Polinoamele lui Laguerre

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, polinoamele Laguerre, numite astfel în cinstea lui Edmond Laguerre (1834 - 1886), sunt soluțiile canonice ale ecuației Laguerre:


x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,

care este o ecuație diferențială liniară de ordinul al doilea. Această ecuație diferențială are soluții nesingulare numai dacă n este un întreg nenegativ.

Aceste polinoame, notate de regulă cu L_0, L_1, \dots, formează un șir polinomial ce poate fi definit prin formula Rodrigues


L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).

Ele sunt ortogonale unul pe celălalt în raport cu produsul scalar dat de

\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.

Șirul polinoamelor Laguerre este un șir Sheffer.

Polinoamele Laguerre apar în mecanica cuantică, în partea radială a soluției ecuației Schrödinger pentru atomul cu un electron.

Fizicienii folosesc adesea o definiție a polinoamelor Laguerre mai mare cu un factor de (n!), decât definiția folosită aici.

Primele polinoame[modificare | modificare sursă]

Acestea sunt primele polinoame Laguerre:

n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 {\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,
3 {\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 {\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 {\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,
6 {\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,
Primele şase polinoame Laguerre

Ca integrală pe contur[modificare | modificare sursă]

Aceste polinoame pot fi exprimate sub formă de integrală pe contur

L_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}} \; dt

unde conturul este unul închis, ce ocolește originea în sens trigonometric.

Definiție recursivă[modificare | modificare sursă]

Polinoamele Laguerre se pot defini recursiv, exprimând primele două polinoame ca

L_0(x) = 1\,
L_1(x) = 1 - x\,

și apoi folosind relația de recurență pentru orice k \geq 1:

L_{k + 1}(x) = \frac{1}{k + 1} \bigg( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)\bigg)

Polinoame Laguerre generalizate[modificare | modificare sursă]

Proprietatea de ortogonalitate enunțată mai sus este echivalentă cu a spune dă dacă X este o variabilă aleatoare cu distribuție exponențială cu funcția de densitate de probabilitate

f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.

atunci

E(L_n(X)L_m(X))=0\ \mbox{dc.}\ n\neq m.

Distribuția exponențială nu este singura distribuție gamma. Un șir de polinoame ortogonale în raport cu distribuția gamma a căror funcție de densitate de probabilitate este, pentru \alpha>-1,

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^\alpha e^{-x}/\Gamma(1+\alpha) & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.

este dat de rafinarea ecuației Rodrigues pentru polinoamele Laguerre generalizate:

L_n^{(\alpha)}(x)=
{x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right) .

Acestea sunt uneori numite polinoame asociate Laguerre. Polinoamele Laguerre simple sunt recuperate din cele generalizate punând \alpha = 0:

L^{(0)}_n(x)=L_n(x).

Polinoamele asociate Laguerre sunt ortogonale peste [0,\infty) în raport cu funcția pondere x^\alpha e^{-x}:

\int_0^{\infty}e^{-x}x^\alpha L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{nm}.

Următoarea integrală este necesară pentru tratarea atomului de hidrogen în mecanica cuantică,

\int_0^{\infty}e^{-x}x^{\alpha+1} \left[L_n^{(\alpha)}\right]^2 dx=
\frac{(n+\alpha)!}{n!}(2n+\alpha+1).

Polinoamele asociate Laguerre se supun următoarei ecuații diferențiale:


x L_n^{(\alpha) \prime\prime}(x) + (\alpha+1-x)L_n^{(\alpha)\prime}(x) + n L_n^{(\alpha)}(x)=0.\,

Ele respectă următoarea relație de recurență pentru n \geq 1:

L_{n + 1}^{(\alpha)}(x) = \frac{1}{n + 1} \bigg( (2n + 1 + \alpha - x)L_n^{(\alpha)}(x) - (n + \alpha) L_{n - 1}^{(\alpha)}(x)\bigg).

Două alte relații de recurență utile sunt

L_{n + 1}^{(\alpha)}(x) = L_{n+1}^{(\alpha-1)}(x) + L_n^{(\alpha)}(x),
L_{n + 1}^{(\alpha)}(x) = \frac{1}{n + 1} \bigg( (n + 1 + \alpha )L_n^{(\alpha)}(x) - x L_{n}^{(\alpha+1)}(x)\bigg).

Exemple de polinoame Laguerre generalizate[modificare | modificare sursă]

Polinomul Laguerre generalizat de gradul n este (rezultat din aplicarea teoremei lui Leibnitz pentru derivarea produsului asupra formulei Rodrigues)


L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{m=0}^n {n+\alpha \choose n-m} \frac{(-x)^m}{m!}

de unde se observă că coeficientul termenului dominant este (-1)^n/n! iar termenul liber (care este și valoarea în origine) este {n+\alpha\choose n}.

Primele polinoame Laguerre generalizate sunt:

 L_0^{(\alpha)} (x) = 1
 L_1^{(\alpha)}(x) = -x + \alpha +1
 L_2^{(\alpha)}(x) = \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2}
 L_3^{(\alpha)}(x) = \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} - \frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2}
+ \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}

Derivatele polinoamelor Laguerre generalizate[modificare | modificare sursă]

Derivarea de de k ori a reprezentării ca serie de puteri a polinomului Laguerre generalizat conduce la


\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k} L_n^{(\alpha)} (x)
=
(-1)^k L_{n-k}^{(\alpha+k)} (x)\,.

Relația cu polinoamele Hermite[modificare | modificare sursă]

Polinoamele Laguerre generalizate sunt legate de polinoamele Hermite:

H_{2n}(x) = (-1)^n\ 2^{2n}\ n!\ L_n^{(-1/2)} (x^2)

și

H_{2n+1}(x) = (-1)^n\ 2^{2n+1}\ n!\ x\ L_n^{(1/2)} (x^2)

unde H_n(x) sunt polinoamele Hermite bazate pe funcția pondere \exp{(-x^2)}, așa-numita "versiunea fizicienilor".

Din acest motiv, polinoamele Laguerre generalizate apar în tratamentul oscilatorului cuantic armonic.

Relația cu funcțiile hipergeometrice[modificare | modificare sursă]

Polinoamele Laguerre pot fi definite în termeni de funcții hipergeometrice, anume de funcții hipergeometrice confluente, ca

L^{(\alpha)}_n(x) = {n+\alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x) =\frac{(\alpha+1)_n} {n!}  \,_1F_1(-n,\alpha+1,x)

unde (a)_n este simbolul Pochhammer (care în acest caz reprezintă factorialul crescător).

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Eric W. Weisstein, „Laguerre Polynomial”, de la MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  • George Arfken și Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6