe domenii ale matematicii.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Wussing|year = 2007}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Kleiner|year = 1986|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Smith|year = 1906|nb = yes}}</ref> Motivația originară pentru teoria grupurilor a fost căutarea soluțiilor [[Ecuație polinomială|ecuațiilor polinomiale]] de grad mai mare ca 4. Matematicianul francez din secolul al XIX-lea [[Évariste Galois]] a dat, pe baza muncii anterioare a lui [[Paolo Ruffini]] și [[Joseph-Louis Lagrange]], un criteriu pentru existența soluțiilor unei anume ecuații polinomiale în termeni de grup de simetrie al rădăcinilor polinomului. Elementele acestui [[grup Galois]] corespund anumitor [[Permutare|permutări]] ale rădăcinilor. La început, ideile lui Galois au fost respinse de contemporani, fiind publicate doar postum.<ref>{{Harvard citations|last = Galois|year = 1908|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Kleiner|year = 1986|loc = p. 202|nb = yes}}</ref> Grupuri de permutare au fost cercetate, la modul mai general, în special de [[Augustin Louis Cauchy]]. Lucrarea lui [[Arthur Cayley]] intitulată ''Despre teoria grupurilor, în funcție de ecuația simbolică θ<sup>n</sup> = 1'' (1854) dă prima definiție abstractă a unui [[grup finit]].<ref>{{Harvard citations|last=Cayley|year=1889|nb=yes}}</ref>

Geometria a fost al doilea domeniu în care grupurile au ajuns să fie folosite sistematic, mai ales grupurile de simetrie ca parte a [[Programul Erlangen|programului Erlangen]] din 1872 al lui [[Felix Klein]].<ref>{{Harvard citations|last = Wussing|year = 2007|loc = §III.2|nb = yes}}</ref> După apariția unor geometrii noi, cum ar fi cea [[Geometrie hiperbolică|hiperbolică]] și cea [[Geometrie proiectivă|proiectivă]], Klein a folosit teoria grupurilor pentru a le organiza într-o manieră mai coerentă. Ducând aceste idei mai departe, [[Sophus Lie]] a fondat studiul [[Grup Lie|grupurilor Lie]] în 1884.<ref>{{Harvard citations|last=Lie|year=1973|nb=yes}}</ref>

Al treilea domeniu care a contribuit la teoria grupurilor a fost [[teoria numerelor]]. Unele structuri de [[grup abelian]] fuseseră utilizate implicit în lucrarea de teoria numerelor a lui [[Carl Friedrich Gauss]] intitulată [[Disquisitiones Arithmeticae|{{lang|la|Disquisitiones Arithmeticae}}]] (1798), și mai explicit de [[Leopold Kronecker]].<ref>{{Harvard citations|last = Kleiner|year = 1986|loc = p. 204|nb = yes}}</ref> În 1847, [[Ernst Kummer]] a dus la un apogeu primele încercări de a demonstra [[ultima teoremă a lui Fermat]] dezvoltând grupurile care descriu [[Factorizarea întregilor|descompunerea în factori primi]].<ref>{{Harvard citations|last = Wussing|year = 2007|loc = §I.3.4|nb = yes}}</ref>

Convergența acestor surse variate înspre o teorie uniformă a grupurilor a început cu lucrarea {{lang|fr|Traité des substitutions et des équations algébriques}} (1870) a lui [[Camille Jordan]].<ref>{{Harvard citations|last=Jordan|year=1870|nb=yes}}</ref> {{Ill-wd|Q65180}} (1882) a dat primul enunț al definiției moderne a grupurilor abstracte.<ref>{{Harvard citations|last=von Dyck|year=1882|nb=yes}}</ref> După începutul secolului al XX-lea, grupurile au căpătat recunoaștere după munca de pionierat a lui [[Ferdinand Georg Frobenius]] și [[William Burnside]], care au lucrat la teoria reprezentării grupurilor finite, teorema reprezentării modulare a lui {{Ill-wd|Q65201}} și după lucrările lui {{Ill-wd|Q72599}}.<ref>{{Harvard citations|last = Curtis |year = 2003|nb = yes}}</ref> Teoria grupurilor Lie, și mai general, cea a [[Grup local compact|grupurilor local compacte]] a fost înaintată de {{Ill-wd|Q71029}}, [[Élie Cartan]] și mulți alții.<ref>{{Harvard citations|last=Mackey|year=1976|nb=yes}}</ref> Teoria grupurilor algebrice a fost schițată întâi de [[Claude Chevalley]] (spre sfârșitul anilor 1930) și ulterior de {{Ill-wd|Q123474}} și [[Jacques Tits]].<ref>{{Harvard citations|last=Borel|year=2001|nb=yes}}</ref>

Anul Teoriei Grupurilor, organizat de [[Universitatea Chicago]] în 1960–1961, a reunit matematicieni ca {{Ill-wd|Q1160901}}, [[John G. Thompson]] și {{Ill-wd|Q949521}}, punând bazele unei colaborări care, cu ajutorul altor matematicieni, a dus la clasificarea tuturor grupurilor finite în 1982. Acest proiect a depășit tentativele anterioare prin dimensiune, atât în termeni de lungime a demonstrațiilor cât și ca număr de cercetători. Se lucrează încă la simplificarea demonstrației acestei clasificări.<ref>{{Harvard citations|last = Aschbacher|year = 2004|nb = yes}}</ref>

== Consecințe simple ale axiomelor grupurilor ==
Proprietățile de bază ale grupurilor rezultă din axiomele definițiilor.<ref>{{Harvard citations|last = Ledermann|year = 1953|loc = §1.2, pp. 4–5|nb = yes}}</ref> De exemplu, [[Inducție matematică|aplicarea repetată]] a axiomei de asociativitate arată că legea
:''a'' • ''b'' • ''c'' = (''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'')
se generalizează la mai mult de trei factori. Deoarece aceasta înseamnă că parantezele pot fi introduse oriunde într-o serie de termeni, ele, de regulă, se omit.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Ledermann|year = 1973|loc = §I.1, p. 3}}</ref>

Axiomele pot fi reduse la a afirma doar existența unui element neutru la stânga și a unui invers la stânga, dar se poate demonstra că ambele înseamnă că există și element neutru la dreapta și element simetric la dreapta.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I.2, p. 7}}</ref>

=== Unicitatea elementului simetric și a elementului neutru ===
Două consecințe importante ale axiomelor grupurilor sunt unicitatea elementului neutru și a elementelor simetrice. Într-un grup nu poate exista decât un singur element neutru, și fiecare element al unui grup are un singur element simetric. Astfel, se vorbește despre ''elementul neutru al grupului'' și despre ''elementul simetric al unui element''.<ref name="lang2005">{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.1, p. 17}}</ref>

Pentru a demonstra unicitatea unui element simetric al lui ''a'', se presupune că ''a'' are două elemente simetrice, notate cu ''l'' și ''r''. Atunci

:{|
|''l'' ||=||''l'' • ''e'' ||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||fiindcă ''e'' este elementul neutru
|-
| ||=||''l'' • (''a'' • ''r'') ||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||deoarece ''r'' este element simetric al lui ''a'', deci ''e'' = ''a'' • ''r''
|-
| ||=||(''l'' • ''a'') • ''r'' ||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||prin asociativitate, care permite rearanjarea parantezelor
|-
| ||=||''e'' • ''r''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||întrucât ''l'' este un invers al lui ''a'', adică ''l'' • ''a'' = ''e''
|-
| ||=||''r''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|| fiindcă ''e'' este elementul neutru
|}

Deci cei doi termeni ''l'' și ''r'' sunt legați printr-un lanț de egalități. Cu alte cuvinte, există un singur element invers al lui ''a''.

=== Împărțirea ===
În grupuri, se poate efectua [[Împărțire (matematică)|împărțirea]]: date fiind elementele ''a'' și ''b'' ale grupului ''G'', există exact o soluție ''x'' din ''G'' a  [[ecuație]]i {{nowrap begin}}''x'' • ''a'' = ''b''{{nowrap end}}.<ref name="lang2005"/> De fapt, înmulțirea la dreapta a ecuației cu ''a''<sup>−1</sup> dă soluția {{nowrap begin}}''x'' = ''x'' • ''a'' • ''a''<sup>−1</sup> = ''b'' • ''a''<sup>−1</sup>{{nowrap end}}. Analog, există o singură soluție ''y'' în ''G'' pentru ecuația {{nowrap begin}}''a'' • ''y'' = ''b''{{nowrap end}}, și anume {{nowrap begin}}''y'' = ''a''<sup>−1</sup> • ''b''{{nowrap end}}. În general, ''x'' și ''y'' nu sunt în mod necesar egale.

