Vizualizare sursă pentru „Convoluție”

[[File:comparison convolution correlation.svg|thumb|upright=1.7|Comparație vizuală între convoluție, {{Ill-wd|Q1302587|3=corelație}}, și {{Ill-wd|Q786970|3=autocorelație}}. Pentru operațiile ce implică funcția {{mvar|f}}, și presupunând că înălțimea lui {{mvar|f}} este 1, valoarea rezultatului în 5 puncte diferite este indicață prin aria umbrită de sub fiecare punct. Simetria lui {{mvar|f}} este motivul pentru care <math>f \star g</math> și <math>g*f</math> sunt identice în acest exemplu.
<!--Note that g∗f and f∗g would be identical even without the symmetry of f, so please don't change the statement above.-->]]

În [[matematică]] (mai precis în [[Analiză funcțională|analiza funcțională]]), '''convoluția''' este o [[Operație (matematică)|operație matematică]] pe două [[Funcție|funcții]] ({{Mvar|f}} și {{Mvar|g}}) care produce o a treia funcție (<math>f*g</math>) numită ''produs de convoluție'' care exprimă modul în care forma uneia este modificată de cealaltă. Este definită ca [[Integrală|integrala]] produsului dintre cele două funcții după ce una este reflectată în jurul axei y și deplasată. Alegerea funcției care este reflectată și deplasată înainte de integrală nu modifică rezultatul integralei (vezi [[Convoluție#Comutativitate|comutativitate]]). Integrala este evaluată pentru toate valorile deplasării, producând funcția de convoluție.

Unele caracteristici ale convoluției sunt similare cu corelarea încrucișată: pentru funcțiile cu valori reale, ale unei variabile continue sau discrete, convoluția (<math>f*g</math>) diferă de corelare încrucișată (<math>f \star g</math>) numai prin aceea că fie {{Math|''f''(''x'')}} fie {{Math|''g''(''x'')}} se reflectă în jurul axei y în convoluție; deci este o corelație încrucișată între {{Math|''g''(−''x'')}} și {{Math|''f''(''x'')}}, sau {{Math|''f''(−''x'')}} și {{Math|''g''(''x'')}}.{{Efn-ua|Printre motivele pentru care se face reflecția se numără:

*Este necesar să se implementeze echivalentul produsului punct cu punct al transformatelor Fourier ale lui {{mvar|f}} și {{mvar|g}}.
*Când convoluția este văzută ca {{Ill-wd|Q1088984|3=medie ponderată în mișcare}}, funcția pondere, {{math|''g''(−''x'')}}, este adesea specificată în termeni de altă funcție, {{math|''g''(''x'')}}, denumită {{Ill-wd|Q1139726|3=răspunsul la impuls}} al unui {{Ill-wd|Q1808960|3=sistem liniar invariant în timp}}.}}&nbsp;Pentru funcțiile cu valori complexe, operatorul de corelare încrucișată este [[Operator adjunct|adjunctul]] operatorului de convoluție.

Convoluția are domenii de aplicabilitate care includ [[Probabilitate|probabilitățile]], [[Statistică|statistica]], [[Acustică|acustica]], [[Spectroscopie|spectroscopia]], [[procesarea semnalelor]] și {{Ill-wd|Q1070689|3=prelucrarea imaginilor}}, [[Geofizică|geofizica]], [[Inginerie|ingineria]], [[Fizică|fizica]], {{Ill-wd|Q844240|3=vederea computerizată}} și [[Ecuație diferențială|ecuațiile diferențiale]].<ref>{{Citat revistă|nume=Bahri|nume2=Ashino|nume3=Vaillancourt|prenume=Mawardi|prenume2=Ryuichi|prenume3=Rémi|dată=2013|titlu=Convolution Theorems for Quaternion Fourier Transform: Properties and Applications|urlarhivă=https://web.archive.org/web/20201021001150/https://core.ac.uk/download/pdf/25493611.pdf|url=https://core.ac.uk/download/pdf/25493611.pdf|journal=Abstract and Applied Analysis|volum=2013|pagini=1–10|doi=10.1155/2013/162769|access-date=2022-11-11|archive-date=2020-10-21}}</ref>

Convoluția poate fi definită pentru funcții din [[Spațiu euclidian|spațiul euclidian]] și alte [[Grup (matematică)|grupuri]] (ca [[structură algebrică|structuri algebrice]]).  De exemplu, [[Funcție periodică|funcțiile periodice]], cum ar fi {{Ill-wd|Q1440048|3=transformata Fourier în timp discret}}, pot fi definite pe un [[cerc]] și convolutate prin {{Ill-wd|Q245450|3=convoluție periodică}}. O ''convoluție discretă'' poate fi definită pentru funcții din mulțimea [[Număr întreg|numerelor întregi]].

Generalizările convoluției au aplicații în domeniul [[Analiză numerică|analizei numerice]] și al {{Ill-wd|Q2004891|3=algebrei liniare numerice}}, precum și în proiectarea și implementarea filtrelor de {{Ill-wd|Q117785|3=răspuns finit la impuls}} în prelucrarea semnalelor.

Calculul [[Funcție inversă|inversului]] operației de convoluție este cunoscut sub numele de {{Ill-wd|Q1183700|3=deconvoluție}}.

== Definiție ==
Operația de convoluție a lui {{Mvar|f}} și {{Mvar|g}} se scrie {{Math|''f''∗''g''}}, notând operatorul cu simbolul {{Math|∗}}.{{Efn-ua|Simbolul {{unichar|2217|operatorului asterisc}} este diferit de {{unichar|2A|asterisc}}, care este adesea utilizat pentru a nota conjugata complexă.}} Este definită ca integrala produsului dintre cele două funcții după ce una este reflectată în jurul axei y și deplasată. Ca atare, ea este un tip de {{Ill-wd|Q877802|3=transformare integrală}}:

: <math>(f * g)(t) := \int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau.</math>

O definiție echivalentă este (vezi [[convoluție|comutativitatea]]):

: <math>(f * g)(t) := \int_{-\infty}^\infty f(t - \tau) g(\tau)\, d\tau.</math>

Mai sus se folosește simbolul {{Mvar|t}} , dar nu este neapărat nevoie ca variabila să reprezinte domeniul timp. În fiecare ''t'', formula de convoluție poate fi descrisă ca aria de sub funcția {{Math|''f''(''τ'')}} ponderată de funcția {{Math|''g''(−''τ'')}} deplasată cu cantitatea {{Mvar|t}}. Pe măsură ce {{Mvar|t}} se modifică, funcția de ponderare {{Math|''g''(''t'' − ''τ'')}} pune accentul pe diferite părți ale funcției de intrare {{Math|''f''(''τ'')}}; Dacă {{Mvar|t}} este o valoare pozitivă, atunci {{Math|''g''(''t'' − ''τ'')}} este egal cu {{Math|''g''(−''τ'')}} care alunecă sau este deplasat de-a lungul axei <math>\tau</math> spre dreapta (spre {{Math|+∞}} ) cu cantitatea {{Mvar|t}}, în timp ce dacă {{Mvar|t}} este o valoare negativă, atunci {{Math|''g''(''t'' − ''τ'')}} este egal cu {{Math|''g''(−''τ'')}} care alunecă sau este deplasat spre stânga (spre {{Math|-∞}} ) cu cantitatea {{Mvar|{{!}}t{{!}}}}.

Pentru funcțiile {{Mvar|f}}, {{Mvar|g}} cu {{Ill-wd|Q1136376|3=suport}} numai pe {{Math|[0, ∞]}} (adică zero pentru argumente negative), limitele de integrare pot fi trunchiate, rezultând:

: <math>(f * g )(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau \quad \ \text{pentru } f, g : [0, \infty) \to \mathbb{R}.</math>

Pentru formularea multidimensională a convoluției, vezi ''domeniul de definiție'' (mai jos).

=== Notație ===
O convenție de notație inginerească comună este:<ref>
{{Citat carte|nume=Smith|prenume=Stephen W|titlu=The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing|dată=1997|editură=California Technical Publishing|isbn=0-9660176-3-3|ediție=1|url-capitol=http://www.dspguide.com/ch13/2.htm|data-accesării=22 April 2016|capitol=13.Convolution}}</ref>

: <math> f(t) * g(t) \mathrel{:=} \underbrace{\int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau}_{(f * g )(t)},</math>

care trebuie interpretat cu atenție pentru a evita confuzia. De exemplu, {{Math|''f''(''t'')∗''g''(''t'' − ''t''<sub>0</sub>)}} este echivalent cu {{Math|(''f''∗''g'')(''t'' − ''t''<sub>0</sub>)}}, dar {{Math|''f''(''t'' − ''t''<sub>0</sub>)∗''g''(''t'' − ''t''<sub>0</sub>)}} este de fapt echivalent cu {{Math|(''f''∗''g'')(''t'' − 2''t''<sub>0</sub>)}}.<ref>{{Citat carte|nume=Irwin|prenume=J. David|legătură-autor=J. David Irwin|titlu=The Industrial Electronics Handbook|dată=1997|editură=CRC Press|locul-publicării=Boca Raton, FL|isbn=0-8493-8343-9|pagină=75|ediție=1|capitol=4.3}}</ref>

=== Relațiile cu alte transformări ===
Date două funcții <math> f(t) </math> și <math> g(t) </math> cu {{Ill-wd|Q1785576|3=transformări Laplace bilaterale}} (transformată Laplace cu două părți)

: <math> F(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-su} \ f(u) \ \text{d}u </math>

