Ecuația funcțională exponențială

ECUAȚIA FUNCȚIONALĂ EXPONENȚIALĂ

Definiție: Se numește ecuație funcțională exponențială problema determinării tuturor funcțiilor $f:\mathbb {R} \;\rightarrow \;\mathbb {R} \;$ care pentru orice $x,y\in \mathbb {R} \;$ verifică relația $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$.

Exemplul 1. Funcțiile continue $f:\mathbb {R} \;\rightarrow \;\mathbb {R} \;$ care pentru orice $x,y\in \mathbb {R} \;$ verifică relația $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$.

Soluție: Fie $t\in \mathbb {R} \;$ Pentru $x={\frac {t}{2}}=y$ obținem relația: $f(t)=f\left({\frac {t}{2}}+{\frac {t}{2}}\right)={f\left({\frac {t}{2}}\right)}^{2}\geq 0$. Dacă există $s\in \mathbb {R} \;$ astfel încât $f(s)=0$, atunci pentru orice $t\in \mathbb {R} \;$ avem că $f(t)=f(t-s+s)=f(t-s)\cdot f(s)=0$. Din aceste relații deducem că o funcție $f:\mathbb {R} \;\rightarrow \;\mathbb {R} \;$ cu proprietățile din enunț sau este identic nulă sau $f(t)>0$ pentru orice $t\in \mathbb {R} \;$. Analizăm cazul $f(t)>0$ pentru orice $t\in \mathbb {R} \;$.

În acest caz considerăm funcția $g:\mathbb {R} \;\rightarrow \;\mathbb {R} \;$ definită pentru orice $x\in \mathbb {R} \;$  prin $g(x)=\ln {f(x)}$. 

Fie $x,y\in \mathbb {R} \;$. Atunci $g(x+y)=\ln {f(x)f(y)}=\ln {f(x)}+\ln {f(y)}=g(x)+g(y)$. Funcția $g:\mathbb {R} \;\rightarrow \;\mathbb {R} \;$ fiind continuăși aditivă are proprietatea că $g(x)=x\cdot g(1)$, pentru orice $x\in \mathbb {R} \;$. Observăm că $g(1)=\ln {f(1)}$ sau echivalent $f(1)=e^{(g(1))}$.
În concluzie, pentru orice$x,y\in \mathbb {R} \;$ avem că $f(x)=e^{g(x)}=e^{x\cdot g(1)}=(e^{g(1)})^{x}={f(1)}^{x}$.

Exemplul 2. Funcțiile continue $f:\mathbb {R} \;\rightarrow \;\mathbb {R} \;$ care pentru orice $x,y\in \mathbb {R} \;$ verifică relația $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)-x\cdot f(y)-y\cdot f(x)+xy+x+y$.

Soluție: Fie $x,y\in \mathbb {R} \;$. Din enunț rezultă că $f(x+y)-(x+y)=(f(x)-x)\cdot (f(y)-y)$. Considerăm $g:\mathbb {R} \;\rightarrow \;\mathbb {R} \;$ definită pentru orice $t\in \mathbb {R} \;$ prin $g(t)=f(t)-t$. Atunci $g(x+y)=g(x)\cdot g(y)$.

Dacă $g(1)=0$ atunci pentru orice $x\in \mathbb {R} \;$ avem că $g(x)=g(1+x-1)=g(1)\cdot g(x-1)=0\cdot g(x-1)=0$.
În acest caz $f(t)=t$ pentru orice $t\in \mathbb {R} \;$. Presupunem că $g(1)\neq \;0$. Atunci $0\neq \;g(1)=g\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)=g\left({\frac {1}{2}}\right)\cdot g\left({\frac {1}{2}}\right)={g\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}>0$. În plus, din continuitatea funcției $f:\mathbb {R} \;\rightarrow \;\mathbb {R} \;$ rezultă continuitatea funcției $g:\mathbb {R} \;\rightarrow \;\mathbb {R} \;$ . Fie $t\in \mathbb {R} \;$. Rezultă că $g(t)={g(1)}^{t}={(f(1)-1}^{t}$. Prin urmare, $f(t)=t+f(t)=t+{f(1)-1}^{t}$.

Bibliografie

1. M. O. Drimbe, 200 de ecuații funcționale pe N,Z,Q, Editura GIL, Zalău, 2003, ISBN 973-9417-10-8
2. A. Engel, Probleme de matematică. Strategii de rezolvare, Editura GIL, Zalău, 2006, ISBN 973-9417-65-5