Vizualizare sursă pentru „Alternare (geometrie)”

{{Imagine multiplă
 | align = right | total_width = 400
 | image1 = Polyhedron 4a.png
 | image2 = Polyhedron 4-4 dual blue.png
 | image3 = Polyhedron 4b.png
 | footer = Alternarea unui [[cub]] creează un [[tetraedru]]
}}
{{Imagine multiplă
 | align = right | total_width = 400
 | image1 = Polyhedron great rhombi 6-8 subsolid snub left maxmatch.png
 | image2 = Polyhedron great rhombi 6-8 max.png
 | image3 = Polyhedron great rhombi 6-8 subsolid snub right maxmatch.png
 | footer = Alternarea unui [[cuboctaedru trunchiat]] creează un [[cub snub]] neuniform
}}
În [[geometrie]] o '''alternare''' sau '''trunchiere parțială''' este o operație pe un [[poligon]], [[poliedru]], [[pavare]] sau [[politop]] din dimensiuni superioare care elimină vârfuri alternativ.<ref>{{en icon}} Coxeter, Regular polytopes, pp.&nbsp;154–156 8.6 Partial truncation, or alternation</ref>

Coxeter etichetează o ''alternare'' cu prefixul ''h'', reprezentând ''hemi'' (sau în {{en|half}}&nbsp;– jumătate). Deoarece alternarea reduce la jumătate numărul [[latură (geometrie) |laturilor]] la toate [[față (geometrie) |fețele]] poligonale, ea poate fi aplicată numai politopurilor la care toate fețele au un număr par de laturi. O față pătrată alternată devine un [[digon]] și, fiind degenerată, este de obicei redusă la o singură latură (muchie).

În general orice [[poliedru uniform]] pe [[vârf (geometrie) |vârfuri]] sau [[pavare]] cu o [[configurația vârfului |configurație a vârfului]] constând din elemente pare poate fi ''alternat''. De exemplu, alternarea unei figuri a vârfului cu ''2a.2b.2c'' este ''a.3.b.3.c.3'' unde trei este numărul de elemente din această figură a vârfului. Un caz particular sunt fețele pătrate care devin digoane degenerate. Deci, de exemplu, cubul ''4.4.4'' este alternat ca ''2.3.2.3.2.3'' care se reduce la 3.3.3, care este un [[tetraedru]], iar toate cele 6 muchii ale tetraedrului pot fi văzute și ca fețele degenerate ale cubului original.

== Snub ==
{{Articol principal|Snub}}
În terminologia lui Coxeter un ''[[snub]]'' poate fi văzut ca o alternare a unui [[poliedru regulat]] sau [[poliedru cvasiregulat |cvasiregulat]] [[trunchiere (geometrie) |trunchiat]]. În general, operatorul snub se poate aplica doar un poliedru cu fețe cu numere pare de laturi. Operatorul snub se poate aplica tuturor poliedrelor [[trunchiere (geometrie) |trunchiate]] [[rectificare (geometrie) |rectificate]], nu doar celor regulate.

[[Antiprismă pătrată snub |Antiprisma pătrată snub]] este un exemplu de snub general, și poate fi reprezentată prin ss{2,4}, cu [[antiprismă pătrată |antiprisma pătrată]], s{2,4}.

== Politopuri alternate ==
Operația de ''alternare'' se poate aplică și politopurilor și fagurilor din dimensiuni superioade, dar în general majoritatea rezultatelor acestei operații nu vor fi uniforme. În general golurile create de vârfurile șterse nu vor crea fațete uniforme și de obicei nu există suficiente grade de libertate pentru a permite o redimensionare adecvată a noilor laturi. Există, totuși, excepții, cum ar fi obținerea unui [[24-celule]] snub din 24-celule trunchiat.

Exemple:
* [[Fagure (geometrie) |Faguri]]
*# Un [[fagure cubic]] alternat este [[fagure tetraedric-octaedric |fagurele tetraedric-octaedric]].
*# Un [[fagure prismatic hexagonal]] alternat este un fagure cubic alternat girat.
* [[4-politop]]uri
*# Un 24-celule trunchiat alternat este un 24-celule snub.
* 4-faguri:
*# Un fagure 24-celule trunchiat alternat este un fagure 24-celule snub.
* Un [[hipercub]] poate fi întotdeauna alternat într-un demihipercub uniform.
*# [[Cub]] → [[Tetraedru]] (regulat)<br/>[[Fișier:hexahedron.png|50px]] → [[Fișier:tetrahedron.png|50px]]
*# [[Tesseract]] (8-celule) → [[16-celule]] (regulat)<br/>[[Fișier:Schlegel wireframe 8-cell.png|50px]] → [[Fișier:Schlegel wireframe 16-cell.png|50px]]
*# Penteract (5-cub) → demipenteract (semiregulat)
*# Hexeract (6-cub) → demihexeract (uniform)
*# ...

== Poliedre alternate ==
Coxeter a folosit și operatorul ''a'', care conține ambele jumătăți, deci conservă simetria originală. Pentru poliedre regulate cu fețe cu un număr par de laturi, a{2p,q} reprezintă un [[compus politopic |compus poliedric]] din două copii opuse ale h{2p,q}. Pentru poliedre regulate cu fețe cu un număr impar de laturi, mai mare de 3, a{p,q}, devine un [[poliedru stelat]].