și

: <math> G(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-sv} \ g(v) \ \text{d}v </math>

respectiv operația de convoluție <math> (f * g)(t) </math> poate fi definită ca [[Transformarea Laplace inversă|transformata Laplace inversă]] a produsului lui <math> F(s) </math> și <math> G(s) </math>.<ref>{{Citat web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/video-lectures/lecture-21-convolution-formula/|nume=Differential Equations (Spring 2010)|titlu=Lecture 21: Convolution Formula|publisher=MIT|accessdate=22 December 2021|first1=MIT 18.03|lucrare=MIT Open Courseware}}</ref><ref>{{Citat web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-equations-fall-2011/unit-iii-fourier-series-and-laplace-transform/transfer-system-and-weight-functions-greens-formula/MIT18_03SCF11_s30_5text.pdf|titlu=18.03SC Differential Equations Fall 2011|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150906102242/http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-equations-fall-2011/unit-iii-fourier-series-and-laplace-transform/transfer-system-and-weight-functions-greens-formula/MIT18_03SCF11_s30_5text.pdf|lucrare=Green’s Formula, Laplace Transform of Convolution|archivedate=2015-09-06}}</ref> Mai precis,

: <math>
\begin{align}
F(s) \cdot G(s) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-su} \ f(u) \ \text{d}u \cdot \int_{-\infty}^\infty e^{-sv} \ g(v) \ \text{d}v \\
&= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-s(u + v)} \ f(u) \ g(v) \ \text{d}u \ \text{d}v
\end{align}
</math>

Lăsa <math> t = u + v </math> astfel încât

: <math>
\begin{align}
F(s) \cdot G(s) &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-st} \ f(u) \ g(t - u) \ \text{d}u \ \text{d}t \\
&= \int_{-\infty}^\infty e^{-st} \underbrace{\int_{-\infty}^\infty f(u) \ g(t - u) \ \text{d}u}_{(f * g)(t)} \ \text{d}t \\
&= \int_{-\infty}^\infty e^{-st} (f * g)(t) \ \text{d}t
\end{align}
</math>

Se observă că <math> F(s) \cdot G(s) </math> este transformata Laplace bilaterală a lui <math> (f * g)(t) </math>. O derivare similară se poate face folosind [[Transformată Laplace|transformata Laplace unilaterală]].

Operația de convoluție descrie și ieșirea (în raport cu intrarea) unei clase importante de operații cunoscute sub numele de ''[[LTI systems theory|invariante liniare în timp]]'' (LTI). În ceea ce privește [[Transformata Fourier|transformatele Fourier]] ale intrării și ieșirii unei operațiuni LTI, nu sunt create noi componente de frecvență. Cele existente sunt doar modificate (amplitudinea și/sau faza). Cu alte cuvinte, transformata de ieșire este produsul punctual al transformării de intrare cu o a treia transformare (cunoscută sub numele de [[funcție de transfer]]). Vezi {{Ill-wd|Q2638931|3=teorema de convoluție}} pentru o derivare a acelei proprietăți de convoluție. În schimb, convoluția poate fi derivată ca transformată Fourier inversă a produsului pe puncte a două transformări Fourier.

== Explicație vizuală ==
{| class="wikitable"
|{{Ordered list|Se exprimă fiecare funcție în raport cu o {{Ill-wd|Q935944|3=variabilă dummy}} <math>\tau.</math>|Se reflectă una din funcții: <math>g(\tau)</math> → <math>g(-\tau).</math>|Se adaugă o deplasare în timp {{mvar|t}}, care permite ca <math>g(-\tau)</math> să parcurgă axa <math>\tau</math>. Dacă {{mvar|t}} este o valoare pozitivă, atunci <math>g(t-\tau)</math> este egal cu <math>g(-\tau)</math> care parcurge sau este deplasat de-a lungul axei <math>\tau</math>-axis spre dreapta (spre {{math|+∞}}) cu {{mvar|t}}. Dacă {{mvar|t}} este negativ, atunci <math>g(t-\tau)</math> este egal cu <math>g(-\tau)</math> care parcurge sau este deplasat spre stânga (spre {{math|-∞}}) cu {{!}}{{mvar|t}}{{!}}.|Se începe cu {{mvar|t}} la {{math|−∞}} și se deplasează până la {{math|+∞}}. Când cele două funcții se intersectează, se calculează integrala produsului lor. Cu alte cuvinte, la momentul {{mvar|t}}, se calculează aria de sub graficul funcției <math>f(\tau)</math> ponderată cu funcția pondere <math>g(t - \tau).</math>}} Forma de undă rezultată (nu este prezentată aici) este convoluția funcțiilor {{Mvar|f}} și {{Mvar|g}}.

Dacă {{Math|''f''(''t'')}} este un [[Funcția lui Dirac|impuls unitar]], rezultatul acestui proces este pur și simplu {{Math|''g''(''t'')}}. Formal:

: <math>\int_{-\infty}^\infty \delta(\tau) g(t - \tau)\, d\tau = g(t)</math>
|[[File:Convolution3.svg|center|452x452px]]
|-
| În acest exemplu, „imulsul” de culoare roșie <math>\ g(\tau),</math> este o funcție uniformă <math>(\ g(-\tau) = g(\tau)\ ),</math> deci convoluția este echivalentă cu corelația. Un instantaneu al acestui „film” arată funcțiile <math>g(t - \tau)</math> și <math>f(\tau)</math> (în albastru) pentru o anumită valoare a parametrului <math>t,</math> care este definită în mod arbitrar ca distanța de-a lungul axei <math>\tau</math> din punctul <math>\tau = 0</math> până la centrul impulsului roșu. Cantitatea de galben este aria produsului <math>f(\tau) \cdot g(t - \tau),</math> calculat prin integrala de convoluție/corelație. Filmul este creat prin schimbarea continuă a lui <math>t</math> și recalcularea integralei. Rezultatul (afisat cu negru) este o functie de <math>t,</math> dar este trasat pe aceeași axă ca <math>\tau,</math> pentru comoditate și comparație.
|[[File:Convolution of box signal with itself2.gif|475px]]
|-
| În această reprezentare, <math>f(\tau)</math> ar putea reprezenta răspunsul unui circuit RC la un impuls îngust care apare la <math>\tau = 0.</math> Cu alte cuvinte, dacă <math>g(\tau) = \delta(\tau),</math> rezultatul convoluției este doar <math>f(t).</math> Dar când <math>g(\tau)</math> este impulsul mai larg (în roșu), răspunsul este o versiune „rotunjită” a lui <math>f(t).</math> Începe la <math>t = -0.5,</math> pentru că s-a definit <math>t</math> ca distanța de la axa <math>\tau = 0</math> spre ''centrul'' impulsului larg (și nu până la marginea anterioară).
|[[File:Convolution of spiky function with box2.gif|475px]]
|}

== Evoluție istorică ==
Una dintre cele mai vechi utilizări ale integralei de convoluție a apărut în calculul efectuat de către [[Jean le Rond D'Alembert|D'Alembert]] al {{Ill-wd|Q1137206|3=teoremei lui Taylor}} în {{Lang|fr|Recherches sur différents points importants du système du monde}}'','' publicată în 1754.<ref>Dominguez-Torres, p 2</ref>

De asemenea, o expresie de tipul:

: <math>\int f(u)\cdot g(x - u) \, du</math>

este folosită de {{Ill-wd|Q983382|3=Sylvestre François Lacroix}} la pagina 505 a cărții sale intitulată ''Tratat despre diferențe și serii'', care este ultimul dintre cele 3 volume ale seriei enciclopedice: {{Lang|fr|Traité du calcul différentiel et du calcul intégral}}, {{Lang|fr|Chez Courcier|italic=nu}}, Paris, 1797–1800.<ref>Dominguez-Torres, p 4</ref> Curând după aceea, operația de convoluție apare în lucrările lui [[Pierre-Simon de Laplace|Pierre Simon Laplace]], [[Joseph Fourier|Jean-Baptiste Joseph Fourier]], [[Siméon Denis Poisson]] și alții. Termenul în sine a intrat în uz pe scară largă abia în anii 1950 sau 60. Înainte de aceasta, era uneori cunoscut sub numele de {{Lang|de|Faltung}} (care înseamnă ''pliere'' în [[Limba germană|germană]]), ''produs de compoziție'', ''integrală de superpoziție'' și ''integrală a lui Carson''.<ref>
{{Citation|last=R. N. Bracewell|title=The Early Years of Radio Astronomy: Reflections Fifty Years After Jansky's Discovery|page=172|year=2005|editor-last=W. T. Sullivan|chapter=Early work on imaging theory in radio astronomy|chapter-url=https://books.google.com/books?id=v2SqL0zCrwcC&pg=PA172|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-61602-7}}</ref> Apare încă din 1903, deși definiția este destul de necunoscută în utilizările mai vechi.<ref>
{{Citation|last=John Hilton Grace and Alfred Young|title=The algebra of invariants|url={{Google books|NIe4AAAAIAAJ|page40|plainurl=yes}}|page=40|year=1903|publisher=Cambridge University Press}}</ref><ref>
{{Citation|last=Leonard Eugene Dickson|title=Algebraic invariants|url={{Google books|LRGoAAAAIAAJ|page=85|plainurl=yes}}|page=85|year=1914|publisher=J. Wiley}}</ref>

Operația:

: <math>\int_0^t \varphi(s)\psi(t - s) \, ds,\quad 0 \le t < \infty,</math>

este un caz particular al produselor de compoziție analizate de matematicianul italian [[Vito Volterra]] în 1913.<ref>
Conform
[Lothar von Wolfersdorf (2000), "Einige Klassen quadratischer Integralgleichungen",
''Sitzungsberichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig'',
''Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse'', volumul '''128''', numerele 2, 6–7], sursa este Volterra, Vito (1913),
„{{lang|fr|italic=no|Leçons sur les fonctions de linges}}”. Gauthier-Villars, Paris 1913.
</ref>

== Convoluția circulară ==
Când o funcție {{Math|''g''{{sub|''T''}}}} este periodică, cu perioadă {{Mvar|T}}, atunci pentru funcțiile {{Mvar|f}}, pentru care există {{Math|''f'' ∗ ''g''{{sub|''T''}}}}, convoluția este și periodică și identică cu:

: <math>(f * g_T)(t) \equiv \int_{t_0}^{t_0+T} \left[\sum_{k=-\infty}^\infty f(\tau + kT)\right] g_T(t - \tau)\, d\tau,</math>

unde {{Math|''t''<sub>0</sub>}} este ales arbitrar. Suma se numește {{Ill-wd|Q7168644|3=suma periodică}} a funcției {{Mvar|f}}.