== Concepte de bază ==
<div class="dablink">Următoarele secțiuni folosesc notațiile: X = ''{''x'', ''y'', ''z''}''
reprezentând mulțimea X cu elementele x, y, și z; x ''∈'' X reprezentând faptul că x este un element al mulțimii X. Notația {{nowrap|f : X ''→'' Y}} înseamnă că f este o [[funcție]] care atașează fiecărui element din mulțimea X un element din mulțimea Y.</div>

Pentru a înțelege grupurile dincolo de nivelul unor simple artificii simbolice, sunt necesare o serie concepte mai complexe. Există un principiu conceptual ce stă la baza tuturor noțiunilor următoare: pentru a profita de structura oferită de grupuri (structură pe care mulțimile, de exemplu, nu o au) construcțiile legate de grupuri trebuie să fie compatibile cu operatorul grupului. Această compatibilitate se manifestă la nivelul notațiilor. De exemplu, grupurile pot fi legate unul cu celălalt prin intermediul unor [[Funcție|funcții]] numite [[Omomorfism de grup|omomorfisme de grup]]. Aceste omomorfisme sunt obligate să respecte structurile grupurilor într-un sens foarte precis. Structura grupurilor poate fi înțeleasă și prin separarea lor în componente numite subgrupuri și grupuri cât. Principiul „păstrării structurilor”—un principiu adesea citat în matematică—este un exemplu de lucru într-o categorie matematică, în acest caz, categoria grupurilor.<ref name="MacLane"/>

=== Omomorfisme de grup ===
''Omomorfismele de grup'' sunt funcții care păstrează structura grupului. O funcție {{nowrap begin}}''a'': ''G'' → ''H''{{nowrap end}} între două grupuri este omomorfism dacă ecuația
:{{nowrap begin}}''a''(''g'' • ''k'') = ''a''(''g'') • ''a''(''k'').{{nowrap end}}
este valabilă pentru orice element ''g'', ''k'' din ''G'', adică rezultatul este același dacă se efectuează operația de grup după sau înaintea aplicării transformării ''a''. Această cerință asigură că {{nowrap begin}}''a''(1<sub>''G''</sub>) = 1<sub>''H''</sub>{{nowrap end}}, și că {{nowrap begin}}''a''(''g'')<sup>−1</sup> = ''a''(''g''<sup>−1</sup>){{nowrap end}} pentru orice ''g'' din ''G''. Astfel, un omomorfism de grup respectă toată structura lui ''G'' furnizată de axiomele grupului.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.3, p. 34}}</ref>

Două grupuri ''G'' și ''H'' se numesc [[izomorfism|izomorfe]] dacă există omomorfisme de grup {{nowrap begin}}''a'': ''G'' → ''H''{{nowrap end}} și {{nowrap begin}}''b'': ''H'' → ''G''{{nowrap end}}, astfel încât aplicând cele două funcții [[Compunerea funcțiilor|una după cealaltă]] (în ambele ordini posibile) se obține funcția identitate a mulțimilor ''G'' respectiv ''H''. Adică, {{nowrap begin}}''a''(''b''(''h'')) = ''h''{{nowrap end}} și {{nowrap begin}}''b''(''a''(''g'')) = ''g''{{nowrap end}} pentru orice ''g'' din ''G'' și ''h'' din ''H''. Dintr-un punct de vedere abstract, grupurile izomorfe conțin aceeași informație. De exemplu, a demonstra că {{nowrap begin}}''g'' • ''g'' = 1{{nowrap end}} pentru un element ''g'' din ''G'' este [[Echivalență logică|echivalent]] cu a demonstra că {{nowrap begin}}''a''(''g'') • ''a''(''g'') = 1,{{nowrap end}} deoarece aplicând ''a'' asupra primei egalități, rezultă cea de-a doua, și aplicând ''b'' celei de-a doua egalități, rezultă prima.

=== Subgrupuri ===
{{Articol principal|Subgrup}}
Informal, un ''subgrup'' este un grup ''H'' conținut într-un grup mai mare, ''G''.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.1, p. 19}}</ref> Concret, elementul identitate al lui ''G'' este conținut în ''H'', iar dacă ''h''<sub>1</sub> și ''h''<sub>2</sub> sunt din ''H'', atunci și {{nowrap|''h''<sub>1</sub> •  ''h''<sub>2</sub>}} și ''h''<sub>1</sub><sup>−1</sup> sunt în ''H'', deci elementele lui ''H'', echipate cu operația pe grupuri a lui ''G'' restrânsă la submulțimea ''H'' a lui ''G'', formează într-adevăr un grup.

În exemplul de mai sus, identitatea și rotațiile constituie un subgrup {{nowrap begin}}''R'' = {id, r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, r<sub>3</sub>}{{nowrap end}}, evidențiat cu roșu pe tabelul grupului: oricare două rotații compuse formează tot o rotație, și o rotație poate fi inversată de rotația complementară, 270° pentru 90°, 180° pentru 180°, și 90° pentru 270°. Testul de subgrup este o [[condiție necesară și suficientă]] pentru ca o submulțime ''H'' a unui grup ''G'' să fie subgrup: este suficient să se verifice că {{nowrap|''g''<sup>−1</sup>''h'' ∈ ''H''}} pentru orice elemente {{nowrap begin}}''g'', ''h'' ∈ ''H''{{nowrap end}}. Cunoașterea subgrupurilor este importantă pentru înțelegerea proprietăților de ansamblu ale grupului.

Dată fiind o submulțime ''S'' a unui grup ''G'', subgrupul generat de ''S'' constă din produsele elementelor lui ''S'' cu inversele lor. Este cel mai mic subgrup din ''G'' care conține ''S''.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Ledermann|year = 1973|loc = §II.12, p. 39}}</ref> În exemplul introductiv de mai sus, subgrupul generat de r<sub>2</sub> și f<sub>v</sub> constă din cele două elemente, elementul identitate și {{nowrap begin}}f<sub>h</sub> = f<sub>v</sub> • r<sub>2</sub>{{nowrap end}}. Din nou, acesta este un subgrup, deoarece combinând oricare două elemente din cele patru sau inversele acestora dă un element al subgrupului.

=== Clase laterale ===
În multe situații, este de dorit să se considere două elemente de grup ca fiind același, dacă ele diferă printr-un element al unui subgrup dat. În exemplul de mai sus, în D<sub>4</sub>, după ce se efectuează o întoarcere în oglindă, pătratul nu se mai întoarce în configurația dată de r<sub>2</sub> doar prin aplicarea operațiilor de rotație (fără întoarceri în oglindă). Clasele laterale sunt utilizate pentru a formaliza aceasta: un subgrup ''H'' definește clasele laterale la stânga și la dreapta, care pot fi considerate a fi translații ale lui ''H'' printr-un element arbitrar ''g'' al grupului. În termeni simbolici, clasele laterale la stânga și la dreapta pentru ''H'' care conțin ''g'' sunt

:{{nowrap begin}}''gH'' = {''gh'', ''h'' ∈ ''H''}{{nowrap end}} și respectiv {{nowrap begin}}''Hg'' = {''hg'', ''h'' ∈ ''H''}{{nowrap end}}.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.4, p. 41}}</ref>

Clasele laterale ale oricărui subgrup ''H'' formează o [[partiție]] a lui ''G''; adică, două clase laterale la stânga sunt fie egale, fie intersecția lor este o mulțime vidă.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I.2, p. 12}}</ref> Primul caz, {{nowrap begin}}''g''<sub>1</sub>''H'' = ''g''<sub>2</sub>''H''{{nowrap end}} are loc [[dacă și numa dacă]] {{nowrap|''g''<sub>1</sub><sup>−1</sup>''g''<sub>2</sub> ∈ ''H''}}, adică dacă cele două elemente diferă printr-un element din ''H''. Analog și pentru clasele laterale la dreapta ale lui ''H''. Clasele laterale la stânga și la dreapta ale lui ''H'' pot să fie sau nu egale. Dacă sunt, adică pentru orice ''g'' din ''G'', ''gH''&nbsp;=&nbsp;''Hg'', atunci despre ''H'' se spune că este un ''[[subgrup normal]]''. ''N'' poate fi considerat mulțime de clase laterale.

În D<sub>4</sub>, grupul de simetrie de mai sus, clasele laterale la stânga ''gR'' ale subgrupului ''R'' care constă din transformările de rotație sunt fie egale cu ''R'', dacă ''g'' este un element al lui ''R'', sau altfel egal cu {{nowrap begin}}''U'' = f<sub>v</sub>''R'' = {f<sub>v</sub>, f<sub>d</sub>, f<sub>h</sub>, f<sub>c</sub>}{{nowrap end}} (cu verde). Subgrupul ''R'' este și el normal, deoarece {{nowrap begin}}f<sub>v</sub>''R'' = ''U'' = ''R''f<sub>v</sub>{{nowrap end}} și analog pentru orice element diferit de f<sub>v</sub>.

