Funcție Kelvin

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, funcțiile Kelvin, notate Berν(x) și Beiν(x), sunt partea reală și respectiv partea imaginară a funcției:

J_\nu(x e^{3 \pi i/4}) \,\!

unde x este real, iar J_\nu(z) \,\! este funcția Bessel de prima speță și de ordinul ν.

Similar, funcțiile Kerν(x) și Keiν(x) sunt respectiv partea reală si partea imaginară a funcției:

K_\nu(x e^{3 \pi i/4}) \,\!

unde K_\nu(z)\, este funcția Bessel modificată de speța a II-a și de ordinul ν.

Deși funcțiile Kelvin sunt definite ca parte reală si imaginară ale funcțiilor Bessel cu x real, ele pot fi prelungite analitic pentru argumente complexe x ei φ, φ ∈ [0, 2π). Cu excepția funcțiilor Bern(x) și Bein(x) pentru n întreg, funcțiile Kelvin au un punct de ramificație în x = 0.


Ber(x)[modificare | modificare sursă]

Ber(x) pentru x între 0 şi 10.
\mathrm{Ber}(x) / e^{x/\sqrt{2}} pentru x între 0 şi 100.

Pentru n întreg, Bern(x) are următoarea dezvoltare în serie:

\mathrm{Ber}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k

unde \Gamma(z) este funcția Gamma.

Cazul special Ber_0(x), în mod normal notat cu Ber(x), are următoarea dezvoltare în serie:

\mathrm{Ber}(x) = 1 + \sum_{k \geq 1} \frac{(-1)^k (x/2)^{4k}}{[(2k)!]^2}

iar dezvoltarea asimptotică este

\mathrm{Ber}(x) \sim \frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2 \pi x}} [f_1(x) \cos \alpha + g_1(x) \sin \alpha] - \frac{\mathrm{Kei}(x)}{\pi},

unde \alpha = x/\sqrt{2} - \pi/8, iar

f_1(x) = 1 + \sum_{k \geq 1} \frac{\cos(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2
g_1(x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\sin(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2


Bei(x)[modificare | modificare sursă]

Bei(x) pentru x între 0 şi 10.
\mathrm{Bei}(x) / e^{x/\sqrt{2}} pentru x între 0 şi 100.

pentru n întreg, Bei_n(x) are următoarea dezvoltare în serie:

\mathrm{Bei}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k

unde \Gamma(z) este funcția Gamma. Cazul special Bei_0(x), în mod normal notat cu Bei(x), are următoarea dezvoltare în serie:

\mathrm{Bei}(x) = \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k (x/2)^{4k+2}}{[(2k+1)!]^2}

iar dezvoltarea asimptotică este:

\mathrm{Bei}(x) \sim \frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2 \pi x}} [f_1(x) \sin \alpha + g_1(x) \cos \alpha] - \frac{\mathrm{Ker}(x)}{\pi},

unde \alpha, f_1(x) și g_1(x) sunt definite ca cele pentru Ber(x).


Ker(x)[modificare | modificare sursă]

Pentru n întreg, Kern(x) are următoarea dezvoltare în serie:

\begin{align}\mathrm{Ker}_n(x) & = \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k \\ &+\frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k \\ & - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Ber}_n(x) + \frac{\pi}{4}\mathrm{Bei}_n(x)  \end{align}
Ker(x) pentru x între 0 şi 10.
\mathrm{Ker}(x) e^{x/\sqrt{2}} pentru x între 0 şi 100.

unde \psi(z) este funcția Digamma.

Cazul special Ker_0(x), în mod normal notat cu Ker(x), are următoarea dezvoltare în serie:

\mathrm{Ker}(x) = -\ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Ber}(x) + \frac{\pi}{4}\mathrm{Bei}(x) + \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\psi(2k + 1)}{[(2k)!]^2} \left(\frac{x^2}{4}\right)^{2k}

și dezvoltarea asimptotică:

\mathrm{Ker}(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}} [f_2(x) \cos \beta + g_2(x) \sin \beta],

unde \beta = x/\sqrt{2} + \pi/8, iar

f_2(x) = 1 + \sum_{k \geq 1} (-1)^k \frac{\cos(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2
g_2(x) = \sum_{k \geq 1} (-1)^k \frac{\sin(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2.


Kei(x)[modificare | modificare sursă]

Pentru n întreg, Kein(x) are dezvoltarea in serie:

\begin{align}\mathrm{Kei}_n(x) & = \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k \\ &+\frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k \\ & - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Bei}_n(x) - \frac{\pi}{4}\mathrm{Ber}_n(x) \end{align}
Kei(x) pentru x între 0 şi 10.
\mathrm{Kei}(x) e^{x/\sqrt{2}} pentru x între 0 şi 100.

unde \psi(z) este funcția Digamma.

Cazul special Kei_0(x), în mod uzual notat cu Kei(x), are următoarea dezvoltare în serie:

\mathrm{Kei}(x) = -\ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Bei}(x) - \frac{\pi}{4}\mathrm{Ber}(x) + \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\psi(2k + 2)}{[(2k+1)!]^2} \left(\frac{x^2}{4}\right)^{2k+1}

și dezvoltarea asimptotică:

\mathrm{Kei}(x) \sim -\sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}} [f_2(x) \sin \beta + g_2(x) \cos \beta],

unde \beta, f_2(x) și g_2(x) sunt cele definite pentru Ker(x).


Vezi și[modificare | modificare sursă]


Referențe[modificare | modificare sursă]

  • Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Capitolul 9.9.


Legături externe[modificare | modificare sursă]

  • Weisstein, Eric W. "Kelvin Functions." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. [1]
  • GPL-licensed C/C++ source code for calculating Kelvin functions at codecogs.com: [2]