Când {{Math|''g''{{sub|{{sub|''T''}}}}}} este o sumă periodică a unei alte funcții, {{Mvar|g}}, atunci {{Math|''f'' ∗ ''g''{{sub|''T''}}}} se numește convoluție ''circulară'' sau ''ciclică'' a lui {{Mvar|f}} cu {{Mvar|g}}.

Mai mult, dacă suma periodică de mai sus este înlocuită cu {{Math|''f''{{sub|''T''}}}}, operația se numește convoluție ''periodică'' a lui {{Math|''f''{{sub|''T''}}}} și {{Math|''g''{{sub|''T''}}}}.

== Convoluție discretă ==
[[File:2D Convolution Animation.gif|thumb|right|Animație cu convoluția 2D discretă]]
Pentru funcțiile cu valori complexe {{Math|''f'', ''g''}} definite pe mulțimea '''Z''' a numerelor întregi, ''convoluția discretă'' a lui {{Mvar|f}} cu {{Mvar|g}} este dată de:<ref>{{Harvnb|Damelin|Miller|2011|p=219}}</ref>

: <math>(f * g)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty f[m] g[n - m],</math>

sau echivalent prin:

: <math>(f * g)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty f[n-m] g[m].</math>

Convoluția a două șiruri finite este definită prin extinderea șirurilor la funcții cu suport finit pe mulțimea numerelor întregi. Când șirurile sunt coeficienții a două [[Polinom|polinoame]], atunci coeficienții produsului obișnuit al celor două polinoame sunt convoluția celor două șiruri inițiale. Acesta este cunoscut ca {{Ill-wd|Q1051404|3=produsul Cauchy}} al coeficienților șirurilor.

Astfel, atunci când {{Mvar|g}} are suport finit în mulțimea <math>\{-M,-M+1,\dots,M-1,M\}</math> (reprezentând, de exemplu, un {{Ill-wd|Q117785|3=răspuns la impuls finit}}), poate fi utilizată o sumă finită:<ref>{{Citat carte|nume=Press|prenume=William H.|nume2=Flannery|prenume2=Brian P.|nume3=Teukolsky|prenume3=Saul A.|nume4=Vetterling|prenume4=William T.|titlu=Numerical Recipes in Pascal|an=1989|editură=Cambridge University Press|isbn=0-521-37516-9|pagină=[https://archive.org/details/numericalrecipes0000unse/page/450 450]|url=https://archive.org/details/numericalrecipes0000unse/page/450}}</ref>

: <math>(f* g)[n]=\sum_{m=-M}^M f[n-m]g[m].</math>

=== Convoluție circulară discretă ===
Când o funcție {{Math|''g''{{sub|''T''}}}} este periodică, cu perioadă {{Mvar|T}}, atunci pentru funcțiile {{Mvar|f}}, pentru care există {{Math|''f'' ∗ ''g''{{sub|''T''}}}}, convoluția este și periodică și identică cu:

: <math>(f * g_N)[n] \equiv \sum_{m=0}^{N-1} \left(\sum_{k=-\infty}^\infty {f}[m + kN]\right) g_N[n - m].</math>

Suma după {{Mvar|k}} se numește {{Ill-wd|Q7168644|3=sumă periodică}} a funcției {{Mvar|f}} .

Dacă {{Math|''g''{{sub|{{sub|''N''}}}}}} este o sumă periodică a unei alte funcții, {{Mvar|g}}, atunci {{Math|''f''∗''g''{{sub|{{sub|''N''}}}}}} se numește {{Ill-wd|Q245450|3=convoluție circulară}} a lui {{Mvar|f}} și {{Mvar|g}} .

Când duratele diferite de zero ale lui {{Mvar|f}} și {{Mvar|g}} sunt limitate la intervalul {{Math|[0, ''N'' − 1]}} ,&nbsp;{{Math|''f''∗''g''{{sub|{{sub|''N''}}}}}} se reduce la aceste forme comune:{{NumBlk|:|<math>\begin{align}
  \left(f * g_N\right)[n] &= \sum_{m=0}^{N-1} f[m]g_N[n - m] \\
    &= \sum_{m=0}^n f[m]g[n - m] + \sum_{m=n+1}^{N-1} f[m]g[N + n - m] \\[2pt]
    &= \sum_{m=0}^{N-1} f[m]g[(n - m)_\bmod{N}] \\[2pt]
    &\triangleq \left(f *_N g\right)[n]
\end{align}</math>|{{EquationRef|Eq.1}}}}Notația ( {{Math|''f'' ∗{{sub|{{sub|''N''}}}} ''g''}} ) pentru ''convoluția ciclică'' reprezintă convoluția peste {{Ill-wd|Q245462|3=grupul ciclic}} al [[Modular arithmetic|numerelor întregi modulo {{Math|''N''}}]] .

Convoluția circulară apare cel mai adesea în contextul convoluției rapide cu un algoritm pentru {{Ill-wd|Q623950|3=transformarea Fourier rapidă}} (FFT).

=== Algoritmi rapizi de convoluție ===
În multe situații, convoluțiile discrete pot fi convertite în convoluții circulare, astfel încât transformările rapide care au proprietatea de convoluție să poată fi utilizate pentru a implementa calculul. De exemplu, convoluția șirurilor de cifre este operația centrală din [[Înmulțire (matematică)|multiplicarea]] numerelor cu mai multe cifre, care poate fi, prin urmare, implementată eficient cu tehnici de transformare ({{Harvnb|Knuth|1997|loc=§4.3.3.C}};{{Harvnb|von zur Gathen|Gerhard|2003|loc=§8.2}}).

Eq.1 necesită {{Mvar|N}} operațiuni aritmetice pentru fiecare valoare produsă și {{Math|''N''<sup>2</sup>}} operații pentru {{Mvar|N}} valori. Această performanță poate fi redusă semnificativ cu oricare din multiplii algoritmi rapizi. În [[prelucrarea semnalelor digitale]] și în alte aplicații, algoritmii rapizi de convoluție sunt folosiți de regulă pentru a reduce costul convoluției la o complexitate de O({{Mvar|N}} log {{Mvar|N}}).

Cei mai obișnuiți algoritmi rapizi de convoluție folosesc algoritmi de {{Ill-wd|Q623950|3=transformare Fourier rapidă}} (FFT) prin {{Ill-wd|Q2878|3=teorema de convoluție circulară}}. Mai exact, {{Ill-wd|Q245450|3=convoluția circulară}} a două șiruri de lungime finită se găsește luând FFT a fiecărui șir, înmulțind punctual și apoi efectuând FFT inversă. Convoluțiile de tipul definit mai sus sunt apoi implementate eficient folosind acea tehnică în combinație cu extensia zero și/sau eliminarea unor porțiuni din datele de ieșire. Alți algoritmi rapizi de convoluție, cum ar fi {{Ill-wd|Q1938391|3=algoritmul Schönhage-Strassen}} sau transformata Mersenne,<ref name="Rader1972">{{Citat revistă|nume=Rader|prenume=C.M.|dată=December 1972|titlu=Discrete Convolutions via Mersenne Transforms|journal=IEEE Transactions on Computers|volum=21|număr=12|pagini=1269–1273|doi=10.1109/T-C.1972.223497}}</ref> folosesc transformări Fourier rapide în alte [[Inel (matematică)|inele]].