=== Grupuri cât ===
În plus față de ignorarea structurii interne a unui subgrup prin luarea în considerare a claselor laterale, este de dorit dotarea acestei entități cu o lege de grup denumită ''grup cât'' sau ''grup factor''. Pentru ca aceasta să fie posibil, subgrupul trebuie să fie normal. Dat fiind un subgrup normal ''N'', grupul cât este definit prin
:''G'' / ''N'' = {''gN'', ''g'' ∈ ''G''}, "''G'' modulo ''N''".<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.4, p. 45}}</ref>
Această mulțime moștenește o operație pe grupuri (uneori numită înmulțire a claselor laterale, sau adunare a claselor laterale) de la grupul original ''G'': {{nowrap begin}}(''gN'') • (''hN'') = (''gh'')''N''{{nowrap end}} pentru orice ''g'' și ''h'' din ''G''. Această definiție este motivată de ideea că aplicația {{nowrap|''G'' → ''G'' / ''N''}} care îi asociază fiecărui element ''g'' clasa sa laterală ''gN'' este un omomorfism de grup, sau de considerațiile abstracte generale numite proprietăți universale. Clasa laterală {{nowrap begin}}''eN '' = ''N''{{nowrap end}} servește drept element neutru în acest grup, iar inversa lui ''Ng'' în grupul cât este {{nowrap begin}}(''gN'')<sup>−1</sup> = (''g''<sup>−1</sup>)''N''.{{nowrap end}}{{cref|e}}

{| class="wikitable" border="1" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em;"
|-
!width="30px"| •
!width="33%"| R
!width="33%"| U
|-
! ''R''
| ''R'' || ''U''
|-
! ''U''
| ''U'' || ''R''
|-
|colspan=3 style="text-align:left"|Tabela grupului cât {{nowrap|D<sub>4</sub> / ''R''}}.
|}
Elementele grupului cât {{nowrap|D<sub>4</sub> / ''R''}} sunt ''R'' care este elementul neutru, și {{nowrap begin}}''U'' = f<sub>v</sub>''R''{{nowrap end}}. Operația pe grup este cea din dreapta. De exemplu, {{nowrap begin}}''U'' • ''U'' = f<sub>v</sub>''R'' • f<sub>v</sub>''R'' = (f<sub>v</sub> • f<sub>v</sub>)''R'' = ''R''{{nowrap end}}. Atât subgrupul {{nowrap begin}}''R'' = {id, r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, r<sub>3</sub>}{{nowrap end}}, cât și câtul corespunzător sunt abeliene, pe când D<sub>4</sub> nu este abelian.

Grupurile cât și subgrupurile formează împreună o modalitate de a descrie fiecare grup prin prezentare: orice grup este câtul grupului liber peste generatoarele grupurilor, împărțite la subgrupul relațiilor. [[Grup diedral|Grupul diedral]] D<sub>4</sub>, de exemplu, poate fi generat de două elemente, ''r'' și ''f'' (de exemplu, ''r''&nbsp;=&nbsp;r<sub>1</sub>, rotația la dreapta ''f''&nbsp;=&nbsp;f<sub>v</sub> oglindirea în verticală—sau oricare alta), ceea ce înseamnă că toate transformările de simetrie ale pătratului sunt o compunere finită de transformări de simetrie sau transformări inverse ale lor. Împreună cu relațiile
:''r ''<sup>4</sup>&nbsp;=&nbsp;''f ''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;(''rf'')<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1,<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I.2, p. 9}}</ref>
grupul este descris complet. O prezentare a grupului se poate folosi pentru a construi [[graful Cayley]], un dispozitiv folosit pentru a reprezenta grafic grupurile discrete.

Subgrupurile și grupurile cât sunt legate în felul următor: o submulțime ''H'' a lui ''G'' se poate vedea ca aplicație [[Injectivitate|injectivă]] {{nowrap|''H'' → ''G''}}, adică orice element al codomeniului cel mult un element căruia îi corespunde prin aplicație. În general, omomorfismele nu sunt nici injective nici surjective. [[Nucleu (algebră)|Nucleul]] și [[Imagine (matematică)|imaginea]] omomorfismelor de grup și prima teoremă de izomorfism tratează acest fenomen.

== Aplicații ==
[[Fișier:Wallpaper group-cm-6.jpg|thumb|right|200px|Un șablon periodic dă naștere unui grup de tapet]]
[[Fișier:Fundamental group.svg|thumb|right|200px|Grupul fundamental al unui plan din care lipsește un punct este format din curbe închise în jurul punctului care lipsește.]]
Există numeroase aplicații ale grupurilor. Un punct de pornire îl reprezintă mulțimea '''Z''' a numerelor întregi împreună cu operația de adunare. Dacă se consideră în schimb operația de înmulțire, se obțin grupuri multiplicative, care sunt predecesoarele unor importante construcții din algebra abstractă.

Grupurile au aplicații și în multe alte domenii matematice. Unele [[obiect matematic |obiecte matematice]] pot fi examinate cu ajutorul grupurilor lor asociative. De exemplu, [[Henri Poincaré]] a pus bazele a ceea ce astăzi se numește [[topologie algebrică]] introducând noțiunea de [[grup fundamental]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Hatcher|year = 2002|loc = Chapter I, p. 30}}</ref> Cu ajutorul acestei legături, proprietăți topologice cum ar fi [[Vecinătate (matematică)|proximitatea]] și [[Funcție continuă|continuitatea]] se traduc în proprietăți ale grupurilor. De exemplu, elementele grupului fundamental sunt reprezentate prin bucle. În a doua imagine de la dreapta arată niște bucle într-un plan din care lipsește un punct. Bucla albastră este considerată a fi nul-omotopică (deci irelevantă), deoarece poate fi redusă continuu la un punct. Prezența găurii împiedică bucla portocalie să fie redusă la un punct. Grupul fundamental al planului fără un punct  este ciclic infinit, generat de bucla portocalie (sau de oricare curbă care ocolește gaura o dată). Astfel, grupul fundamental detectează gaura.

În aplicații mai recente, unele construcții geometrice au fost motivate de noțiuni din teoria grupurilor. Într-un mod similar, teoria grupurilor geometrice implică concepte geometrice, de exemplu în studiul grupurilor hiperbolice.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Coornaert|last2 = Delzant|last3=Papadopoulos|year = 1990}}</ref> Alte domenii în care apar aplicații cruciale ale grupurilor sunt [[geometria algebrică]] și [[teoria numerelor]].<ref>de exemplu, grupurile de clase și grupurile Picard; {{Harvard citations|nb = yes|last = Neukirch|year = 1999}}, în particular §§I.12 și I.13</ref>

Există și multe alte aplicații practice. [[Criptografie|Criptografia]] se bazează pe combinația dintre abordarea din teoria grupurilor abstracte și cunoștințele algoritmice obținute în teoria computațională a grupurilor, în particular la implementarea în domeniul grupurilor finite.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Seress|year = 1997}}</ref> Aplicațiile teoriei grupurilor nu sunt restrânse la matematică; științe cum sunt [[Fizică|fizica]], [[Chimie|chimia]] și [[Informatică|informatica]] utilizează acest concept.

=== Numere ===
Multe mulțimi de numere, cum ar fi numerele întregi și cele raționale prezintă o structură naturală de grup. În unele cazuri, cum este cel al numerelor raționale, atât adunarea cât și înmulțirea sunt operații care dau naștere unor structuri de grup. Asemenea structuri sunt predecesoarele unor structuri algebrice mai generale, denumite [[Inel (matematică)|inele]] și [[Corp (matematică)|corpuri]].

==== Numerele întregi ====
Grupul numerelor întregi '''Z''' cu operația de adunare, notat ('''Z''', +), a fost descris mai sus. Numerele întregi, împreună cu operația de înmulțire, ('''Z''',&nbsp;·) ''nu'' formează un grup. Axiomele de închidere, asociativitate și element neutru sunt satisfăcute, dar nu există întotdeauna element simetric: de exemplu, {{nowrap begin}}''a'' = 2{{nowrap end}} este număr întreg, dar unica soluție a ecuației {{nowrap begin}}''a · b'' = 1{{nowrap end}} în acest caz este ''b'' = 1/2, care nu este număr întreg. Deci nu toate elementele mulțimii '''Z''' au un element simetric multiplicativ.{{cref|k}}

==== Numerele raționale ====
Dorința existenței elementului simetric multiplicativ sugerează luarea în considerare a fracțiilor
:<math alt="a/b">\frac{a}{b}.</math>
Fracțiile de numere întregi (cu ''b'' nenul) sunt cunoscute ca [[Număr rațional|numere raționale]]. Mulțimea tuturor acestor fracții este adesea notată cu '''Q'''. Mai este un mic obstacol pentru ca {{nowrap|('''Q''', ·),}} structura formată din mulțimea numerelor raționale cu operația de înmulțire, să fie grup: deoarece numărul rațional [[0 (cifră)|0]] nu are element simetric (adică, nu există ''x'' astfel încât {{nowrap begin}}''x'' · 0 = 1{{nowrap end}}), ('''Q''',&nbsp;·) nu este grup.