[[Norman Johnson]] a extins utilizarea operatorului ''alternare'' ''a''{p,q}, ''b''{p,q} pentru ''blended'' (''amestecat'') și ''c''{p,q} pentru ''convertit'', pentru {{CDD|node_h3|p|node|q|node}}, {{CDD|node|p|node_h3|q|node}}, respectiv {{CDD|node|p|node|q|node_h3}}.

Poliedrul compus cunoscut sub numele de [[octaedru stelat]] poate fi reprezentat de {4,3} (un [[cub]] alternat) și {{CDD|node_h3|4|node|3|node}}, [[Fișier:Compound_of_two_tetrahedra.png|40px]].

Poliedrul stelat cunoscut sub numele de [[micul icosidodecaedru ditrigonal]] poate fi reprezentat de {5,3} (un [[dodecaedru]] alternat) și {{CDD|node_h3|5|node|3|node}}, [[Fișier:Small ditrigonal icosidodecahedron.png|40px]]. Aici toate [[pentagon |pentagoanele]] au fost alternate în [[pentagramă |pentagrame]] și au fost introduse triunghiuri pentru a ocupa laturile libere rezultate.

Poliedrul stelat cunoscut sub numele de [[marele icosidodecaedru ditrigonal]] poate fi reprezentat de {5/2,3} ([[marele dodecaedru stelat]]) și {{CDD|node_h3|5-2|node|3|node}}, [[Fișier:Great ditrigonal icosidodecahedron.png|40px]]. Aici toate pentagramele au fost alternate înapoi în pentagoane și au fost introduse triunghiuri pentru a ocupa laturile libere rezultate.

== Trunchieri alternate ==
O operație similară poate [[trunchiere (geometrie) |trunchia]] alternativ vârfurile în loc să le elimine. Mai jos este un set de poliedre care pot fi generate din [[poliedru Catalan |poliedrele Catalan]]. Acestea au două tipuri de vârfuri care pot fi trunchiate alternativ. Trunchierea vârfurilor „de ordin superior” și a ambelor tipuri de vârfuri produce următoarele forme:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!Nume
!Inițial
!Trunchiere<br/>alternată
!Trunchiere
!Denumirea trunchierii
|-
|[[Cub]]<br/>Dual al tetraedrului rectificat
|[[Fișier:hexahedron.jpg|50px]]
|[[Fișier:Alternate truncated cube.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t01.svg|50px]]
|Cub trunchiat alternat
|-
|[[Dodecaedru rombic]]<br/>Dual al cuboctaedrului
|[[Fișier:rhombicdodecahedron.jpg|50px]] 
|[[Fișier:Truncated rhombic dodecahedron2.png|50px]] 
|[[Fișier:StellaTruncRhombicDodeca.png|50px]]
|[[Dodecaedru rombic trunchiat]]
|-
|[[Triacontaedru rombic]]<br/>Dual al icosidodecaedrului
|[[Fișier:Rhombictriacontahedron.svg|50px]]
|[[Fișier:Truncated rhombic triacontahedron.png|50px]]
|[[Fișier:StellaTruncRhombicTriaconta.png|50px]]
|[[Triacontaedru rombic trunchiat]]
|-
|[[Tetraedru triakis]]<br/>Dual al [[tetraedru trunchiat |tetraedrului trunchiat]]
|[[Fișier:Triakistetrahedron.jpg|50px]]
|[[Fișier:Truncated triakis tetrahedron.png|50px]]
|[[Fișier:StellaTruncTriakisTetra.png|50px]]
|[[Tetraedru triakis trunchiat]]
|-
|[[Octaedru triakis]]<br/>Dual al [[cub trunchiat |cubului trunchiat]]
|[[Fișier:Triakisoctahedron.jpg|50px]]
|[[Fișier:Truncated triakis octahedron.png|50px]]
|[[Fișier:StellaTruncTriakisOcta.png|50px]]
|[[Octaedru triakis trunchiat]]
|-
|[[Icosaedru triakis]]<br/>Dual al [[dodecaedru trunchiat |dodecaedrului trunchiat]]
|[[Fișier:Triakisicosahedron.jpg|50px]]
|[[Fișier:Truncated triakis icosahedron.png|50px]]
|
|[[Icosaedru triakis trunchiat]]
|}

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} [[Coxeter|Coxeter, H.S.M.]] ''Regular Polytopes'', (3rd edition, 1973), Dover edition, {{ISBN|0-486-61480-8}}
* {{en icon}} [[Norman Johnson]], ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
* {{en icon}} Norman Johnson, ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = Snubification | title = Snubification}}
* {{en icon}} Richard Klitzing, [http://bendwavy.org/klitzing/pdf/Stott_v8.pdf ''Snubs, alternated facetings, and Stott-Coxeter-Dynkin diagrams''], Symmetry: Culture and Science, Vol. 21, No.4, 329-344, (2010)

== Vezi și ==
* [[Notația Conway a poliedrelor]]
* [[Simbol Wythoff]]

== Legături externe ==
* {{en icon}} {{GlossaryForHyperspace | anchor=Alternation | title=Alternation }}
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/naming.html Polyhedra Names, snub]

{{Portal|matematică}}
{{Operatori poliedrici}}

[[Categorie:Poliedre]]
[[Categorie:4-politopuri]]