Dacă un șir este mult mai lung decât celălalt, extinderea zero a secvenței mai scurte și convoluția circulară rapidă nu sunt metodele cele mai eficiente din punct de vedere computațional.<ref name="Madisetti1999">{{Citat carte|nume-editor=Madisetti|prenume-editor=Vijay K.|capitol=Fast Convolution and Filtering|prenume=Ivan W.|nume=Selesnick|prenume2=C. Sidney|nume2=Burrus|titlu=Digital Signal Processing Handbook|an=1999|editură=CRC Press|isbn=978-1-4200-4563-5|pagină=Section 8}}</ref> Descompunerea șirului mai lung în blocuri și convoluția fiecărui bloc permite algoritmi mai rapizi, cum ar fi {{Ill-wd|Q1791834|3=metoda suprapunere-salvare}} și {{Ill-wd|Q1611641|3=metoda suprapunere-adunare}}.<ref name="Juang2004">{{Citat web|url=http://users.ece.gatech.edu/~juang/4270/BHJ4270-21.pdf|nume=Juang|titlu=Lecture 21: Block Convolution|publisher=EECS at the Georgia Institute of Technology|accessdate=17 May 2013|archiveurl=https://web.archive.org/web/20040729204137/http://users.ece.gatech.edu/~juang/4270/BHJ4270-21.pdf|first1=B.H.|archivedate=2004-07-29}}</ref> O metodă de convoluție hibridă care combină algoritmii pe blocuri și {{Ill-wd|Q117785|3=răspunsul finit la impuls}} permite o latență de intrare-ieșire zero, care este utilă pentru calculul convoluției în timp real.<ref name="Gardner1994">{{Citat revistă|nume=Gardner|prenume=William G.|dată=November 1994|titlu=Efficient Convolution without Input/Output Delay|urlarhivă=https://web.archive.org/web/20150408211312/http://www.cs.ust.hk/mjg_lib/bibs/DPSu/DPSu.Files/Ga95.PDF|url=http://www.cs.ust.hk/mjg_lib/bibs/DPSu/DPSu.Files/Ga95.PDF|serie=Paper 3897|journal=Audio Engineering Society Convention 97|access-date=17 May 2013|archive-date=2015-04-08}}</ref>

== Definiție ==
Convoluția a două funcții cu valori complexe pe {{Math|'''R'''<sup>''d''</sup>}} este ea însăși o funcție cu valori complexe pe {{Math|'''R'''<sup>''d''</sup>}}, definită prin:

: <math>(f * g )(x) = \int_{\mathbf{R}^d} f(y)g(x-y)\,dy = \int_{\mathbf{R}^d} f(x-y)g(y)\,dy,</math>

și este bine definită numai dacă {{Mvar|f}} și {{Mvar|g}} scad suficient de rapid la infinit pentru ca integrala să existe. Condițiile de existență a convoluției pot fi problematice, deoarece o explozie a lui {{Mvar|g}} la infinit poate fi ușor compensată printr-o scădere suficient de rapidă în {{Mvar|f}}. Problema existenței poate implica astfel diferite condiții pentru {{Mvar|f}} și {{Mvar|g}}:

=== Funcții cu suport compact ===
Dacă {{Mvar|f}} și {{Mvar|g}} sunt [[Funcție continuă|funcții continue]] cu {{Ill-wd|Q1136376|3=suport compact}}, atunci produsul lor de convoluție lor există și are și el suport compact și este continuu {{Harvard citation|Hörmander|1983}}. Mai general, dacă oricare dintre funcții (să zicem {{Mvar|f}} ) are suport compact și cealaltă este {{Ill-wd|Q1318586|3=local integrabilă}}, atunci produsul de convoluție {{Math|''f''∗''g''}} este bine definit și continuu.

Produsul de convoluție între {{Mvar|f}} și {{Mvar|g}} este bine definit și atunci când ambele funcții sunt local integrabile la pătrat pe {{Math|'''R'''}} și cu suport pe un interval de forma {{Math|[''a'', +∞)}} (sau ambele cu suport pe {{Math|[−∞, ''a'']}}).

=== Funcții integrabile ===
Produsul de convoluție al lui {{Mvar|f}} și {{Mvar|g}} există dacă {{Mvar|f}} și {{Mvar|g}} sunt ambele {{Ill-wd|Q853831|3=funcții integrabile Lebesgue}} în [[Spațiu Lp|{{Math|''L''<sup>1</sup>}}({{Math|'''R'''<sup>''d''</sup>}})]], iar în acest caz {{Math|''f''∗''g''}} este și ea integrabilă {{Harvard citation|Stein|Weiss|1971}}. Aceasta este o consecință a {{Ill-wd|Q1149022|3=teoremei lui Tonelli}}. Aceasta este valabilă și pentru funcțiile din {{Math|''L''<sup>1</sup>}}, în raport cu convoluția discretă sau, mai general, pentru convoluția pe orice grup.

La fel, dacă {{Math|''f'' ∈ ''L''<sup>1</sup>}} ( {{Math|'''R'''<sup>''d''</sup>}} )&nbsp;și&nbsp;{{Math|''g'' ∈ ''L''<sup>''p''</sup>}} ( {{Math|'''R'''<sup>''d''</sup>}} )&nbsp;unde {{Math|1 ≤ ''p'' ≤ ∞}} ,&nbsp;apoi&nbsp;{{Math|''f''∗''g'' ∈ ''L''<sup>''p''</sup>}} ( {{Math|'''R'''<sup>''d''</sup>}} ),&nbsp;și

: <math>\|{f}* g\|_p\le \|f\|_1\|g\|_p.</math>

În cazul particular {{Math|''p'' {{=}} 1}}, aceasta arată că {{Math|''L''<sup>1</sup>}} este o {{Ill-wd|Q806066|3=algebră Banach}} în raport cu operația de convoluție (și egalitatea celor două părți este valabilă dacă {{Mvar|f}} și {{Mvar|g}} sunt nenegative {{ill-wd| Q1139334||aproape peste tot}}).

Mai general, {{Ill-wd|Q30752114|3=inegalitatea lui Young}} implică faptul că convoluția este o aplicație biliniară continuă între spații {{Math|''L''<sup>''p''</sup>}} adecvate. Mai exact, dacă {{Math|1 ≤ ''p'', ''q'', ''r'' ≤ ∞}} satisfac:

: <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}+1,</math>

Când o funcție {{Math|''g''{{sub|{{sub|''N''}}}}}} este periodică, cu perioadă {{Mvar|''N''}}, atunci pentru funcții, {{Mvar|f}}, astfel încât {{Math|''f''∗''g''{{sub|{{sub|''N''}}}}}} există, și convoluția este periodică și identică cu:

: <math>\left\Vert f*g\right\Vert_r\le\left\Vert f\right\Vert_p\left\Vert g\right\Vert_q,\quad f\in\mathcal{L}^p,\ g\in\mathcal{L}^q,</math>

astfel încât convoluția să fie o aplicație biliniară continuă de la {{Math|''L''<sup>''p''</sup>×''L''<sup>''q''</sup>}} la {{Math|''L''<sup>''r''</sup>}}. Inegalitatea Young pentru convoluție este adevărată și în alte contexte (grup circular, convoluție pe {{Math|'''Z'''}}). Inegalitatea anterioară nu este strictă pe dreapta reală: când {{Math|1 < ''p'', ''q'', ''r'' < ∞}}, există o constantă {{Math|''B''<sub>''p'',''q''</sub> < 1}} astfel încât:

: <math>\left\Vert f*g\right\Vert_r\le B_{p,q}\left\Vert f\right\Vert_p\left\Vert g\right\Vert_q,\quad f\in\mathcal{L}^p,\ g\in\mathcal{L}^q.</math>

Valoarea optimă a lui {{Math|''B''<sub>''p'',''q''</sub>}} a fost descoperită în 1975<ref>{{Citat revistă|nume=Beckner|prenume=William|legătură-autor=William Beckner (mathematician)|an=1975|titlu=Inequalities in Fourier analysis|serie=Second Series|journal=Annals of Mathematics|volum=102|număr=1|pagini=159–182|jstor=1970980|doi=10.2307/1970980}}</ref> și independent în 1976,<ref>{{Citat revistă|nume=Brascamp|nume2=Lieb|prenume=Herm Jan|prenume2=Elliott H.|legătură-autor2=Elliott H. Lieb|an=1976|titlu=Best constants in Young's inequality, its converse, and its generalization to more than three functions|journal={{Ill-wd|Q4686387|3=Advances in Mathematics}}|volum=20|număr=2|pagini=151–173|doi=10.1016/0001-8708(76)90184-5}}</ref> vezi {{Ill-wd|Q4957756|3=inegalitatea Brascamp–Lieb}}.

O estimare mai puternică este adevărată cu condiția ca {{Math|1 < ''p'', ''q'', ''r'' < ∞}} :

: <math>\|f* g\|_r\le C_{p,q}\|f\|_p\|g\|_{q,w}</math>

Unde <math>\|g\|_{q,w}</math> este norma [[Spațiu Lp|slabă {{Math|''L''<sup>''q''</sup>}}]]. Convoluția definește și o aplicație biliniară continuă <math>L^{p,w}\times L^{q,w}\to L^{r,w}</math> pentru <math>1< p,q,r<\infty</math>, din cauza inegalității Young slabe:<ref>{{Harvnb|Reed|Simon|1975|loc=IX.4}}</ref>

: <math>\|f* g\|_{r,w}\le C_{p,q}\|f\|_{p,w}\|g\|_{r,w}.</math>

=== Funcții cu scădere rapidă ===
atunci

=== Distribuții ===
Dacă ''f'' este o funcție indefinit derivabilă cu {{Ill-wd|Q1136376|3=suport compact}} și ''g'' este o distribuție, atunci ''f'' ∗ ''g'' este o funcție indefinit derivabilă definită prin

: <math>\int_{\mathbb{R}^d} {f}(y)g(x-y)\,dy = (f*g)(x) \in C^\infty(\mathbb{R}^d) .</math>

Mai general, se poate extinde definiția convoluției într-un mod unic cu <math>\varphi</math> la fel ca ''f'' mai sus, astfel încât proprietatea de asociativitate

: <math>f* (g* \varphi) = (f* g)* \varphi</math>

să rămână valabilă în cazul în care ''f'' este o distribuție, iar ''g'' o distribuție cu suport compact {{Harvard citation|Hörmander|1983|loc=§4.2}}.

