Teorema Brunn-Minkowski

În matematică, teorema Brunn–Minkowski  (sau inegalitatea Brunn–Minkowski ) este o inegalitate referitoare la volumele (sau mai general măsuri Lebesgue ) de subseturi compacte de spații Euclidiene. Versiunea originală a teoremei Brunn–Minkowski  (Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) aplicat la seturile convexe; generalizarea la seturi nonconvexe compacte i se datorează L. A. Lyusternik (1935).

Declarație a teoremei

Fie n ≥ 1 și fie μ indica măsura Lebesgue pe Rⁿ. Fie A și B fie două submulțimi nevide compacte din Rⁿ. Atunci are loc inegalitatea:

$[\mu (A+B)]^{1/n}\geq [\mu (A)]^{1/n}+[\mu (B)]^{1/n},$

unde A + B indică suma Minkowski :

$A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.$

Remarci

Dovada că teorema Brunn–Minkowski stabilește că funcția 

$A\mapsto [\mu (A)]^{1/n}$

este concavă în  sensul că , pentru fiecare pereche nevidă de mulțimi compacte A și B din Rⁿ și fiecare 0 ≤ t ≤ 1,

$\left[\mu (tA+(1-t)B)\right]^{1/n}\geq t[\mu (A)]^{1/n}+(1-t)[\mu (B)]^{1/n}.$

Pentru mulțimile convexe  A și B, inegalitatea în teorema este strict pentru 0 < t < 1 doar dacă  A și B sunt homothetic, i.e. sunt egale până la translație și dilatație.

Vezi și

• Isoperimetric inequality
• Milman's reverse Brunn–Minkowski inequality
• Minkowski–Steiner formula
• Prékopa–Leindler inequality
• Vitale's random Brunn–Minkowski inequality

Referințe

• Brunn, H. (1887). „Über Ovale und Eiflächen”. Inaugural Dissertation, München. 
• Fenchel, Werner; Bonnesen, Tommy (1934). Theorie der konvexen Körper. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Berlin: 1. Verlag von Julius Springer. 
• Fenchel, Werner; Bonnesen, Tommy (1987). Theory of convex bodies. Moscow, Idaho: L. Boron, C. Christenson and B. Smith. BCS Associates. 
• Dacorogna, Bernard (2004). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2. 
• Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 146, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
• Lyusternik, Lazar A. (1935). „Die Brunn–Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen”. Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série). III: 55–58. 
• Minkowski, Hermann (1896). Geometrie der Zahlen. Leipzig: Teubner. 
• Ruzsa, Imre Z. (1997). „The Brunn–Minkowski inequality and nonconvex sets”. Geometriae Dedicata. 67 (3). pp. 337–348. doi:10.1023/A:1004958110076. MR 1475877. 
• Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn–Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.