CUSUM

În controlul statistic al proceselor, CUSUM (sau diagrama de sumă cumulativă) este o tehnică de analiză secvențială dezvoltată de E.S. Page de la Universitatea din Cambridge. Aceasta este de obicei folosită pentru monitorizarea și detectarea schimbărilor. CUSUM a fost publicată în jurnalul Biometrika^⁠(d), în 1954, la câțiva ani după publicarea algoritmului SPRT^⁠(d) de către Wald.

Page menționa un „număr de calitate” $\theta$$\theta$$\theta$, care reprezenta un parametru al distribuției de probabilitate, de exemplu, media. El a conceput CUSUM ca o metodă de determinare a modificărilor din punctul de vedere al acestui număr$\theta$ și a propus un criteriu pentru a decide când sunt necesare măsuri corective. Atunci când metoda CUSUM este aplicată modificărilor mediei, poate fi utilizată pentru detectarea salturilor într-o serie temporală.

Câțiva ani mai târziu, George Alfred Barnard^⁠(d) a dezvoltat o metodă de vizualizare, diagrama măștilor în V, pentru a detecta atât creșteri, cât și scăderi în $\theta$.

Metodă

După cum sugerează și numele, CUSUM presupune cumularea sumei (ceea ce o face „secvențială”). Observațiilor dintr-un proces $x_{n}$ le sunt atribuite ponderi $\omega _{n}$și sunt însumate după cum urmează:

$S_{0}=0$

$S_{n+1}=\max(0,S_{n}+x_{n}-\omega _{n})$

Atunci când valoarea S depășește o anumită valoare de prag, se consideră că a fost identificată o schimbare. Formula de mai sus detectează doar modificări în direcție pozitivă. Când trebuie identificate schimbări negative, în loc de operațiunea max trebuie să fie folosită operațiunea min, iar de această dată o schimbare este identificată atunci când valoarea S este sub valoarea (posibil negativă) de prag.

Page nu a menționat în mod explicit că $\omega$ reprezintă funcția de probabilitate, dar aceasta este interpretarea utilizată.

Exemplu

Următorul exemplu ilustrează 20 de observații dintr-un proces cu o valoare medie a X egală cu 0 și o deviație standard de 0,5. Se poate observa că valoarea lui Z nu este mai mare decât 3, deci alte diagrame de control nu ar trebui să fi detectat o schimbare, în timp ce folosind Cusum 17 arată valoarea de SH este mai mare decât 4.

Coloană	Descriere
$X$	Observațiile procesului cu media ${\bar {x}}$=0 și deviație standard $\sigma _{X}$=0.5
$Z$	Obervațiile normalizate, adică centrate în jurul mediei și scalate cu deviația standard $Z_{n}={\frac {X_{n}-{\bar {x}}}{\sigma _{X}}}$
$S_{H}$	Valoarea CUSUM pozitivă, care detectează o anomalie pozitivă, ${S_{H}}_{n+1}=\max(0,{S_{H}}_{n}+Z_{n}-\omega )$
$S_{L}$	Valoarea CUSUM negativă, care detectează o anomalie negativă, ${S_{L}}_{n+1}=\max(0,{S_{L}}_{n}-Z_{n}-\omega )$