=== Măsuri ===
Convoluția oricăror două {{Ill-wd|Q892585|3=măsuri Borel}} ''μ'' și ''ν'' de {{Ill-wd|Q829653|3=variație mărginită}} este măsura <math>\mu*\nu</math> definită de {{Harvard citation|Rudin|1962}}  

: <math>\int_{\mathbf{R}^d} f(x) \, d(\mu*\nu)(x) = \int_{\mathbf{R}^d}\int_{\mathbf{R}^d}f(x+y)\,d\mu(x)\,d\nu(y).</math>

Pe lângă funcțiile cu suport compact și funcțiile integrabile, funcțiile care au o scădere suficient de rapidă la infinit pot fi, de asemenea, convolutate. O caracteristică importantă a convoluției este că, dacă ''f'' și ''g'' scad rapid, atunci și ''f'' ∗ ''g'' scade rapid. În special, dacă ''f'' și ''g'' sunt {{Ill-wd|Q7914952|3=funcții cu scădere rapidă}}, atunci la fel este și produsul de convoluție ''f'' ∗ ''g''. Combinat cu faptul că convoluția comută cu diferențierea (vezi #Proprietăți), rezultă că clasa {{Ill-wd|Q1369621|3=funcțiilor Schwartz}} este închisă în raport cu convoluția {{Harvard citation|Stein|Weiss|1971}}.

: <math>(\mu*\nu)(A) = \int_{\mathbf{R}^d\times\mathbf R^d}1_A(x+y)\, d(\mu\times\nu)(x,y),</math>

unde <math>A\subset\mathbf R^d</math> este o mulțime măsurabilă și <math>1_A</math> este {{Ill-wd|Q371983|3=funcția indicator}} a lui <math>A</math>.

Aceasta este în conformitate cu convoluția definită mai sus când μ și ν sunt considerate distribuții, precum și cu convoluția funcțiilor {{Math|''L''<sup>1</sup>}} când μ și ν sunt absolut continue în raport cu măsura Lebesgue.

Convoluția măsurilor satisface și următoarea versiune a inegalității lui Young

: <math>\|\mu* \nu\|\le \|\mu\|\|\nu\| </math>

unde norma este {{Ill-wd|Q1936288|3=variația totală}} a unei măsuri. Deoarece spațiul măsurilor de variație mărginită este un [[spațiu Banach]], convoluția măsurilor poate fi tratată cu metodele standard ale [[Analiză funcțională|analizei funcționale]] care nu se aplică neapărat și pentru convoluția distribuțiilor.

== Proprietăți ==

=== Proprietăți algebrice ===
Convoluția definește un produs pe [[Spațiu vectorial|spațiul vectorial]] al funcțiilor integrabile. Acest produs satisface următoarele proprietăți algebrice, ceea ce înseamnă formal că spațiul funcțiilor integrabile împreună cu produsul de convoluție dat este o {{Ill-wd|Q744960|3=algebră asociativă}} comutativă fără [[element neutru]] {{Harvard citation|Strichartz|1994}}. Alte spații vectoriale de funcții, cum ar fi spațiul funcțiilor continue cu suport compact, sunt [[Închidere (matematică)|închise]] în raport cu convoluția și astfel formează și algebre asociative comutative.

; [[Comutativitate|Comutativitatea]] 
: <math display="block">f * g = g * f </math>

; [[Asociativitate|Asociativitatea]] 
: <math display="block">f * (g * h) = (f * g) * h</math>

; [[Distributivitate|Distributivitatea]] 
: <math display="block">f * (g + h) = (f * g) + (f * h)</math>

; Asociativitatea în raport cu înmulțirea cu un scalar 
: <math display="block">a (f * g) = (a f) * g</math>

; [[Element neutru]]
: Nicio algebră de funcții nu posedă un element neutru pentru convoluție. Lipsa elementului neutru nu este de obicei un inconvenient major, deoarece majoritatea colecțiilor de funcții pe care se realizează convoluția pot fi convolutate cu o [[Funcția lui Dirac|distribuție delta]] (un impuls unitar, centrat în zero) sau, cel puțin (cum este cazul ''L''<sup>1</sup>) admit [[Funcția lui Dirac|aproximări ale identității]]. Spațiul vectorial al distribuțiilor cu suport compact admite totuși o identitate în raport cu convoluția. Anume,<math display="block">f * \delta = f</math>

; Element invers
: Unele distribuții ''S'' au un [[Element simetric|element invers]] ''S''<sup>−1</sup> pentru convoluție care atunci trebuie să satisfacă<math display="block">S^{-1} * S = \delta</math>

; Conjugata complexă 
: <math display="block">\overline{f * g} = \overline{f} * \overline{g}</math>

; Relația cu diferențierea 
: <math display="block">(f * g)' = f' * g = f * g'</math>
: <math>
\begin{align}
(f * g)' & = \frac{d}{dt} \int^\infty_{-\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau \\
& =\int^\infty_{-\infty} f(\tau) \frac{\partial}{\partial t} g(t - \tau) \, d\tau \\
& =\int^\infty_{-\infty} f(\tau) g'(t - \tau) \, d\tau = f* g'.
\end{align}
</math>

; Relația cu integrarea
: Dacă <math display="inline">F(t) = \int^t_{-\infty} f(\tau) d\tau,</math> și <math display="inline">G(t) = \int^t_{-\infty} g(\tau) \, d\tau,</math> apoi <math display="block">(F * g)(t) = (f * G)(t) = \int^t_{-\infty}(f * g)(\tau)\,d\tau.</math>

=== Integrarea ===
Dacă ''f'' și ''g'' sunt funcții integrabile, atunci integrala convoluției lor pe întreg spațiul se obține pur și simplu ca produs al integralelor lor:<ref>{{Citat web|url=https://mathworld.wolfram.com/Convolution.html|nume=Weisstein|titlu=Convolution|accessdate=2021-09-22|first1=Eric W.|lucrare=mathworld.wolfram.com|limbă=en}}</ref>

: <math>\int_{\mathbf{R}^d}(f * g)(x) \, dx=\left(\int_{\mathbf{R}^d}f(x) \, dx\right) \left(\int_{\mathbf{R}^d}g(x) \, dx\right).</math>

Aceasta rezultă din {{Ill-wd|Q1149022|3=teorema lui Fubini}}. Același rezultat este valabil dacă se presupune că ''f'' și ''g'' sunt doar funcții măsurabile nenegative, prin teorema lui Tonelli.

=== Diferențierea ===
În cazul unei singure variabile,

: <math>\frac{d}{dx}(f * g) = \frac{df}{dx} * g = f * \frac{dg}{dx}</math>

unde ''d''/''dx'' este [[Derivată|derivata]]. Mai general, în cazul funcțiilor cu mai multe variabile, o formulă analogă este valabilă pentru [[Derivată parțială|derivata parțială]]:

: <math>\frac{\partial}{\partial x_i}(f * g) = \frac{\partial f}{\partial x_i} * g = f * \frac{\partial g}{\partial x_i}.</math>

O consecință particulară a acestui lucru este că convoluția poate fi privită ca o operație de „netezire”: convoluția lui ''f'' cu ''g'' este diferențiabilă de câte ori sunt ''f'' și ''g'' în total.

Aceste identități rămân valabile cu condiția exactă ca ''f'' și ''g'' să fie absolut integrabile și cel puțin una dintre ele să aibă o derivată slabă (L<sup>1</sup>) absolut integrabilă, ca o consecință a {{Ill-wd|Q30752114|3=inegalității de convoluție a lui Young}}. De exemplu, când ''f'' este continuu diferențiabilă cu suport compact și ''g'' este o funcție integrabilă local arbitrară,

: <math>\frac{d}{dx}(f* g) = \frac{df}{dx} * g.</math>

Aceste identități sunt valabile și în sensul mult mai larg al distribuțiilor temperate, dacă una dintre ''f'' sau ''g'' este o {{Ill-wd|Q865811|3=distribuție temperată cu scădere rapidă}}, o distribuție temperată cu suport compact sau o funcție Schwartz, iar cealaltă este o distribuție temperată. Pe de altă parte, două funcții pozitive integrabile și indefinit diferențiabile pot să aibă un produs de convoluție care nu este continuu nicăieri.

În cazul discret, [[Relație de recurență|operatorul de diferență]] ''D'' ''f''(''n'') = ''f'' (''n'' + 1) − ''f'' (''n'') satisface o relație analogă:

: <math>D(f * g) = (Df) * g = f * (Dg).</math>

=== Teorema de convoluție ===
{{Ill-wd|Q2638931|3=Teorema de convoluție}} afirmă că

: <math> \mathcal{F}\{f * g\} = k\cdot \mathcal{F}\{f\}\cdot \mathcal{F}\{g\}</math>

Unde cu <math> \mathcal{F}\{f\}</math> se notează [[transformata Fourier]] a lui <math>f</math>, iar <math>k</math> este o constantă care depinde de {{Ill-wd|Q2095069|3=normalizarea}} specifică a transformării Fourier. Versiunile acestei teoreme sunt valabile și pentru [[Transformată Laplace|transformarea Laplace]], {{Ill-wd|Q1785576|3=transformarea Laplace bilaterală}}, [[Transformata Z|transformarea Z]] și {{Ill-wd|Q606934|3=transformarea Mellin}}.

