Utilizator:Solt/proiect 1/Oscilator armonic

Un sistem resort-masă neamortizat este un exemplu clasic pentru un oscilator armonic simplu.

Oscilatorul armonic este un model fizic pentru un sistem oscilant la care un set de mărimi fizice proprii sistemului variază periodic în timp atunci când asupra lui acţionează o cauză externă care scoate sistemul din starea lui de echilibru. Calitatea de „armonicitate” a osciatorului se referă la trei aspecte esenţiale, care pot fi privite ca ipoteze ale modelului:

• Mărimea fizică externă care care produce abaterea de la starea de echilibru este direct proporţională cu mărimea caracteristică a oscilaţiei.
• Frecvenţa prin care variază mărimile oscilante ale sistemului este independentă de amplitudinea oscilaţiilor, în domeniul de liniaritate.
• Efectele mai multor cauze exterme pot fi suprapuse liniar.

Oscilatorul armonic reprezintă un exemplu de o importanţă excepţională pentru diverse domenii ale fizicii şi tehnicii, deoarece serveşte drept model exact sau aproximativ pentru multe probleme din domeniul fizicii clasice şi cuantice. Modelul oscilatorului armonic descrie deopotrivă fenomene ca oscilaţiile armonice ale sistemelor mecanice, variaţia în timp a tensiunii şi curentului electric într-un circuit LC, comportamentul rezonatorilor acustici, stările energetice ale sistemelor cuantice, etc.

Oscilatorul armonic a apărut ca model în cadrul studiilor asupra oscilaţiilor mecanice, de aceea „exemplul clasic” pentru acest model este cel din domeniul mecanicii clasice. Descrierea calitativă a diferiţilor oscilatori pot diferii substanţial de la un tip de oscilator la altul, determinările cantitative însă, date de ecuaţiile temporale ale oscilaţiilor şi expresiile matematice ale mărimilor oscilante respectiv ale parametrilor carcteritici fenomenului sunt identice ca formă algebrică. Între mărimile fizice oscilante ale diverselor sisteme există o corespondenţă prin analogie, cu alte cuvinte, dacă de exemplu, în ecuaţiile ce descriu fenomenul oscilaţiilor pentru un oscilator armonic mecanic oarecare se schimbă simbolurile cu cele analoage ale circuitelor electrice ideale de curent alternativ, atunci obţinem toate expresiile matematice corecte ce descriu complet variaţia sinusoidală a tensiunii şi curentului electric din circuit.

Oscilatorul armonic simplu

Tratarea clasică pe baza legii a doua al lui Newton

Un oscilator armonic simplu este un caz particular de oscilator armonic, caracterizat prin aceea că fenomenul oscilaţiilor se produce în lipsa unor forţe disipative sau excitante, sub acţiunea unei forţe externe care tot timpul are direcţia opusă şi valoarea proporţională cu a vectorului elongaţie, expresia unei asemenea forţe se scrie:

$F=-kx\$

utilizând Legea a doua al lui Newton,

$F=ma=-kx\,$

Unde acceleraţia $a$ este dată de derivata a doua temporală a elongaţiei $x$.

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx$

Dacă definim pulsaţia oscilatorului, prin relaţia: ${\omega _{0}}^{2}=k/m$, atunci ecuaţia mişcării se poate transcrie sub forma următoare:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0$

Aceaste este o ecuaţie diferenţială liniară ordinară şi omogenă de gradul doi, ea admite soluţia generală:

$x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}\,$

Dacă amplitudinea $A\,$ şi faza $\phi \,$ sunt determinate prin condiţiile iniţiale (date pentru un moment de timp $t_{0}=0\,$), atunci soluţia generală se poate exprima şi prin expresia:

$x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi +\pi /2)}\,$

sau de forma:

$x=C_{1}\sin {\omega _{0}t}+C_{2}\cos {\omega _{0}t}\,$

unde $C_{1}\,$ şi $C_{2}\,$ sunt două constante care se determină folosind condiţiile iniţiale.

frecvenţa oscilaţiilor este dată de expresia

$\displaystyle f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$

viteza şi acceleraţia punctului material de masă m sunt date de relaţiile:

$v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega _{0}\sin(\omega _{0}t+\phi )=C_{1}\omega _{0}\cos {\omega _{0}t}-C_{2}\omega _{0}\sin {\omega _{0}t}$

$a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega _{0}^{2}x=-A\omega _{0}^{2}\cos(\omega _{0}t+\phi )=-C_{1}\omega _{0}^{2}\sin {\omega _{0}t}-C_{2}\omega _{0}^{2}\cos {\omega _{0}t}$

energia cinetică a oscilatorului este dată de relaţia

$E_{c}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )$.

iar energia potenţială de

$E_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi )$

Prin urmare energia totală a sistemului are o valoare constantă

$E=E_{c}+E_{p}={\frac {1}{2}}kA^{2}=const.$