Structură matematică

În matematică, o structură pe o mulţime reprezintă un obiect matematic adiţional care, într-un fel sau altul, referenţiază respectiva mulţime, inzestrand-o cu semnificaţie adiţională.

O listă parțială de posibile structuri matematice: măsurile, structurile algebrice (grupurile, câmpurile etc.), topologiile, structurile metrice (geometriile), ordonarea, dependenţa cauzală a evenimentelor, relaţiile de echivalenţă, structurile diferenţiale, categoriile matematice etc. 

Uneori, o mulţime este înzestrată cu mai multe structuri matematice; aceasta permite studierea mai în detaliu a mulţimii. Spre exemplu, o structură de ordonare impune o formă mai rigidă, model sau topologie pentru mulţime. De asemenea, dacă o mulţime are atât structură topologică cât şi de grup, aceste două structuri fiind în relaţie, mulţimea devine un grup topologic.. 

Mapările (i.e. asocierile) între mulţimi ce conservă structurile acestora (aşa încât structurile din domeniu sunt mapate pe structuri echivalente din codomeniu) reprezintă interes special în multe câmpuri ale matematicii. Spre exemplu, homomorfismul, ce conservă structurile algebrice; homeomorfismul, ce conservă structurile topologice; şi difeomorfismul, ce conservă structurile diferenţiale.

Istoria

În 1939, grupul de matematicieni francezi Nicolas Bourbaki vede în structuri elementele constitutive ale matematicii. Astfel, le menţionează prima dată în fascicule ale Teoriei Seturilor, tratându-le apoi mai extins în Capitolul IV din ediţia 1957. Ei au identificat trei structuri fundamentale: algebrică, topologică şi de ordine.

Exemplu: mulţimea numerelor reale

Mulţimea numerelor reale are următoarele structuri standard:

• de ordine: fiecare element este ori mai mic, ori mai mare decât oricare altul
• structură algebrică: există operaţii de multiplicare şi adiţie ce constituie mulţimea într-un câmp.
• de normă: intervalele liniei reale au o lungime specifică ce poate fi extinsă măsurii Lebesgue pe submulţimi.
• de metrică: există noţiunea de distanţă între puncte.
• geometrică: are o structură metrică şi este plană.
• de topologie: există noţiunea de mulţimi deschise.

Există interfețe între structurile descrise mai sus:

• Structura de ordine şi, independent, structura metrică implică existenţa structurii topologice.
• Structura de ordine şi structură algebrică implică existenţa unui câmp ordonat.
• Structură algebrică şi structura topologică implică existenţa grupului Lie (i.e. un tip de grup topologic).

Vezi şi

• Spațiu (matematică)
  

Lecturi suplimentare

• Foldes, Stephan (1994). Fundamental Structures of Algebra and Discrete Mathematics. Hoboken: John Wiley & Sons. ISBN 9781118031438. 
• Hegedus, Stephen John; Moreno-Armella, Luis (2011). „The emergence of mathematical structures”. Educational Studies in Mathematics. 77 (2): 369–388. doi:10.1007/s10649-010-9297-7. 
• Kolman, Bernard; Busby, Robert C.; Ross, Sharon Cutler (2000). Discrete mathematical structures (ed. 4th). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-083143-9. 
• Malik, D.S.; Sen, M.K. (2004). Discrete mathematical structures : theory and applications. Australia: Thomson/Course Technology. ISBN 978-0-619-21558-3. 
• Pudlák, Pavel (2013). „Mathematical structures”. Logical foundations of mathematics and computational complexity a gentle introduction. Cham: Springer. pp. 2–24. ISBN 9783319001197. 
• Senechal, M. (21 mai 1993). „Mathematical Structures”. Science. 260 (5111): 1170–1173. doi:10.1126/science.260.5111.1170. 

Link-uri externe

• „Structure”. PlanetMath.  (oferă un model teoretic definiție.)
• Structuri matematice în informatică (jurnal)