Pe de altă parte, dacă <math>\mathcal W</math> este {{Ill-wd|Q5204933|3=matricea transformatei Fourier}}, atunci

: <math>\mathcal W\left(C^{(1)}x \ast C^{(2)}y\right) = \left(\mathcal W C^{(1)} \bull \mathcal W C^{(2)}\right)(x \otimes y) = \mathcal W C^{(1)}x \circ \mathcal W C^{(2)}y</math> ,

Unde <math> \bull </math> este un [[produs Khatri–Rao]],<ref name="slyusar">{{Citat revistă|nume=Slyusar|prenume=V. I.|dată=December 27, 1996|titlu=End products in matrices in radar applications.|urlarhivă=https://web.archive.org/web/20130811122444/http://slyusar.kiev.ua/en/IZV_1998_3.pdf|url=http://slyusar.kiev.ua/en/IZV_1998_3.pdf|journal=Radioelectronics and Communications Systems|volum=41|număr=3|pagini=50–53|archive-date=2013-08-11}}</ref><ref name="slyusar1">{{Citat revistă|nume=Slyusar|prenume=V. I.|dată=1997-05-20|titlu=Analytical model of the digital antenna array on a basis of face-splitting matrix products.|urlarhivă=https://web.archive.org/web/20130811112059/http://slyusar.kiev.ua/ICATT97.pdf|url=http://slyusar.kiev.ua/ICATT97.pdf|journal=Proc. ICATT-97, Kyiv|pagini=108–109|archive-date=2013-08-11}}</ref><ref name="DIPED">{{Citat revistă|nume=Slyusar|prenume=V. I.|dată=1997-09-15|titlu=New operations of matrices product for applications of radars|urlarhivă=https://web.archive.org/web/20130811113217/http://slyusar.kiev.ua/DIPED_1997.pdf|url=http://slyusar.kiev.ua/DIPED_1997.pdf|journal=Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.|pagini=73–74|archive-date=2013-08-11}}</ref><ref name="slyusar2">{{Citat revistă|nume=Slyusar|prenume=V. I.|dată=March 13, 1998|titlu=A Family of Face Products of Matrices and its Properties|urlarhivă=https://web.archive.org/web/20130811113935/http://slyusar.kiev.ua/FACE.pdf|url=http://slyusar.kiev.ua/FACE.pdf|journal=Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz.- 1999.|volum=35|număr=3|pagini=379–384|doi=10.1007/BF02733426|archive-date=2013-08-11}}</ref><ref name="general">{{Citat revistă|nume=Slyusar|prenume=V. I.|dată=2003|titlu=Generalized face-products of matrices in models of digital antenna arrays with nonidentical channels|urlarhivă=https://web.archive.org/web/20130811125643/http://slyusar.kiev.ua/en/IZV_2003_10.pdf|url=http://slyusar.kiev.ua/en/IZV_2003_10.pdf|journal=Radioelectronics and Communications Systems|volum=46|număr=10|pagini=9–17|archive-date=2013-08-11}}</ref> cu <math> \otimes </math> se notează [[Produs Kronecker|produsul Kronecker]], cu <math> \circ </math> se notează [[Produs Hadamard|produsul Hadamard]] (acest rezultat este o evoluție a proprietăților de {{Ill-wd|Q97975972|3=sketch cu numărare}} <ref name="ninh">{{Cite conference|last=Ninh|last2=Pagh|given=Pham|first2=Rasmus|author2-link=Rasmus Pagh|date=2013|conference=SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining|title=Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps|publisher=Association for Computing Machinery|doi=10.1145/2487575.2487591}}</ref>).

=== Echivarianță translațională ===
Convoluția comută cu translația, adică

: <math>\tau_x (f * g) = (\tau_x f) * g = f * (\tau_x g)</math>

unde τ <sub>''x''</sub> f este translația funcției ''f'' prin ''x'' definită de

: <math>(\tau_x f)(y) = f(y - x).</math>

Dacă ''f'' este o {{Ill-wd|Q1369621|3=funcție Schwartz}}, atunci ''τ<sub>x</sub>f'' este convoluția cu o funcție delta Dirac translatată ''τ''<sub>''x''</sub>''f'' = ''f'' ∗ ''τ''<sub>''x''</sub>''δ''. Deci invarianța de translație a convoluției funcțiilor Schwartz este o consecință a asociativității convoluției.

Mai mult, în anumite condiții, convoluția este cea mai generală operație invariantă la translație. Informal vorbind, este valabilă afirmația

: Presupunând că ''S'' este un [[Transformare liniară|operator liniar]] mărginit care acționează asupra funcțiilor care comută în raport cu translația: ''S''(''τ<sub>x</sub>f'') = ''τ<sub>x</sub>''(''Sf'') pentru orice ''x'', atunci ''S'' este dat drept produs de convoluție cu o funcție (sau distribuție) ''g''<sub>''S''</sub>; adică ''Sf'' = ''g''<sub>''S''</sub> ∗ ''f'' .

Astfel, unele operații invariante la translație pot fi reprezentate drept convoluții. Convoluțiile joacă un rol important în studiul [[Sistem liniar invariant în timp|sistemelor invariante în timp]] și în special în {{Ill-wd|Q1808960|3=teoria sistemelor LTI}}. Funcția reprezentativă ''g''<sub>''S''</sub> este {{Ill-wd|Q1139726|3=răspunsul la impuls}} al transformării ''S''.

O versiune mai precisă a teoremei citate mai sus necesită specificarea clasei de funcții pe care este definită convoluția și necesită și presupunerea că ''S'' trebuie să fie un {{Ill-wd|Q1091024|3=operator liniar continuu}} în raport cu [[Topologie|topologia]] corespunzătoare. Se știe, de exemplu, că orice operator liniar continuu invariant la translația continuă pe ''L''<sup>1</sup> este convoluția cu o {{Ill-wd|Q892585|3=măsură Borel}} finită. Mai general, orice operator liniar continuu invariant la translația continuă pe ''L''<sup>''p''</sup> pentru 1 ≤ ''p'' < ∞ este convoluția cu o {{Ill-wd|Q865811|3=distribuție temperată}} a cărei [[Transformata Fourier|transformată Fourier]] este mărginită. Cu alte cuvinte, toate sunt date de {{Ill-wd|Q6935014|3=multiplicatori Fourier}} mărginiți.

== Convoluții pe grupuri ==
Dacă ''G'' este un [[Grup (matematică)|grup]] adecvat dotat cu o [[Măsură (matematică)|măsură]] λ, și dacă ''f'' și ''g'' sunt funcții {{Ill-wd|Q853831|3=integrabile}} cu valori reale sau complexe pe ''G'', atunci putem defini convoluția lor prin

: <math>(f * g)(x) = \int_G f(y) g\left(y^{-1}x\right)\,d\lambda(y).</math>

În general, convoluția aceasta nu este comutativă. În cazuri tipice de interes, ''G'' este un {{Ill-wd|Q1046291|3=grup topologic}} [[Spațiu Hausdorff|Hausdorff]] {{Ill-wd|Q583034|3=local compact}} și λ este o {{Ill-wd|Q1162676|3=măsură Haar}} (la stânga). În acest caz, cu excepția cazului în care ''G'' este {{Ill-wd|Q1162676|3=unimodular}}, convoluția definită în acest fel nu este aceeași cu <math display="inline">\int f\left(xy^{-1}\right)g(y) \, d\lambda(y)</math> . Preferința pentru unul față de celălalt se face astfel încât convoluția cu o funcție fixă ''g'' să comute cu translația la stânga în grup:

: <math>L_h(f* g) = (L_hf)* g.</math>

În plus, convenția este necesară și pentru coerență cu definiția circumvoluției măsurilor prezentată mai jos. Totuși, cu o măsură Haar la dreapta în loc de la stânga, integrala din urmă este preferată față de prima.

Pe [[Grup abelian|grupurile abeliene]] local compacte, este valabilă o versiune a {{Ill-wd|Q2638931|3=teoremei de convoluție}}: transformata Fourier a unei convoluții este produsul punctual al transformărilor Fourier. {{Ill-wd|Q105356493|3=Grupul circular}} '''T''' cu măsura Lebesgue este un exemplu imediat. Pentru un ''g'' fix din ''L''<sup>1</sup>('''T'''), avem următorul operator familiar care acționează asupra [[Spațiu Hilbert|spațiului Hilbert]] ''L''<sup>2</sup>('''T'''):

: <math>T {f}(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{\mathbf{T}} {f}(y) g( x - y) \, dy.</math>

Operatorul ''T'' este {{Ill-wd|Q5155314|3=compact}}. Un calcul direct arată că adjunctul lui ''T*'' este convoluția cu

: <math>\bar{g}(-y).</math>

Conform proprietății de comutativitate menționate mai sus, ''T'' este {{Ill-wd|Q854946|3=normal}} : ''T''* ''T'' = ''TT''*. De asemenea, ''T'' comută cu operatorii de translație. Fie familia ''S'' de operatori formată din toate aceste convoluții și din operatorii de translație. Atunci ''S'' este o familie comutativă de operatori normali. Conform {{Ill-wd|Q5155314|3=teoriei spectrale}}, există o bază ortonormală {''h<sub>k</sub>''} care diagonalizează simultan ''S''. Aceasta caracterizează convoluțiile pe cerc. Mai exact, avem

: <math>h_k (x) = e^{ikx}, \quad k \in \mathbb{Z},\;</math>

care sunt tocmai {{Ill-wd|Q1062934|3=caracterele}} lui '''T'''. Orice convoluție este un {{Ill-wd|Q6934990|3=operator multiplicativ}} compact în această bază. Aceasta poate fi privită ca o versiune a teoremei de convoluție discutată mai sus.

Un exemplu discret este un {{Ill-wd|Q245462|3=grup ciclic}} finit de ordinul ''n''. Operatorii de convoluție sunt reprezentați aici prin {{Ill-wd|Q245457|3=matrici circulante}} și pot fi diagonalizați prin {{Ill-wd|Q2878|3=transformarea Fourier discretă}}.

