Formulele lui Viète

Formulele lui Viète sunt relații între coeficienții unui polinom și rădăcinile sale. În forma cea mai cunoscută, ele leagă suma și produsul rădăcinilor unei ecuații de gradul al doilea de coeficienții acesteia. Relațiile poartă numele matematicianului francez François Viète, care a avut o contribuție esențială la dezvoltarea algebrei simbolice.

Formulele lui Viète sunt utilizate atât în studiul teoretic al ecuațiilor algebrice, cât și în calcule concrete, în special pentru determinarea rădăcinilor, pentru formarea ecuațiilor cunoscând soluțiile și pentru identificarea unor proprietăți ale soluțiilor fără rezolvarea explicită a ecuației.

Noțiuni de bază

Un polinom este o expresie de forma $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},$ unde numerele $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}$ se numesc coeficienți, iar $a_{n}\neq 0$

O rădăcină a polinomului este o valoare a lui $x$ pentru care polinomul devine zero. În cazul ecuației :$ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0,$ rădăcinile sunt valorile $x_{1}$ și $x_{2}$ care satisfac ecuația.

O relație este numită simetrică dacă nu se modifică la interschimbarea rădăcinilor. Suma $x_{1}+x_{2}$ și produsul $x_{1}x_{2}$ sunt exemple de relații simetrice.

Numărul de soluții reale ale ecuației de gradul al doilea

Pentru ecuația

$ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0,$ numărul soluțiilor reale depinde de discriminantul:

$\Delta =b^{2}-4ac.$

Condiția asupra lui $\Delta$	Numărul soluțiilor reale	Tipul soluțiilor
$\Delta >0$	2	soluții reale și distincte
$\Delta =0$	1	soluție dublă
$\Delta <0$	0	ecuația nu are soluții reale

Atunci când ecuația are rădăcini reale, acestea sunt date de formula

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

Relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al doilea

Dacă ecuația

$ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0$, are rădăcinile $x_{1}$ și $x_{2}$, atunci acestea verifică relațiile:

• $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$
• $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$.

Aceste egalități sunt cunoscute sub numele de formulele lui Viète pentru ecuația de gradul al doilea.

Demonstrație

Pornind de la ecuația

$ax^{2}+bx+c=0$, cu $a\neq 0$, rădăcinile sale sunt:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

Suma rădăcinilor este

$x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{a}}$.

Produsul lor este

$x_{1}x_{2}={\frac {(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}})(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}})}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}$.

Rezultă astfel formulele lui Viète:

• $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$
• $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$.

Formarea ecuației cunoscând soluțiile

Dacă se cunosc rădăcinile $x_{1}$ și $x_{2}$, ecuația de gradul al doilea se poate scrie sub forma:

$(x-x_{1})(x-x_{2})=0$

Dezvoltând parantezele, se obține:

$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=0$.

Notând

 $S=x_{1}+x_{2}$ și $P=x_{1}x_{2}$

Ecuația devine: $x^{2}-Sx+P=0$.

În forma generală $ax^{2}+bx+c=0$, împărțind prin $a$, se obține

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$,

iar prin comparație cu forma anterioară rezultă

• $S=-{\frac {b}{a}}$
• $P={\frac {c}{a}}$.

Observație

Dacă $x_{1}$ și $x_{2}$ sunt soluțiile reale ale ecuației

$ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0,$

atunci polinomul se poate scrie sub forma:

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).$

Această factorizare este utilă în studiul ecuațiilor și în transformări algebrice.

Rezolvarea sistemelor de ecuații de forma $x+y=s$, $xy=p$

Un sistem de forma

${\begin{cases}x+y=s\\xy=p\end{cases}}$, se numește sistem simetric în $x$ și $y$.

El poate fi rezolvat prin metoda substituției, dar o metodă mai rapidă este folosirea formulelor lui Viète. Se consideră ecuația de gradul al doilea: $t^{2}-st+p=0$.

Dacă rădăcinile ei sunt $t_{1}$ și $t_{2}$, atunci soluțiile sistemului sunt perechile

• $(t_{1},t_{2})$
• $(t_{2},t_{1})$, când $t_{1}\neq t_{2}$.

Dacă $t_{1}=t_{2}$, sistemul are o singură soluție de forma $(t_{1},t_{1})$.

În practică, multe sisteme de ecuații se pot reduce, prin transformări echivalente, la un sistem de acest tip.

Exemplu

Se consideră sistemul în care suma numerelor este $3$ și produsul lor este $-10$:

${\begin{cases}x+y=3\\xy=-10\end{cases}}$

Ecuația asociată este: $t^{2}-3t-10=0$.

Aceasta are rădăcinile $t_{1}=-2$ și $t_{2}=5$. Prin urmare,

$S=\{(-2,5),(5,-2)\}$.

Semnul soluțiilor ecuației de gradul al doilea

Fără a rezolva explicit ecuația, semnul rădăcinilor reale poate fi precizat folosind relațiile lui Viète. Dacă

• :$x_{1}+x_{2}=S$

• :$x_{1}x_{2}=P,$ atunci:

Condiții asupra lui $S$ și $P$	Semnul rădăcinilor reale
$P>0$, $S>0$	$x_{1}>0$, $x_{2}>0$
$P>0$, $S<0$	$x_{1}<0$, $x_{2}<0$
$P<0$, $S>0$	$x_{1}<0$, $x_{2}>0$ și $|x_{1}|<|x_{2}|$
$P<0$, $S<0$	$x_{1}<0$, $x_{2}>0$ și $|x_{1}|>|x_{2}|$
$P<0$, $S=0$	$x_{1}<0$, $x_{2}>0$ și $|x_{1}|=|x_{2}|$
$P=0$, $S>0$	$x_{1}=0$, $x_{2}>0$
$P=0$, $S<0$	$x_{1}=0$, $x_{2}<0$
$P=0$, $S=0$	$x_{1}=x_{2}=0$

Exemplu

Pentru ecuația

$4x^{2}-7x+3=0$, formulele lui Viète dau:

• $x_{1}+x_{2}={\frac {7}{4}}$
• $x_{1}x_{2}={\frac {3}{4}}$.

Deoarece suma și produsul sunt pozitive, rădăcinile reale, dacă există, sunt pozitive.

Generalizarea la polinoame de ordin superior

Pentru un polinom de gradul $n$,

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}$, cu $a_{n}\neq 0$, 

și rădăcinile $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$, relațiile lui Viète au forma:

• $x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}$,

• $\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}$,

• $\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}=-{\frac {a_{n-3}}{a_{n}}}$,

În general, coeficienții polinomului sunt determinați de sumele simetrice elementare ale rădăcinilor.

Pentru produsul tuturor rădăcinilor se obține:

• $x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}$. - aceasta este forma generală a formulelor lui Viète.

Bibliografie

• "Viète theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• „Matematica TC+CD” - manual de clasa a IX-a, I.V. Maftei, A.V. Mihai, M.A. Nicolescu, C.P. Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN, Ed. NEDION, București, 2004
• „Matematica TC+CD” - manual de clasa a IX-a, M. Ganga, Ed. MATHPRESS, Ploiești, 2008

Vezi și

• François Viète
• Ecuație de gradul al doilea
• Polinom
• Coeficient
• Algebră