ECUAȚIA FUNCȚIONALĂ EXPONENȚIALĂ
Definiție: Se numește ecuație funcțională exponențială problema determinării tuturor funcțiilor
care pentru orice
verifică relația
.
Exemplul 1. Funcțiile continue
care pentru orice
verifică relația
.
Soluție: Fie
Pentru
obținem relația:
. Dacă există
astfel încât
, atunci pentru orice
avem că
. Din aceste relații deducem că o funcție
cu proprietățile din enunț sau este identic nulă sau
pentru orice
. Analizăm cazul
pentru orice
.
În acest caz considerăm funcția
definită pentru orice
prin
.
Fie
. Atunci
.
Funcția
fiind continuăși aditivă are proprietatea că
, pentru orice
. Observăm că
sau echivalent
.
În concluzie, pentru orice
avem că
.
Exemplul 2. Funcțiile continue
care pentru orice
verifică relația
.
Soluție: Fie
. Din enunț rezultă că
.
Considerăm
definită pentru orice
prin
. Atunci
.
Dacă
atunci pentru orice
avem că
.
În acest caz
pentru orice
. Presupunem că
. Atunci
.
În plus, din continuitatea funcției
rezultă continuitatea funcției
. Fie
.
Rezultă că
. Prin urmare,
.
- M. O. Drimbe, 200 de ecuații funcționale pe N,Z,Q, Editura GIL, Zalău, 2003, ISBN 973-9417-10-8
- A. Engel, Probleme de matematică. Strategii de rezolvare, Editura GIL, Zalău, 2006, ISBN 973-9417-65-5