Un rezultat similar este valabil și pentru grupurile compacte (nu neapărat abeliene): coeficienții matriceali ai {{Ill-wd|Q10359539|3=reprezentărilor unitare}} finit-dimensionale formează o bază ortonormală în ''L''<sup>2</sup> conform {{Ill-wd|Q1529941|3=teoremei Peter-Weyl}}, și continuă să fie valabil un analog al teoremei de convoluție, împreună cu multe alte aspecte ale [[Analiză armonică|analizei armonice]] care depind de transformata Fourier.

== Convoluția măsurilor ==
Fie ''G'' un grup topologic (scris multiplicativ). Dacă μ și ν sunt {{Ill-wd|Q892585|3=măsuri finite Borel}} pe ''G'', atunci convoluția lor ''μ'' ∗ ''ν'' este definită ca {{Ill-wd|Q860929|3=măsură imagine}} a {{Ill-wd|Q288465|3=acțiunii de grup}} și poate fi scrisă sub forma:

: <math>(\mu * \nu)(E) = \iint 1_E(xy) \,d\mu(x) \,d\nu(y)</math>

pentru orice submulțime măsurabilă ''E'' a lui ''G''. Convoluția este și măsură finită, a cărei {{Ill-wd|Q1936288|3=variație totală}} satisface

: <math>\|\mu * \nu\| \le \left\|\mu\right\| \left\|\nu\right\|.</math>

În cazul în care ''G'' este {{Ill-wd|Q583034|3=local compact}} cu {{Ill-wd|Q1162676|3=măsura Haar}} (la stânga) λ, iar μ și ν sunt {{Ill-wd|Q332504|3=absolut continue}} în raport cu un λ, {{Ill-wd|Q1191319|3=astfel încât fiecare are o funcție de densitate}}, atunci produsul de convoluție μ∗ν este și el absolut continuu și funcția sa de densitate este doar convoluția celor două funcții de densitate separate.

Dacă μ și ν sunt {{Ill-wd|Q355020|3=măsuri de probabilitate}} pe grupul topologic {{Nowrap|('''R''',+),}} atunci convoluția ''μ'' ∗ ''ν'' este [[Distribuții de probabilitate|distribuția de probabilitate]] a sumei ''X'' + ''Y'' a două [[Variabilă aleatoare|variabile aleatoare]] {{Ill-wd|Q625303|3=independente}} ''X'' și ''Y'' ale căror distribuții respective sunt μ și ν.

== Convoluția infimală ==
În {{Ill-wd|Q2234833|3=analiza convexă}}, '''convoluția infimală''' a [[Funcție convexă|funcțiilor convexe]] proprii (neidentic <math>+\infty</math>) <math>f_1,\dots,f_m</math> pe <math>\mathbb R^n</math> este definită ca:<ref>{{Citation|last={{Ill-wd|Q2129819|3=R. Tyrrell Rockafellar}}|title=Convex analysis|year=1970|publisher=Princeton University Press}}</ref><math display="block">(f_1*\cdots*f_m)(x)=\inf_x \{ f_1(x_1)+\cdots+f_m(x_m) | x_1+\cdots+x_m = x\}.</math>Se poate arăta că convoluția infimală a funcțiilor convexe este convexă. În plus, satisface o identitate analogă cu cea a transformării Fourier a unei convoluții tradiționale, rolul transformării Fourier fiind jucat în schimb de [[Transformare Legendre|transformarea Legendre]]:<math display="block">\varphi^*(x) = \sup_y ( x\cdot y - \varphi(y)).</math>Avem:<math display="block">(f_1*\cdots *f_m)^*(x) = f_1^*(x) + \cdots + f_m^*(x).</math>

== Bialgebre ==
Fie ( ''X'', Δ, ∇, ''ε'', ''η'' ) o [[bialgebră]] cu comultiplicarea Δ, multiplicarea ∇, unitatea η și counitatea ''ε''. Convoluția este un produs definit pe {{Ill-wd|Q2896709|3=algebra de endomorfism}} End(''X'') după cum urmează. Fie ''φ'', ''ψ'' ∈ End(''X''), adică ''φ'', ''ψ'' : ''X'' → ''X'' sunt funcții care respectă toată structura algebrică a lui ''X'', atunci convoluția ''φ'' ∗ ''ψ'' este definită drept compoziția

: <math>X \mathrel{\xrightarrow{\Delta}} X \otimes X \mathrel{\xrightarrow{\phi\otimes\psi}} X \otimes X \mathrel{\xrightarrow{\nabla}} X.</math>

Convoluția apare în special în definiția {{Ill-wd|Q1627597|3=algebrelor Hopf}} {{Harvard citation|Kassel|1995}}. O bialgebră este o algebră Hopf dacă și numai dacă are un antipod: un endomorfism ''S'' astfel încât

: <math>S * \operatorname{id}_X = \operatorname{id}_X * S = \eta\circ\varepsilon.</math>

== Aplicații ==
[[Fișier:Halftone,_Gaussian_Blur.jpg|thumb|right|upright|{{Ill-wd|Q1894545|3=Gaussian blur}} este un filtru ce poate fi utilizat pentru a obține o imagine digitală continuă în tonuri de gri dintr-o imprimare în {{Ill-wd|Q1110021|3=semitonuri}}.]]
Convoluția și operațiile aferente se regăsesc în multe aplicații din știință, inginerie și matematică.