Dar mulțimea numerelor raționale nenule {{nowrap begin}}'''Q''' \ {0} = {''q'' ∈ '''Q''', ''q'' ≠ 0}{{nowrap end}} formează un grup abelian cu operația de înmulțire, grup notat {{nowrap|('''Q''' \ {0}, ·)}}. Axiomele de element neutru și asociativitate derivă din proprietățile numerelor întregi. Cerința de închidere rămâne valabilă după eliminarea lui zero, deoarece produsul a două numere raționale nenule nu este niciodată zero. În cele din urmă, elementul simetric al lui ''a''/''b'' este ''b''/''a'', deci și axioma elementului simetric este satisfăcută.

Numerele raționale (inclusiv 0) formează un grup cu operația de adunare. Combinarea înmulțirii și adunării dă structuri mai complicate, denumite inele și—dacă este posibilă împărțirea, cum e cazul cu mulțimea '''Q'''—corpuri, care ocupă o poziție centrală în [[algebra abstractă]]. Argumentele din teoria grupurilor stau la baza unor noțiuni din teoria acestor entități.

==== Numerele întregi nenule modulo un număr prim ====
Pentru orice [[număr prim]] ''p'', aritmetica modulară furnizează grupul multiplicativ al întregilor modulo ''p''.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = Chapter VII}}</ref> Elementele sale sunt numerele întregi nedivizibile cu ''p'', modulo ''p'', adică două numere sunt considerate echivalente dacă diferența lor este divizibilă cu ''p''. De exemplu, dacă {{nowrap begin}}''p'' = 5{{nowrap end}}, grupul are patru elemente: 1, 2, 3, 4: [[multiplu|multiplii]] lui 5 sunt excluși, 6 și −4 sunt echivalente cu 1 etc. Operația de grup este cea de înmulțire modulo ''p''. De aceea, {{nowrap begin}}4 · 4 = 1{{nowrap end}}, întrucât produsul lor, 16, este echivalent cu 1, deoarece acesta este restul împărțirii lui 16 la 5, ceea ce se notează cu
:16 ≡ 1 ([[modulo|mod]] 5).
Faptul că ''p'' este prim asigură că produsul a două numere întregi din care niciunul nu este divizibil cu ''p'' nu este nici el divizibil cu ''p'', de unde rezultă că această mulțime este închisă în raport cu înmulțirea. Elementul neutru este 1, ca în cazul oricărui grup multiplicativ, iar asociativitatea rezultă din proprietatea corespunzătoare a numerelor întregi. În fine, axioma elementului invers cere ca unui întreg ''a'' nedivizibil cu ''p'', să îi corespundă un înreg ''b'' astfel încât
:''a''&nbsp;·&nbsp;''b''&nbsp;≡&nbsp;1 (mod ''p''), adică ''p'' să dividă diferența {{nowrap|''a'' · ''b'' − 1}}.
Elementul simetric ''b'' poate fi găsit folosind [[identitatea lui Bézout]] și faptul că [[cel mai mare divizor comun]] {{nowrap|cmmdc(''a'', ''p'')}} este egal cu 1.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Rosen|year = 2000|loc = p. 54 (Theorem 2.1)}}</ref> În cazul {{nowrap begin}}''p'' = 5{{nowrap end}} de mai sus, elementul simetric al lui 4 este 4, iar cel al lui 3 este 2, deoarece {{nowrap begin}}3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5).{{nowrap end}} Astfel, sunt îndeplinite toate axiomele grupurilor. De fapt, acest exemplu este analog cu exemplul ('''Q'''\{0}, ·) de mai sus, deoarece este grupul multiplicativ al elementelor nenule din corpul finit '''F'''<sub>''p''</sub>, notat '''F'''<sub>''p''</sub><sup>×</sup>.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §VIII.1, p. 292}}</ref> Aceste grupuri joacă un rol esențial în [[Criptografie cu chei publice|criptografia cu chei publice]].

=== Grupuri ciclice ===
[[Fișier:Cyclic group.svg|right|thumb|upright|Rădăcinile complexe de ordinul 6 formează un grup ciclic. ''z'' este un element primitiv, dar ''z''<sup>2</sup> nu este, deoarece puterile impare ale lui ''z'' nu sunt și puteri ale lui ''z''<sup>2</sup>.]]
Un ''grup ciclic'' este un grup ale cărui elemente sunt puteri (când operația de grup este considerată a fi de natură aditivă, se preferă termenul ''multipli'') ai unui element ''a''.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.1, p. 22}}</ref> În notația multiplicativă, elementele grupului sunt:
:..., ''a''<sup>−3</sup>, ''a''<sup>−2</sup>, ''a''<sup>−1</sup>, ''a''<sup>0</sup> = ''e'', ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ''a''<sup>3</sup>, ...,
unde ''a''<sup>2</sup> înseamnă ''a'' • ''a'', și ''a<sup>−3</sup>'' reprezintă ''a''<sup>−1</sup> • ''a''<sup>−1</sup> • ''a''<sup>−1</sup>=(''a'' • ''a'' • ''a'')<sup>−1</sup> etc. Un astfel de element ''a'' se numește ''generator'' sau ''element primitiv'' al grupului.

Un exemplu tipic pentru această categorie de grupuri îl reprezintă grupurile rădăcinilor complexe de ordin ''n'' ale unității, compus din mulțimea [[Număr complex|numerelor complexe]] ''z'' ce satisfac relația {{nowrap begin}}''z''<sup>''n''</sup> = 1{{nowrap end}} și operația de [[înmulțire (matematică) |înmulțire]] a numerelor complexe.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.2, p. 26}}</ref> Orice grup ciclic cu ''n'' elemente este izomorf cu acest grup. În baza teoriei corpurilor, se poate arăta că grupul '''F'''<sub>''p''</sub><sup>×</sup> este ciclic: pentru {{nowrap begin}}''p'' = 5,{{nowrap end}} 3 este generator deoarece {{nowrap begin}}3<sup>1</sup> = 3,{{nowrap end}} {{nowrap begin}}3<sup>2</sup> = 9 ≡ 4,{{nowrap end}} {{nowrap begin}}3<sup>3</sup> ≡ 2,{{nowrap end}} și {{nowrap begin}}3<sup>4</sup> ≡ 1.{{nowrap end}} Un grup ciclic infinit este izomorf cu ('''Z''', +), grupul numerelor întregi cu operația de adunare introdus mai sus.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.1, p. 22 (example 11)}}</ref> Întrucât aceste două prototipuri sunt abeliene, rezultă că orice grup ciclic este abelian.

Studiul grupurilor abeliene este avansat, și include [[teorema fundamentală a grupurilor abeliene finit generate]];<ref>{{citation |title=Grupuri abeliene finit generate |first=Eugenia|last= Turcu |publisher=Irco Script |year=2009  }}</ref> multe noțiuni legate de grupuri, cum ar fi cele de ''centru'' și ''comutator'', descriu punctul până la care un grup dat nu este abelian.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I.5, p. 26, 29}}</ref>

=== Grupurile de simetrie ===
''Grupurile de simetrie'' sunt grupuri compuse din transformări de simetrie ale unor obiecte matematce date—fie de natură geometrică, cum ar fi grupul de simetrie al pătratului din exemplul introductiv, fie de natură algebrică, cum ar fi [[Ecuație polinomială|ecuațiile polinomiale]] și soluțiile lor.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Weyl|year = 1952}}</ref> Conceptual, teoria grupurilor poate fi văzută ca fiind studiul simetriei. Matematica simetriilor simplifică mult studiul obiectelor geometrice sau analitice. Se spune că un grup ''acționează'' asupra unui alt obiect matematic ''X'' dacă fiecare element al grupului efectuează asupra lui ''X'' o operație compatibilă cu legea de compoziție a grupului. În exemplul din dreapta de mai jos, un element de ordinul 7 din [[grupul triunghiului (2,3,7)]] acționează asupra mozaicului prin permutarea triunghiurilor evidențiate (și a celorlalte). Prin acțiunea grupului, șablonul grupului este legat de structura obiectului asupra căreia acționează.

[[Fișier:Sixteenth stellation of icosahedron.png|right|thumb|200px|Rotațiile și oglindirile formează grupul de simetrie al unui icosaedru mare.]] 
În subdomeniile chimiei, cum ar fi [[cristalografie|cristalografia]], grupurile spațiale și grupurile punctuale descriu [[simetrie moleculară|simetriile moleculare]] și cristaline. Aceste simetrii stau la baza comportamentului fizic și chimic al acestor sisteme, iar teoria grupurilor permite simplificări ale analizei [[Mecanică cuantică|mecanice cuantice]] a acestor proprietăți.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Conway|last2= Delgado Friedrichs|last3 = Huson|last4 = Thurston|year = 2001}}. Vezi și {{Harvard citations|nb = yes|last = Bishop|year = 1993}}</ref> De exemplu, teoria grupurilor este folosită pentru a arăta că tranzițiile optice între anumite niveluri cuantice nu pot avea loc din cauza simetriei stărilor implicate.

