De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.
A nu se confunda cu formula lui Viète pentru numărul π !
În matematică , formulele lui Viète sunt relațiile dintre coeficienții unei ecuații algebrice și rădăcinile acesteia.
Dacă
P
(
X
)
=
a
n
X
n
+
a
n
−
1
X
n
−
1
+
⋯
+
a
1
X
+
a
0
{\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}
este un polinom de gradul
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
numere complexe
(deci
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}}
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{n}\neq 0}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
S
1
=
x
1
+
x
2
+
…
+
x
n
=
−
a
n
−
1
a
n
{\displaystyle S_{1}=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\!}
S
2
=
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
…
+
x
n
−
1
x
n
=
a
n
−
2
a
n
{\displaystyle S_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\!}
S
3
=
x
1
x
2
x
3
+
x
1
x
2
x
4
+
…
+
x
n
−
2
x
n
−
1
x
n
=
−
a
n
−
3
a
n
{\displaystyle S_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+\ldots +x_{n-2}x_{n-1}x_{n}=-{\frac {a_{n-3}}{a_{n}}}\!}
..............................................
S
k
=
x
1
x
2
…
x
k
+
…
=
(
−
1
)
k
a
n
−
k
a
n
{\displaystyle S_{k}=x_{1}x_{2}\ldots x_{k}+\ldots =(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}\!}
..........................................
S
n
=
x
1
x
2
…
x
n
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
.
{\displaystyle S_{n}=x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}.\!}
Aceste relații au fost stabilite de François Viète în 1591 și se mai numesc și relații între rădăcini și coeficienți .
Aceste formule permit calcularea unor expresii algebrice care implică rădăcinile fără a le calcula efectiv. De exemplu se poate calcula suma
inverselor rădăcinilor unei ecuații de gradul II, III fără a le explicita:
∑
x
i
−
1
=
1
x
1
+
1
x
2
(
+
.
.
)
{\displaystyle \sum x_{i}^{-1}={\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}(+..)}
care prin aducere la un numitor comun dau
∑
x
i
−
1
=
x
1
+
x
2
x
1
x
2
{\displaystyle \sum x_{i}^{-1}={\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}}}
care se pot înlocui direct din formulele lui Viète.
Relațiile nu trebuie confundate cu produsul infinit al lui Viète din trigonometrie :
cos
(
θ
2
)
⋅
cos
(
θ
4
)
⋅
cos
(
θ
8
)
⋯
=
∏
n
=
1
∞
cos
(
θ
2
n
)
=
sin
(
θ
)
θ
.
{\displaystyle \cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\sin(\theta ) \over \theta }.}