* În {{Ill-wd|Q1070689|3=procesarea imaginilor}}
** În prelucrarea digitală a imaginilor, filtrele convoluționale joacă un rol important în mulți [[Algoritm|algoritmi]] importanți în {{Ill-wd|Q1513153|3=detecția contururilor}} și procesele conexe
** În [[optică]], o fotografie nefocalizată este o convoluție a imaginii clare cu o funcție a obiectivului. Termenul fotografic pentru aceasta este {{Ill-wd|Q328099|3=Bokeh}}.
** În aplicațiile de procesare a imaginii, cum ar fi adăugarea de estompare.
* În prelucrarea digitală a datelor
** În [[Chimie analitică|chimia analitică]], {{Ill-wd|Q1228952|3=filtrele Savitzky-Golay}} sunt utilizate pentru analiza datelor spectroscopice. Ele pot îmbunătăți [[Raport semnal/zgomot|raportul semnal-zgomot]] cu o distorsiune minimă a spectrelor
** În [[statistică]], o {{Ill-wd|Q1130194|3=medie mobilă}} ponderată este o convoluție.
* În [[acustică]], {{Ill-wd|Q468809|3=reverberația}} este convoluția sunetului original cu [[Ecou|ecouri]] de la obiectele din jurul sursei de sunet.
** În procesarea semnalului digital, convoluția este utilizată pentru a mapa {{Ill-wd|Q1139726|3=răspunsul la impuls}} al unei încăperi reale pe un semnal audio digital.
** În [[Muzică electronică|muzica electronică,]] convoluția este impunerea unei structuri [[Spectru (fizică)|spectrale]] sau ritmice asupra unui sunet. Adesea, această anvelopă sau structură este preluată dintr-un alt sunet. Convoluția a două semnale este filtrarea unuia prin celălalt.<ref>Zölzer, Udo, ed. (2002). ''DAFX:Digital Audio Effects'', p.48–49. {{ISBN|0471490784}}.</ref>
* În [[Electrotehnică|ingineria electrică]], convoluția unei funcții ([[Semnal (electronică)|semnalul de intrare]]) cu o a doua funcție (răspunsul la impuls) dă ieșirea unui {{Ill-wd|Q1808960|3=sistem liniar invariant în timp}} (LTI). La orice moment dat, rezultatul este un efect cumulat al tuturor valorilor anterioare ale funcției de intrare, cele mai recente valori având de obicei cea mai mare influență (exprimată ca factor multiplicativ). Funcția de răspuns la impuls furnizează acel factor ca o funcție a timpului scurs de când a apărut fiecare valoare de intrare.
* În [[fizică]], oriunde există un {{Ill-wd|Q1072174|3=sistem liniar}} cu un „[[Principiul superpoziției|principiu de superpoziție]]”, apare o operație de convoluție. De exemplu, în [[spectroscopie]], lărgirea unei benzi cauzată de efectul Doppler în sine dă o {{Ill-wd|Q17162938|3=formă de linie spectrală}} [[Distribuția Gauss|gaussiană]], iar lărgirea prin coliziune dă ea singură o formă de linie [[Legea de distribuție Cauchy|lorentziană]]. Când operează ambele efecte, forma liniei este o convoluție între gaussiană și lorentziană, o {{Ill-wd|Q1417619|3=funcție Voigt}}.
** În {{Ill-wd|Q7804835|3=spectroscopia cu fluorescență rezolvată în timp}}, semnalul de excitație poate fi tratat ca un lanț de impulsuri delta, iar fluorescența măsurată este o sumă a degradărilor exponențiale de la fiecare impuls delta.
** În [[Mecanica fluidelor numerică|dinamica computațională a fluidelor]], {{Ill-wd|Q1417609|3=modelarea turbulențelor}} {{Ill-wd|Q1755722|3=Large eddy simulation}} (LES) utilizează operația de convoluție pentru a reduce intervalul de scală de lungime necesar în calcul, reducând astfel costul de calcul.
* În [[Teoria probabilităților|teoria probabilității]], [[Distribuții de probabilitate|distribuția de probabilitate]] a sumei a două [[Variabilă aleatoare|variabile aleatoare]] {{Ill-wd|Q625303|3=independente}} este convoluția distribuțiilor lor individuale.
** În {{Ill-wd|Q458825|3=estimarea densității nucleului}}, o distribuție este estimată din puncte de eșantion prin convoluție cu un nucleu, cum ar fi un gaussian izotrop.{{Sfn|Diggle|1985}} 
* În fiabilitatea structurală, indicele de fiabilitate poate fi definit pe baza teoremei de convoluție.
** Definiția indicelui de fiabilitate pentru funcțiile de stare limită cu distribuții nenormale poate fi stabilită corespunzător {{Ill-wd|Q1333358|3=funcției de distribuție comună}}. De fapt, funcția de distribuție comună poate fi obținută folosind teoria convoluției.{{Sfn|Ghasemi|Nowak|2017}}
* {{Ill-wd|Q17084460|3=Rețelele neuronale convoluționale}} aplică mai multe nuclee ''de convoluție'' în cascadă cu aplicații în {{Ill-wd|Q1425977|3=vederea artificială}} și [[Inteligență artificială|inteligența artificială]].<ref>{{Citat revistă|nume=Zhang|nume2=Soon|nume3=Ye|nume4=Fuh|nume5=Zhu|prenume=Yingjie|prenume2=Hong Geok|prenume3=Dongsen|prenume4=Jerry Ying Hsi|prenume5=Kunpeng|dată=September 2020|titlu=Powder-Bed Fusion Process Monitoring by Machine Vision With Hybrid Convolutional Neural Networks|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/8913613|journal=IEEE Transactions on Industrial Informatics|volum=16|număr=9|pagini=5769–5779|issn=1941-0050|doi=10.1109/TII.2019.2956078}}</ref><ref>{{Citat revistă|nume=Chervyakov|nume2=Lyakhov|nume3=Deryabin|nume4=Nagornov|nume5=Valueva|nume6=Valuev|prenume=N.I.|prenume2=P.A.|prenume3=M.A.|prenume4=N.N.|prenume5=M.V.|prenume6=G.V.|dată=September 2020|titlu=Residue Number System-Based Solution for Reducing the Hardware Cost of a Convolutional Neural Network|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S092523122030583X|journal=Neurocomputing|volum=407|pagini=439–453|language=en|doi=10.1016/j.neucom.2020.04.018|quote=Convolutional neural networks represent deep learning architectures that are currently used in a wide range of applications, including computer vision, speech recognition, time series analysis in finance, and many others.}}</ref> Deși acestea sunt de fapt mai degrabă '''corelații încrucișate''' decât convoluții în majoritatea cazurilor.<ref>{{Citat revistă|nume=Atlas, Homma, and Marks|titlu=An Artificial Neural Network for Spatio-Temporal Bipolar Patterns: Application to Phoneme Classification|urlarhivă=https://web.archive.org/web/20210414091306/https://papers.nips.cc/paper/1987/file/98f13708210194c475687be6106a3b84-Paper.pdf|url=https://papers.nips.cc/paper/1987/file/98f13708210194c475687be6106a3b84-Paper.pdf|journal=Neural Information Processing Systems (NIPS 1987)|volum=1|archive-date=2021-04-14}}</ref>
* În {{Ill-wd|Q733073|3=Smoothed-particle hydrodynamics}}, simulările dinamicii fluidelor sunt calculate folosind particule, fiecare cu nuclee înconjurătoare. Pentru orice particulă dată <math>i</math>, o cantitate fizică <math>A_i</math> se calculează ca o convoluție a lui <math>A_j</math> cu o funcție de ponderare, unde cu <math>j</math> se notează vecinii particulei <math>i</math>: cele care se află în interiorul nucleului său. Convoluția este aproximată ca o sumă peste toți vecinii.<ref name="1992ARA&A..30..543M">{{Citat revistă|nume=Monaghan|prenume=J. J.|dată=1992|titlu=Smoothed particle hydrodynamics|url=https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1992ARA&A..30..543M|journal=Annual Review of Astronomy and Astrophysics|volum=30|pagini=543–547|bibcode=1992ARA&A..30..543M|doi=10.1146/annurev.aa.30.090192.002551|access-date=16 February 2021|ref=1992ARA&A..30..543M}}</ref>
* În {{Ill-wd|Q1339058|3=calculul fracționar,}} convoluția este esențială în diferite definiții ale integralei fracționare și derivatei fracționare.

== Note de completare ==
{{Notelist-ua}}

== Note bibliografice ==
<references/>

== Lectură suplimentară ==

* {{Citation|last=Bracewell|first=R.|title=The Fourier Transform and Its Applications|year=1986|edition=2nd|publisher=McGraw–Hill|isbn=0-07-116043-4}}.
* {{Citation|last=Damelin|first=S.|title=The Mathematics of Signal Processing|year=2011|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1107601048|last2=Miller|first2=W.}}
* {{Citation|last=Diggle|first=P. J.|title=A kernel method for smoothing point process data|volume=34|issue=2|pages=138–147|year=1985|periodical=Journal of the Royal Statistical Society, Series C|doi=10.2307/2347366|jstor=2347366}}
* Dominguez-Torres, Alejandro (Nov 2, 2010). "Origin and history of convolution". 41 pgs. http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution. Cranfield, Bedford MK43 OAL, UK. Retrieved Mar 13, 2013.
* {{Citation|last=Ghasemi|first=S. Hooman|title=Reliability Index for Non-normal Distributions of Limit State Functions|volume=62|issue=3|pages=365–372|year=2017|periodical=Structural Engineering and Mechanics|doi=10.12989/sem.2017.62.3.365|last2=Nowak|first2=Andrzej S.}}
* {{Citation|last=Grinshpan|first=A. Z.|title=An inequality for multiple convolutions with respect to Dirichlet probability measure|volume=82|issue=1|pages=102–119|year=2017|periodical=Advances in Applied Mathematics|doi=10.1016/j.aam.2016.08.001|doi-access=free}}
* {{Citation|last=Hewitt|first=Edwin|title=Abstract harmonic analysis. Vol. I|volume=115|year=1979|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]|edition=2nd|place=Berlin, New York|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|isbn=978-3-540-09434-0|mr=551496|last2=Ross|first2=Kenneth A.}}.
* {{Citation|last=Hewitt|first=Edwin|title=Abstract harmonic analysis. Vol. II: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups|year=1970|series=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152|place=Berlin, New York|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|mr=0262773|last2=Ross|first2=Kenneth A.}}.
* {{Citation|last=Hörmander|first=L.|title=The analysis of linear partial differential operators I|volume=256|year=1983|series=Grundl. Math. Wissenschaft.|publisher=Springer|doi=10.1007/978-3-642-96750-4|isbn=3-540-12104-8|mr=0717035|author-link=Lars Hörmander}}.
* {{Citation|last=Kassel|first=Christian|title=Quantum groups|url=https://archive.org/details/quantumgroups0000kass|volume=155|year=1995|series=Graduate Texts in Mathematics|place=Berlin, New York|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|doi=10.1007/978-1-4612-0783-2|isbn=978-0-387-94370-1|mr=1321145|access-date=registration}}.
* {{Citation|last=Knuth|first=Donald|title=Seminumerical Algorithms|year=1997|edition=3rd.|place=Reading, Massachusetts|publisher=Addison–Wesley|isbn=0-201-89684-2|author-link=Donald Knuth}}.
* {{Narici Beckenstein Topological Vector Spaces|edition=2}} 
* {{Citation|last=Reed|first=Michael|title=Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness|pages=xv+361|year=1975|place=New York-London|publisher=Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers|isbn=0-12-585002-6|mr=0493420|last2=Simon|first2=Barry|author-link2=Barry Simon}}
* {{Citation|last=Rudin|first=Walter|title=Fourier analysis on groups|volume=12|year=1962|series=Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics|place=New York–London|publisher=Interscience Publishers|isbn=0-471-52364-X|mr=0152834|author-link=Walter Rudin}}.
* {{Schaefer Wolff Topological Vector Spaces|edition=2}}
* {{Citation|last=Stein|first=Elias|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|url=https://archive.org/details/introductiontofo0000stei|year=1971|publisher=Princeton University Press|isbn=0-691-08078-X|access-date=registration|last2=Weiss|first2=Guido|author-link=Elias Stein}}.
* {{springer | last=Sobolev | first=V.I.|id=C/c026430|title=Convolution of functions|year=2001}}.
* {{Citation|last=Strichartz|first=R.|title=A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms|year=1994|publisher=CRC Press|isbn=0-8493-8273-4}}.
* {{Citation|last=Titchmarsh|first=E|title=Introduction to the theory of Fourier integrals|publication-date=1986|year=1948|edition=2nd|place=New York, N.Y.|publisher=Chelsea Pub. Co.|isbn=978-0-8284-0324-5|author-link=Edward Charles Titchmarsh}}.
* {{Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels}} 
* {{Citation|last=Uludag|first=A. M.|title=On possible deterioration of smoothness under the operation of convolution|volume=227|issue=2|pages=335–358|year=1998|periodical=J. Math. Anal. Appl.|doi=10.1006/jmaa.1998.6091|author-link=A. Muhammed Uludag|doi-access=free}}
* {{Citation|last=von zur Gathen|first=J.|title=Modern Computer Algebra|year=2003|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-82646-2|last2=Gerhard|first2=J .}}.
{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Analiză Fourier]]
[[Categorie:Procesarea imaginilor]]
[[Categorie:Analiză funcțională]]
[[Categorie:Pagini cu traduceri nerevizuite]]