Grupurile nu sunt doar utile în evaluarea simetriilor moleculelor, ci prezic și că moleculele pot uneori să-și schimbe simetria. [[Efectul Jahn-Teller]] este o distorsiune a unei molecule de înaltă simetrie ce apare când ea adoptă o anumită stare fundamentală de simetrie mai scăzută dintr-o mulțime de stări fundamentale posibile legate una de cealaltă prin operații de transformare de simetrie a moleculei.<ref name=Bersuker>{{citation |title=The Jahn-Teller Effect |first= Isaac |last= Bersuker |page=2 |isbn=0521822122 |publisher=Cambridge University Press |year=2006  }}</ref><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Jahn|last2=Teller|year = 1937}}</ref>

Analog, teoria grupurilor ajută la prezicerea schimbărilor proprietăților fizice care au loc atunci când un material suferă o [[transformare de fază]], de exemplu, de la o formă cristalină cubică la una tetraedrică. Un exemplu este cel al materialelor ferolectrice, în care trecerea dintr-o stare paraelectrică într-una feroelectrică are loc la [[temperatura Curie]] și se leagă de o trecere dintr-o stare paraelectrică de înaltă simetrie în starea feroelectrică, de simetrie inferioară.<ref name=Dove>{{citation |title=Structure and Dynamics: an atomic view of materials |first=Martin T|last= Dove |page=265 |isbn=0198506783 |publisher=Oxford University Press |year=2003  }}</ref>

Asemenea [[Ruperea spontană a simetriei|ruperi spontane ale simetriei]] și-au găsit și alte aplicații în fizica particulelor elementare, unde aparițiile lor sunt legate de aparițiile [[Boson Goldstone|bosonilor Goldstone]].

{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
|width=15%| [[Fișier:C60a.png|125px]]
|width=20%| [[Fișier:Ammonia-3D-balls-A.png|125px]]
|width=14%| [[Fișier:Cubane-3D-balls.png|125px]]
|width=36%| [[Fișier:Hexaaquacopper(II)-3D-balls.png|125px]]
|width=15%| [[Fișier:Uniform tiling 73-t2 colored.png|125px]]
|-
| [[Buckminsterfulerena]] prezintă<br />[[simetrie icosaedrică]].
|[[Amoniac]]ul, [[Azot|N]][[hidrogen|H<sub>3</sub>]]. Grupul său de simetrie e de ordinul 6, generat de o rotație de 120° și o reflexie.
|{{Ill-wd|Q1142902}}ul [[Carbon|C<sub>8</sub>]][[Hidrogen|H<sub>8</sub>]] prezintă<br /> [[simetrie octaedrică]].
|Ionul complex Hexaacvacupru(II), [[Cupru|[Cu]][[Oxigen|(O]][[Hidrogen|H<sub>2</sub>)<sub>6</sub>]<sup>2+</sup>]]. Comparativ cu o formă perfect simetrică, molecula este dilatată pe verticală cu aproximativ 22% (efectul Jahn-Teller).
|[[Grupul triunghiului (2,3,7)]], un grup hiperbolic care acționează asupra acestei [[pavare |pavări]] a planului hiperbolic.
|}

Grupurile de simetrie finite cum ar fi [[Grup Mathieu|grupurile Mathieu]] sunt utilizate în teoria codificărilor, care aer la rândul său aplicații în corecția erorilor în transmisia de date, și în [[CD player]]e.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Welsh|year = 1989}}</ref> O altă aplicație o reprezintă [[teoria diferențială Galois]], care caracterizează funcțiile care au [[Primitivă|primitive]] de o anumită formă, dând astfel criterii bazate pe teoria grupurilor pentru când soluțiile anumitor [[Ecuație diferențială|ecuații diferențiale]] se comportă bine. Proprietățile geometrice ce rămân stabile în raport cu acțiunile de grup sunt studiate în teoria invarianților.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Mumford|last2 = Fogarty|last3 = Kirwan|year = 1994}}</ref>

=== Grupul general liniar și teoria reprezentării ===
[[Fișier:Matrix multiplication.svg|right|thumb|250px|Doi [[vector]]i (stânga) înmulțiți cu niște matrice (centru și dreapta). Ilustrația centrală reprezintă o rotație în sens orar cu 90°, iar cea din dreapta îi mărește abscisa de două ori.]]
[[Grup matricial|Grupurile matriciale]] constau dintr-o mulțime de [[matrice|matrici]] și operația de înmulțire a matricilor. ''Grupul general liniar'' {{nowrap begin}}''GL''(''n'', '''R'''){{nowrap end}} constă din toate [[matrice inversabilă|matricile inversabile]] ''n''x''n'' cu elemente [[Număr real|reale]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lay|year = 2003}}</ref> Subgrupurile lor sunt denumite ''grupuri matriciale'' sau ''[[Grup liniar|grupuri liniare]]''. Grupul diedral din exemplul menționat mai sus poate fi văzut ca un grup matricial (foarte mic). Un alt grup matricial important este grupul ortogonal special ''SO''(''n''). El descrie toate rotațiile posibile în ''n'' dimensiuni. Prin intermediul [[unghiurile lui Euler|unghiurilor Euler]], [[Matrice de rotație|matricele de rotație]] sunt folosite în [[grafica pe calculator]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Kuipers|year = 1999}}</ref>

''Teoria reprezentării'' este atât o aplicație a conceptului de grup cât și o teorie importantă pentru înțelegerea în profunzime a grupurilor.<ref name=FultonHarris>{{Harvard citations|last1 = Fulton|last2 = Harris|year = 1991|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Serre|year = 1977}}</ref> Ea studiază grupul prin intermediul acțiunilor de grup asupra altor spații. O clasă mai largă de reprezentări ale grupurilor sunt reprezentările liniare, adică grupul acționează asupra unui [[spațiu vectorial]], cum ar fi [[spațiu euclidian|spațiul euclidian]] [[spațiu tridimensional|tridimensional]] '''R'''<sup>3</sup>. O reprezentare a lui ''G'' pe un spațiu vectorial real ''n''-[[Dimensiune|dimensional]] este doar un omomorfism de grup
:''ρ'': ''G'' → ''GL''(''n'', '''R''')
de la grupul dat la grupul general liniar. Astfel, operația grupului, ce poate fi dată abstract, se traduce în [[înmulțirea matricelor]], făcându-l astfel accesibil calculelor explicite.

Dată fiind o acțiune de grup, aceasta dă noi sensuri studiului obiectului asupra căruia acționează. Pe de altă parte, ea dă informații și despre grup. Reprezentările de grup sunt un principiu de organizare în teoria grupurilor finite, grupurilor Lie, grupurilor algebrice și grupurilor topologice, mai ales grupurilor (local) compacte.<ref name="FultonHarris"/><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Rudin|year = 1990}}</ref>

=== Grupurile Galois ===

''Grupurile Galois'' au fost dezvoltate pentru a ajuta rezolvarea [[Ecuație polinomială|ecuațiilor polinomiale]] identificând caracteristicile de simetrie ale acestora.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Robinson|year = 1996|loc = p. viii}}</ref><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Artin|year = 1998}}</ref> De exemplu, soluțiile ecuației de gradul doi {{math|1=''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' = 0}} sunt date de
:<math alt="x = (minus b plus sau minus radical din (b pătrat minus 4 a c)) pe 2a">x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math>
Schimbând  "+" și "−" dintre termenii [[numărător]]ului expresiei, permutarea celor două soluții poate fi văzută ca fiind o (foarte simplă) operație a grupului. Se cunosc formule similare pentru ecuațiile cubice și pentru cele cuadratice, dar ''nu'' există în general pentru ecuațiile de gradul cinci sau mai mare.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = Chapter VI}} (vezi în particular p. 273 pentru exemple concrete)</ref> Proprietățile abstracte ale grupurilor Galois asociate cu polinoamele (în particular, solvabilitatea lor) dau un criteriu pentru polinoame ale căror soluții se pot exprima ca radicali, adică soluții exprimabile doar prin adunări, înmulțiri, și radicali similare cu formula de mai sus.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = p. 292 (Teorema VI.7.2)}}</ref>

Problema poate fi tratată mai elegant cu ajutorul teoriei corpurilor: considerând corpul descompunerilor unui polinom problema se transferă la teoria corpurilor. Teoria Galois modernă generalizează acest tip de grupuri Galois la [[extindere de corp |extinderile de corp]] și stabilește&nbsp;— cu ajutorul teoremei fundamentale a teoriei Galois&nbsp;— o relație precisă între corpuri și grupuri, subliniind din nou omniprezența grupurilor în matematică.

