Funcție Kelvin

În matematică, funcțiile Kelvin, notate Ber_ν(x) și Bei_ν(x), sunt partea reală și respectiv partea imaginară a funcției:

$J_\nu(x e^{3 \pi i/4}) \,\!$

unde x este real, iar $J_\nu(z) \,\!$ este funcția Bessel de prima speță și de ordinul ν.

Similar, funcțiile Ker_ν(x) și Kei_ν(x) sunt respectiv partea reală si partea imaginară a funcției:

$K_\nu(x e^{3 \pi i/4}) \,\!$

unde $K_\nu(z)\,$ este funcția Bessel modificată de speța a II-a și de ordinul ν.

Deși funcțiile Kelvin sunt definite ca parte reală si imaginară ale funcțiilor Bessel cu x real, ele pot fi prelungite analitic pentru argumente complexe x e^i φ, φ ∈ [0, 2π). Cu excepția funcțiilor Ber_n(x) și Bei_n(x) pentru n întreg, funcțiile Kelvin au un punct de ramificație în x = 0.

Ber(x)

Ber(x) pentru $x$ între 0 şi 10.

$\mathrm{Ber}(x) / e^{x/\sqrt{2}}$ pentru $x$ între 0 şi 100.

Pentru n întreg, Ber_n(x) are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm{Ber}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k$

unde $\Gamma(z)$ este funcția Gamma.

Cazul special Ber$_0(x)$, în mod normal notat cu Ber$(x)$, are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm{Ber}(x) = 1 + \sum_{k \geq 1} \frac{(-1)^k (x/2)^{4k}}{[(2k)!]^2}$

iar dezvoltarea asimptotică este

$\mathrm{Ber}(x) \sim \frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2 \pi x}} [f_1(x) \cos \alpha + g_1(x) \sin \alpha] - \frac{\mathrm{Kei}(x)}{\pi}$,

unde $\alpha = x/\sqrt{2} - \pi/8$, iar

$f_1(x) = 1 + \sum_{k \geq 1} \frac{\cos(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2$

$g_1(x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\sin(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2$

Bei(x)

Bei(x) pentru $x$ între 0 şi 10.

$\mathrm{Bei}(x) / e^{x/\sqrt{2}}$ pentru $x$ între 0 şi 100.

pentru $n$ întreg, Bei$_n(x)$ are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm{Bei}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k$

unde $\Gamma(z)$ este funcția Gamma. Cazul special Bei$_0(x)$, în mod normal notat cu Bei$(x)$, are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm{Bei}(x) = \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k (x/2)^{4k+2}}{[(2k+1)!]^2}$

iar dezvoltarea asimptotică este:

$\mathrm{Bei}(x) \sim \frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2 \pi x}} [f_1(x) \sin \alpha + g_1(x) \cos \alpha] - \frac{\mathrm{Ker}(x)}{\pi}$,

unde $\alpha$, $f_1(x)$ și $g_1(x)$ sunt definite ca cele pentru Ber$(x)$.

Ker(x)

Pentru n întreg, Ker_n(x) are următoarea dezvoltare în serie:

$\begin{align}\mathrm{Ker}_n(x) & = \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k \\ &+\frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k \\ & - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Ber}_n(x) + \frac{\pi}{4}\mathrm{Bei}_n(x) \end{align}$

Ker(x) pentru $x$ între 0 şi 10.

$\mathrm{Ker}(x) e^{x/\sqrt{2}}$ pentru $x$ între 0 şi 100.

unde $\psi(z)$ este funcția Digamma.

Cazul special Ker$_0(x)$, în mod normal notat cu Ker$(x)$, are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm{Ker}(x) = -\ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Ber}(x) + \frac{\pi}{4}\mathrm{Bei}(x) + \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\psi(2k + 1)}{[(2k)!]^2} \left(\frac{x^2}{4}\right)^{2k}$

și dezvoltarea asimptotică:

$\mathrm{Ker}(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}} [f_2(x) \cos \beta + g_2(x) \sin \beta],$

unde $\beta = x/\sqrt{2} + \pi/8$, iar

$f_2(x) = 1 + \sum_{k \geq 1} (-1)^k \frac{\cos(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2$

$g_2(x) = \sum_{k \geq 1} (-1)^k \frac{\sin(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2.$

Kei(x)

Pentru n întreg, Kei_n(x) are dezvoltarea in serie:

$\begin{align}\mathrm{Kei}_n(x) & = \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k \\ &+\frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k \\ & - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Bei}_n(x) - \frac{\pi}{4}\mathrm{Ber}_n(x) \end{align}$

Kei(x) pentru $x$ între 0 şi 10.

$\mathrm{Kei}(x) e^{x/\sqrt{2}}$ pentru $x$ între 0 şi 100.

unde $\psi(z)$ este funcția Digamma.

Cazul special Kei$_0(x)$, în mod uzual notat cu Kei$(x)$, are următoarea dezvoltare în serie:

$\mathrm{Kei}(x) = -\ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Bei}(x) - \frac{\pi}{4}\mathrm{Ber}(x) + \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\psi(2k + 2)}{[(2k+1)!]^2} \left(\frac{x^2}{4}\right)^{2k+1}$

și dezvoltarea asimptotică:

$\mathrm{Kei}(x) \sim -\sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}} [f_2(x) \sin \beta + g_2(x) \cos \beta],$

unde $\beta$, $f_2(x)$ și $g_2(x)$ sunt cele definite pentru Ker$(x)$.

Vezi și

• Funcție Bessel

Referențe

• Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Capitolul 9.9.

Legături externe

• Weisstein, Eric W. "Kelvin Functions." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. [1]
• GPL-licensed C/C++ source code for calculating Kelvin functions at codecogs.com: [2]