== Grupuri finite ==
{{articol principal | Grup finit}}
Un grup se numește ''finit'' dacă are un [[mulțime finită|număr finit de elemente]]. Numărul de elemente dintr-un grup ''G'' se numește ''ordinul'' grupului ''G''.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Kurzweil|last2= Stellmacher|year = 2004}}</ref> O categorie importantă o reprezintă ''grupurile simetrice'' ''S''<sub>''N''</sub>, grupurile [[Permutare|permutărilor]] de ''N'' litere. De exemplu, grupul simetric de 3 litere ''S''<sub>3</sub> este grupul format din toate permutările posibile de trei litere ''ABC'', conținând astfel elementele ''ABC'', ''ACB'', ..., până la ''CBA'', în total 6 (sau 3 [[factorial]]) elemente. Această clasă este fundamentală, întrucât orice grup finit poate fi exprimat ca subgrup al grupului simetric ''S''<sub>''N''</sub> pentru un număr întreg ''N'' ([[teorema lui Cayley]]). Analog cu grupul transformărilor de simetrie ale pătratului de mai sus, ''S''<sub>3</sub> poate fi interpretat și ca grupul de simetrie al unui [[triunghi echilateral]].

<cite id=order_of_an_element>Ordinul unui element ''a'' dintr-un grup ''G'' este cel mai mic număr întreg pozitiv ''n'' cu proprietaeta ''a<sup>&nbsp;n</sup>&nbsp;=&nbsp;e'', unde ''a<sup>&nbsp;n</sup>'' reprezintă

: <math>\underbrace{{} \  a \ \cdots\  a\  {}}_{n \text{ factori}},</math>

adică aplicarea operației • asupra a ''n'' copii ale lui ''a''. (Dacă • reprezintă înmulțirea, atunci ''a''<sup>''n''</sup> corespunde lui ''a'' la puterea ''n''.) În grupurile infinite, un astfel de ''n'' se poate să nu existe, în care caz se spune că ordinul lui ''a'' este infinit. Ordinul unui element este egal cu ordinul subgrupului ciclic generat de acest element.

Tehnici de numărare mai sofisticate, de exemplu numărarea claselor laterale, dau afirmații mai precise despre grupurile finite: teorema lui Lagrange spune că pentru un grup finit ''G'' ordinul oricărui subgrup finit ''H'' divide ordinul lui ''G''.

Grupul diedral (discutat mai sus) este un grup finit de ordinul 8. Ordinul lui r<sub>1</sub> este 4, ca și ordinul subgrupului ''R'' pe care îl generează. Ordinul elementelor de reflexie f<sub>v</sub> etc. este 2. Ambele ordine divid pe 8, așa cum prezice teorema lui Lagrange. Grupurile '''F'''<sub>''p''</sub><sup>×</sup> date mai sus au ordinul {{nowrap|''p'' − 1}}.

=== Clasificarea grupurilor simple finite ===
Matematicienii se străduiesc adesea să realizeze o clasificare completă a unei noțiuni matematice. În contextul grupurilor finite, acest scop conduce rapid la dificultăți. Conform teoremei lui Lagrange, grupurile finite de ordin ''p'', număr prim, sunt automat și grupuri ciclice (și abeliene), notate '''Z'''<sub>''p''</sub>. Se poate arăta că și grupurile de ordinul ''p''<sup>2</sup> sunt abeliene, afirmație care însă nu se generalizează la ordinul ''p''<sup>3</sup>, după cum reiese din contraexemplul grupului nonabelian D<sub>4</sub> de ordin 8 = 2<sup>3</sup> arătat mai sus.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Artin|year = 1991|loc = Theorem 6.1.14}}. Vezi și {{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = p. 77}} pentru rezultate similare.</ref> [[Sistem CAS|Sistemele CAS]] pot fi utilizate pentru  a genera liste de grupuri mici, dar nu există clasificări ale tuturor grupurilor finite. Un pas intermediar îl reprezintă clasificarea grupurilor finite simple. Un grup netrivial se numește ''[[grup simplu]]'' dacă singurele sale subgrupuri normale sunt [[grup trivial |grupul trivial]] și grupul însuși. [[Teorema Jordan-Hölder]] prezintă grupurile simple ca elemente constitutive ale tuturor grupurilor finite.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I. 3, p. 22}}</ref> Generarea listei tuturor grupurilor finite simple a fost o mare realizare din teoria grupurilor. {{Ill-wd|Q334010}}, laureat al [[Medalia Fields|Medaliei Fields]] pe 1998, a reușit să demonstreze conjecturile {{Ill-wd|Q392440}}, o relație surprinzătoare și profundă între cel mai mare [[grup sporadic]] finit simplu—„[[grupul monstru]]”—cu anumite funcții modulare, o componentă a analizei complexe clasice și [[teoria coardelor]], o teorie ce intenționează să unifice descrierea multor fenomene fizice.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Ronan|year = 2007}}</ref>

== Grupuri cu structură adițională ==
Multe grupuri sunt și exemple de alte structuri matematice. În termeni de teoria categoriilor, ele sunt obiecte de grup într-o categorie, adică sunt obiecte (exemple de alte structuri matematice) care suferă unele transformări (numite [[morfism]]e) care mimează axiomele grupurilor. De exemplu, toate grupurile constituie o mulțime, deci un grup este un obiect de grup din categoria mulțimilor.

=== Grupuri topologice ===
[[Fișier:Circle as Lie group2.svg|right|thumb|[[Cercul unitate]] din [[planul complex]] împreună cu operația de înmulțire a numerelor complexe este un grup Lie și deci un grup topologic. Este topologic deoarece înmulțirea și împărțirea numerelor complexe sunt continue. El este o varietate și deci grup Lie, deoarece fiecare [[Vecinătate (matematică)|vecinătate]], cum ar fi arcul de cerc roșu din figură, arată ca o porțiune din [[dreapta reală]] (jos). ]]
Unele [[Spațiu topologic|spații topologice]] pot fi dotate cu o [[lege de compoziție]] de grup. Pentru ca proprietățile topologice și cele de grup să se combine corect, operațiile grupului trebuie să fie [[Funcție continuă|continue]], adică, {{nowrap|''g'' • ''h'',}} și ''g''<sup>−1</sup> nu trebuie să varieze foarte puternic dacă ''g'' și ''h'' variază doar puțin. Astfel de grupuri se numesc ''grupuri topologice,'' și ele sunt obiectele de grup din categoria spațiilor topologice.<ref>{{Harvard citations|nb = yes| last = Husain|year = 1966}}</ref> Cele mai simple exemple sunt [[Număr real|mulțimea numerelor reale]] '''R''' împreună cu operația de adunare, {{nowrap|('''R''' \ {0}, ·)}}, și, analog, alte spații topologice cum ar fi [[Număr complex|numerele complexe]] sau [[Număr p-adic|numerele ''p''-adice]]. Toate aceste grupuri sunt [[Grup local compact|local compacte]], și deci au [[măsură Haar]] și pot fi studiate prin [[analiză armonică]]. Primele oferă un formalism abstract de [[Integrală|integrale]] invariante. Invarianța înseamnă, în cazul numerelor reale de exemplu:
: <math>\int f(x)\,dx = \int f(x+c)\,dx</math>
pentru orice ''c'' constant. Grupurile matriciale peste aceste grupuri cad sub incidența acestui regim, ca și inelele adelice și grupurile algebrice adelice, structuri importante pentru teoria numerelor.<ref>{{Harvard citations|nb = yes| last = Neukirch|year = 1999}}</ref> Grupurile Galois de extinderi de grupuri infinite cum ar fi [[grupul absolut Galois]] pot și ele să fie echipate cu o topologie, așa-numita [[topologie Krull]], importantă pentru generalizarea legăturii schițate mai sus între corpuri și grupuri și extinderi de grupuri infinite.<ref>{{Harvard citations|nb = yes| last = Shatz|year = 1972}}</ref> O generalizare avansată a acestei idei, adaptată nevoilor [[Geometrie algebrică|geometriei algebrice]], este [[grupul fundamental étale]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes| last = Milne|year = 1980}}</ref>

=== Grupuri Lie ===
''Grupurile Lie'' (denumite în cinstea lui [[Sophus Lie]]) sunt grupuri cu structură de [[Varietate (matematică)|varietate]], adică spații care [[difeomorfism|local seamănă cu]] un [[spațiu euclidian]] de [[dimensiune]] corespunzătoare.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Warner|year = 1983}}</ref> Din nou, structura adițională, aici cea de varietate, trebuie să fie compatibilă, adică aplicațiile corespunzătoare înmulțirii și inversării să fie trebuie să fie [[Aplicație netedă|netede]].

{{clear}}Un exemplu standard este grupul general liniar introdus mai sus: este o [[submulțime deschisă]] a spațiului tuturor matricelor ''n''-pe-''n'', deoarece este dat de inegalitatea
:det (''A'') ≠ 0,
unde ''A'' este o matrice ''n''-pe-''n''.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Borel|year = 1991}}</ref>

Grupurile Lie au o importanță fundamentală în [[fizică]]: [[teorema lui Noether]] leagă [[simetrie continuă |simetriile continue]] de [[cantități conservate]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Goldstein|year = 1980}}</ref> [[Rotația]], ca și [[Translație (geometrie)|translațiile]] în [[spațiu]] și [[timp]] sunt transformări de simetrie elementare ale legilor [[Mecanică|mecanicii]]. Ele pot, de exemplu, să fie folosite pentru a construi modele simple—impunerea, de pildă, a simetriei axiale unei situații poate conduce on a la simplificări semnificative ale ecuațiilor ce trebuie rezolvate pentru a furniza o descriere fizică. Un alt exemplu îl reprezintă [[transformările Lorentz]], care arată o legătură între măsurarea timpului și vitezei de către doi observatori în mișcare relativă unul față de altul. Ele pot fi deduse într-o manieră strict legată de teoria grupurilor, exprimând transformările ca simetrii de rotație ale [[Spațiu Minkowski|spațiului Minkowski]]. Cea din urmă servește—în absența unei [[gravitație|gravitații]] semnificative—ca model al [[Continuum spațiu-timp|continuumului spațiu-timp]] în [[teoria relativității restrânsă]].<ref>{{harvard citations|nb=yes|last=Weinberg|year=1972}}</ref> Grupul de simetrie al spațiului Minkowski, inclusiv translațiile, este cunoscut sub denumirea de [[grup Poincaré]]. Prin cele de mai sus, el joacă un rol esențial în teoria relativității restrânsă și, în [[teoriile câmpurilor cuantice]].<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Naber|year = 2003}}</ref> [[Simetrie locală|Simetriile care depind de poziție]] sunt centrale în descrierea modernă a interacțiunilor fizice cu ajutorul teoriei de scală.<ref>{{Harvard citations|nb = yes| last = Becchi|year = 1997}}</ref>

== Generalizări ==
În algebra abstractă, sunt definite structuri mai generale prin relaxarea unora dintre [[axiomă|axiomele]] de definiție ale grupurilor.<ref name="MacLane">{{Harvard citations|nb = yes|last = Mac Lane|year = 1998}}</ref><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Denecke|last2 = Wismath|year = 2002}}</ref><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Romanowska|last2 = Smith|year=2002}}</ref> De exemplu, dacă se renunță la condiția ca fiecare element să aibă un invers, structura algebrică rezultată se numește [[monoid]]. Mulțimea [[Număr natural|numerelor naturale]] '''N''' (inclusiv 0) împreună cu operația de adunare formează un monoid, la fel și numerele întregi nenule împreună cu operația de înmulțire {{nowrap|('''Z''' \ {0}, ·)}}, vezi mai sus. Există o metodă generală de a adăuga formal inversele elementelor la orice monoid abelian, cum este cazul cu {{nowrap|('''Q''' \ {0}, ·)}} care este calculat din {{nowrap|('''Z''' \ {0}, ·)}}, cunoscut sub numele de [[grup Grothendieck]].
{{Ill-wd|Q1196038}}ele sunt similare grupurilor cu excepția faptului că legea de compoziție ''a''&nbsp;•&nbsp;''b'' nu trebuie definită pentru orice ''a'' și ''b''. Ele apar în studiul unor forme mai complicate de simetrie, adesea în structuri analitice și topologice, ca [[grupoidul fundamental]].

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
=== Generalități ===
* {{Citation | last1=Artin | first1=Michael | authorlink1=Michael Artin | title=Algebra | publisher={{Ill-wd|Q443253}} | isbn=978-0-89871-510-1 | year=1991}}, Capitolul 2 conține o expunere la nivel universitar a noțiunilor din articol.
* {{Citation | last1=Devlin | first1=Keith | authorlink1=Keith Devlin | title=The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible | publisher=Owl Books | isbn=978-0-8050-7254-9 | year=2000}}, Capitolul 5 furnizează o explicație accesibilă necunoscătorilor.
* {{Citation
| last=Fulton
| first=William
| author-link=William Fulton
| last2=Harris
| first2=Joe
| author2-link=Joe Harris (mathematician)
| title=Representation theory. A first course
| publisher=[[Springer Science+Business Media]]
| location=New York
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]], Readings in Mathematics
| isbn=978-0-387-97495-8
| id={{MathSciNet | id = 1153249}}, ISBN 978-0-387-97527-6
| year=1991
| volume=129}}
* {{Citation | authorlink=George G. Hall | last=Hall | first=G. G. | title=Applied group theory | publisher=American Elsevier Publishing Co., Inc., New York | id={{MathSciNet | id = 0219593}} | year=1967}}, introducere elementară.
* {{Citation | last1=Herstein | first1=Israel Nathan |authorlink1 = Israel Nathan Herstein | title=Abstract algebra | publisher=Prentice Hall Inc. | location=Upper Saddle River, NJ | edition=3rd | isbn=978-0-13-374562-7 | id={{MathSciNet | id = 1375019}} | year=1996}}.
* {{Citation | last1=Herstein | first1=Israel Nathan | title=Topics in algebra | publisher=Xerox College Publishing | location=Lexington, Mass. | edition=2nd | id={{MathSciNet | id = 0356988}} | year=1975}}.
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | authorlink1 = Serge Lang | title=Algebra |  location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-95385-4 | id={{MathSciNet | id = 1878556}} | year=2002 | volume=211}}.
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | title=Undergraduate Algebra | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-0-387-22025-3 | year=2005}}.
* {{Citation | last1=Ledermann | first1=Walter | title=Introduction to the theory of finite groups | publisher=Oliver and Boyd, Edinburgh and London | id={{MathSciNet | id = 0054593}} | year=1953}}.
* {{Citation | last1=Ledermann | first1=Walter | title=Introduction to group theory | publisher=Barnes and Noble | location=New York | oclc=795613 | year=1973}}.
* {{Citation | last1=Robinson | first1=Derek John Scott | title=A course in the theory of groups | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94461-6 | year=1996}}.

=== Referințe speciale ===
* {{Citation | last1=Artin | first1=Emil | author1-link=Emil Artin | title=Galois Theory | publisher={{Ill-wd|Q2137023}} | location=New York | isbn=978-0-486-62342-9 | year=1998}}.
* {{Citation | last1=Aschbacher | first1=Michael | author1-link = Michael Aschbacher | title=The Status of the Classification of the Finite Simple Groups | url=http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf |format=PDF| year=2004 | journal={{Ill-wd|Q24158}} | issn=0002-9920 | volume=51 | issue=7 | pages=736–740}}.
* {{Citation| last = Becchi| first = C.|url=http://www.arxiv.org/abs/hep-ph/9705211|title=Introduction to Gauge Theories|accessdate=2008-05-15|year = 1997}}.
* {{Citation | last1=Besche | first1=Hans Ulrich | last2=Eick | first2=Bettina | last3=O'Brien | first3=E. A. | title=The groups of order at most 2000 | url=http://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/home.html | id={{MathSciNet | id = 1826989}} | year=2001 | journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | volume=7 | pages=1–4 | doi=10.1090/S1079-6762-01-00087-7}}.
* {{Citation | last1=Bishop | first1=David H. L. | title=Group theory and chemistry | publisher={{Ill-wd|Q2137023}} | location=New York | isbn=978-0-486-67355-4 | year=1993}}.
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Linear algebraic groups | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-97370-8 | id={{MathSciNet | id = 1102012}} | year=1991 | volume=126}}.
* {{Citation | last1=Carter | first1=Roger W. | author1-link=Roger Carter (mathematician) | title=Simple groups of Lie type | publisher=[[Wiley]] | location=New York | isbn=978-0-471-50683-6 | year=1989}}.
* {{Citation | last1=Conway | first1=John Horton | author1-link=John Horton Conway | last2=Delgado Friedrichs | first2=Olaf | last3=Huson | first3=Daniel H. | last4=Thurston | first4=William P. | author4-link=William Thurston | title=On three-dimensional space groups | url=http://arxiv.org/abs/math.MG/9911185 | id={{MathSciNet | id = 1865535}} | year=2001 | journal=Beiträge zur Algebra und Geometrie | issn=0138-4821 | volume=42 | issue=2 | pages=475–507}}.
* {{fr icon}} {{Citation | last1=Coornaert | first1=M. | last2=Delzant | first2=T. | last3=Papadopoulos | first3=A. | title=Géométrie et théorie des groupes [Geometrie și teoria grupurilor]| publisher=[[Springer Science+Business Media]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-52977-4 | id={{MathSciNet | id = 1075994}} | year=1990 | volume=1441}}.
* {{Citation | last1=Denecke | first1=Klaus | last2=Wismath | first2=Shelly L. | title=Universal algebra and applications in theoretical computer science | publisher=[[CRC Press]] | location=London | isbn=978-1-58488-254-1 | year=2002}}.
* {{de icon}} {{Citation | last1=Frucht | first1=R. | title=Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construcția grafurilor cu grup dat] | url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | year=1939 | journal=Compositio Mathematica | issn=0010-437X | volume=6 | pages=239–50 | access-date=2008-12-13 | archive-date=2008-12-01 | archive-url=https://web.archive.org/web/20081201083831/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | dead-url=yes }}.
* {{Citation| last = Goldstein | first = Herbert | author-link = Herbert Goldstein | year = 1980 | title = {{Ill-wd|Q1528639|3=Classical Mechanics}} | edition = 2nd | publisher = Addison-Wesley Publishing | location = Reading, MA | isbn = 0-201-02918-9 | pages = 588–596}}.
* {{Citation | last1=Hatcher | first1=Allen | author-link=Allen Hatcher | title=Algebraic topology | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-79540-1 | year=2002}}.
* {{Citation | last1=Husain | first1=Taqdir | title=Introduction to Topological Groups | publisher=W.B. Saunders Company | location=Philadelphia | isbn=978-0-89874-193-3 | year=1966}}
* {{Citation | last1 = Jahn | first1=H.| author1-link=Hermann Arthur Jahn|last2=Teller|first2=E.|author2-link=Edward Teller| title = Stability of Polyatomic Molecules in Degenerate Electronic States. I. Orbital Degeneracy | year = 1937 | journal = [[Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences (1934–1990)]] | volume = 161 | issue = 905 | pages = 220–235 | doi = 10.1098/rspa.1937.0142}}.
* {{Citation | last1=Kuipers | first1=Jack B. | title=Quaternions and rotation sequences — A primer with applications to orbits, aerospace, and virtual reality | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-05872-6 | id={{MathSciNet | id = 1670862}} | year=1999}}.
* {{Citation | last1=Kuga | first1=Michio | author-link=Michio Kuga | title=Galois' dream: group theory and differential equations | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | isbn=978-0-8176-3688-3 | id={{MathSciNet | id = 1199112}} | year=1993}}.
* {{Citation | last1=Kurzweil | first1=Hans | last2=Stellmacher | first2=Bernd | title=The theory of finite groups | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-0-387-40510-0 | id={{MathSciNet | id = 2014408}} | year=2004}}.
* {{Citation | last1=Lay | first1=David | title=Linear Algebra and Its Applications | publisher={{Ill-wd|Q353060}} | isbn=978-0-201-70970-4 | year=2003}}.
* {{Citation | last1=Mac Lane | first1=Saunders | author1-link=Saunders Mac Lane | title={{Ill-wd|Q5051820}} | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-0-387-98403-2 | year=1998}}.
* {{Citation | last1=Michler | first1=Gerhard | title=Theory of finite simple groups | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-86625-5 | year=2006}}.
* {{Citation | last1=Milne | first1=James S. | title=Étale cohomology | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-08238-7 | year=1980}}
* {{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | last2=Fogarty | first2=J. | last3=Kirwan | first3=F. | title=Geometric invariant theory | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-3-540-56963-3 | id={{MathSciNet | id = 1304906}} | year=1994 | volume=34}}.
* {{Citation | last1=Naber | first1=Gregory L. | title=The geometry of Minkowski spacetime | publisher={{Ill-wd|Q2137023}} | location=New York | isbn=978-0-486-43235-9 | id={{MathSciNet | id = 2044239}} | year=2003}}.
* {{Citation
| last=Neukirch
| first=Jürgen
| author-link=Jürgen Neukirch
| title=Algebraic Number Theory
| publisher=[[Springer Science+Business Media]]
| location=Berlin
| series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
| isbn=978-3-540-65399-8
| id={{MathSciNet | id = 1697859}}
| year=1999
| volume=322}}.
* {{Citation | last1=Romanowska | first1=A.B. | last2=Smith | first2=J.D.H. | title=Modes | publisher={{Ill-wd|Q1357666}} | isbn=9789810249427 | year=2002}}.
* {{Citation | last1=Ronan | first1=Mark | author1-link= Mark Ronan|title=Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics | publisher=[[Oxford University Press]] | isbn=978-0-19-280723-6 | year=2007}}.
* {{Citation | last1=Rosen | first1=Kenneth H. | title=Elementary number theory and its applications | publisher={{Ill-wd|Q353060}} | edition=4th | isbn=978-0-201-87073-2 | id={{MathSciNet | id = 1739433}} | year=2000}}.
* {{Citation| last = Rudin | first = Walter | author-link = Walter Rudin | title = Fourier Analysis on Groups|publisher=Wiley-Blackwell|series=Wiley Classics|year=1990|isbn=047152364X}}.
* {{Citation | last1=Seress | first1=Ákos | title=An introduction to computational group theory | url=http://www.math.ohio-state.edu/~akos/notices.ps | id={{MathSciNet | id = 1452069}} | year=1997 | journal={{Ill-wd|Q24158}} | issn=0002-9920 | volume=44 | issue=6 | pages=671–679 | access-date=2008-12-13 | archive-date=2007-02-08 | archive-url=https://web.archive.org/web/20070208012642/http://www.math.ohio-state.edu/~akos/notices.ps | dead-url=yes }}.
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | title=Linear representations of finite groups | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90190-9 | id={{MathSciNet | id = 0450380}} | year=1977}}.
* {{Citation | last1=Shatz | first1=Stephen S. | title=Profinite groups, arithmetic, and geometry | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-08017-8 | id={{MathSciNet | id = 0347778}} | year=1972}}
* {{Citation|last = Suzuki|first= Michio|author-link = Michio Suzuki|title = On the lattice of subgroups of finite groups|journal = {{Ill-wd|Q2379946}}| volume = 70| issue = 2| year = 1951| pages = 345–371| doi = 10.2307/1990375}}.
* {{Citation | last1=Warner | first1=Frank | title=Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90894-6 | year=1983}}.
* {{Citation | last1=Weinberg | first1=Steven | author1-link=Steven Weinberg | title=Gravitation and Cosmology | publisher=[[Wiley]] | location=New York | year=1972 |isbn=0-471-92567-5}}.
* {{Citation | last1=Welsh | first1=Dominic | title=Codes and cryptography | publisher=Clarendon Press | location=Oxford | isbn=978-0-19-853287-3 | year=1989}}.
* {{Citation | last1=Weyl | first1=Hermann | author1-link=Hermann Weyl | title=Symmetry | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-02374-8 | year=1952}}.

=== Referințe istorice ===

* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-0288-5 | year=2001}}
* {{Citation | last1=Cayley | first1=Arthur | author1-link=Arthur Cayley | title=The collected mathematical papers of Arthur Cayley | url=http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1889 | volume=II (1851–1860)}}.
* {{Citation | last1=Curtis | first1=Charles W. | title=Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=History of Mathematics | isbn=978-0-8218-2677-5 | year=2003}}.
* {{de icon}} {{Citation | last1=von Dyck | year=1882 | first1=Walther | author1-link=Walther von Dyck | title=Gruppentheoretische Studien [Group-theoretical Studies] | url=http://www.springerlink.com/content/t8lx644qm87p3731 | doi=10.1007/BF01443322 | journal={{Ill-wd|Q703577}} | issn=0025-5831 | volume=20 | issue=1 | pages=1–44 | format=subscription required }}{{Legătură nefuncțională|date=octombrie 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}.
* {{fr icon}} {{Citation | last1=Galois | first1=Évariste | author1-link=Évariste Galois | editor1-last=Tannery | editor1-first=Jules | title=Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts] | url=http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280 | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | year=1908}} (Galois work was first published by [[Joseph Liouville]] in 1843).
* {{fr icon}} {{Citation | last1=Jordan | first1=Camille | author-link=Camille Jordan | title=Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations]| url=http://visualiseur.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k290534 | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | year=1870}}.
* {{Citation | last1=Kleiner | first1=Israel | title=The evolution of group theory: a brief survey | url=http://www.jstor.org/sici?sici=0025-570X(198610)59%3A4%3C195%3ATEOGTA%3E2.0.CO%3B2-9 | id={{MathSciNet | id = 863090}} | year=1986 | journal={{Ill-wd|Q3298519}} | issn=0025-570X | volume=59 | issue=4 | pages=195–215|format=subscription required}}.
* {{de icon}} {{Citation | last1=Lie | first1=Sophus | author1-link=Sophus Lie | title=Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1] | publisher=Johnson Reprint Corp. | location=New York | id={{MathSciNet | id = 0392459}} | year=1973}}.
* {{Citation | last1=Mackey | first1=George Whitelaw | author1-link=George Mackey | title=The theory of unitary group representations | publisher={{Ill-wd|Q1814982}} | id={{MathSciNet | id = 0396826}} | year=1976}}
* {{Citation | last1=Smith | first1=David Eugene | author1-link=David Eugene Smith | title=History of Modern Mathematics | url=http://www.gutenberg.org/etext/8746 | series=Mathematical Monographs, No. 1 | year=1906}}.
* {{Citation | last1=Wussing | first1=Hans | title=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory | publisher={{Ill-wd|Q2137023}} | location=New York | isbn=978-0-486-45868-7 | year=2007}}.

{{articol de calitate}}

[[Categorie:Structuri algebrice]]