Vizualizare sursă pentru „Particule identice”

[[Fișier:Collision-classical-12.svg|thumb|Figura 1. Ciocnirea elastică a două particule identice în mecanica clasică.]]
[[Fișier:Collision-classical-21.svg|thumb|Figura 2. Altă stare finală posibilă în aceeași ciocnire elastică.]]
[[Fișier:Collision-quantum.svg|thumb|Figura 3. Ciocnirea elastică a două particule identice în mecanica cuantică.]]
În [[Fizică statistică|fizica statistică]], prin '''particule identice''' se înțelege o categorie de particule care nu pot fi deosebite între ele, nici măcar în principiu. La scară atomică, sunt identice [[Particulă elementară|particulele elementare]] care posedă aceleași caracteristici fundamentale ([[masă]], [[sarcină electrică]], [[Spin (fizică)|spin]]), cum sunt [[electron]]ii, [[proton]]ii și [[neutron]]ii. Dar și sisteme care au o structură internă intră în cadrul acestei definiții dacă această structură rămâne neschimbată în cadrul fenomenului studiat, de exemplu [[Nucleu atomic|nucleele atomice]] și [[atom]]ii.

În [[Mecanică statistică#Principiile mecanicii statistice clasice|mecanica statistică]] clasică, starea unui sistem de particule identice este complet determinată dacă se cunoaște starea fiecărei particule componente (poziție și [[impuls]]) la un moment inițial: ecuațiile de mișcare determină univoc starea la orice moment ulterior, fiecare particulă poate fi urmărită de-a lungul unei [[Traiectorie|traiectorii]] bine definite și își păstrează individualitatea. Situația este alta în contextul [[Mecanică cuantică|mecanicii cuantice]]: sistemul este descris de o [[Mecanică_cuantică#Funcție de stare și spațiu_Hilbert|funcție de stare]] cu [[Mecanică_cuantică#Interpretare_statistică|semnificație statistică]] și, chiar dacă particulele componente sunt bine localizate la un moment inițial, [[Mecanică_cuantică#Împrăștierea pachetului de unde|împrăștierea pachetelor de unde]] asociate și suprapunerea lor face ca ele să nu mai poată fi deosebite la un moment ulterior. Fenomenul e ilustrat de [[ciocnire]]a elastică a două particule identice: în cazul clasic, urmând traiectoriile, individualitatea particulelor, în două stări finale diferite, este evidentă (figurile 1 și 2), pe când în cazul cuantic particulele nu pot fi deosebite în starea finală (figura 3).

==Postulatul simetrizării==

Faptul că într-un sistem de particule ''identice'' acestea își pierd individualitatea și devin ''indiscernabile'' necesită o analiză a modului în care se comportă atât [[Mecanică_cuantică#Observabile și operatori hermitici|operatorii]] care reprezintă mărimi dinamice, dar mai ales funcția de stare, la [[permutare]]a lor. Considerând un sistem de N particule, numerotate arbitrar prin indicele <math>i = 1, 2, ... N  ,</math> fie <math>q_i</math> ansamblul mărimilor ce caracterizează particula cu indice ''i'' (de exemplu poziția și proiecția spinului pe o direcție dată). Operatorii și funcția de stare vor fi funcții <math>A ( q_1 , q_2 , \ldots q_N )</math>, respectiv <math>\psi ( q_1 , q_2 , \ldots q_N )</math>, de ansamblul acestor variabile. Problema este de a determina care sunt consecințele identității particulelor asupra comportării acestor funcții la permutări ale variabilelor. Permutarea generică

:<math>P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & N \\ i_1 & i_2 & \ldots & i_N \end{pmatrix}</math>

este un operator a cărui acțiune asupra unei funcții oarecare (operator observabilă sau funcție de stare) <math>f \,</math> e definită prin

:<math>P f ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) = f ( q_{i_1} , q_{i_2} , \ldots q_{i_N} ) \, .</math>

Indiscernabilitatea cere ca pentru orice variabilă dinamică să fie satisfăcută condiția

:<math>A ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) = A ( q_{i_1} , q_{i_2} , \ldots q_{i_N} ) \, ,</math>

de unde rezultă

:<math>P A ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) = A ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) P \, ,</math>

adică operatorii permutare comută cu operatorii observabilă. În particular, permutările particulelor comută cu [[Mecanică_cuantică#Dinamică și hamiltonian|hamiltonianul]]. Indiscernabilitatea mai cere ca permutările să modifice funcția de stare cel mult printr-un factor constant (dependent de permutare):

:<math>P \psi ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) = C_P \, \psi ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) \, .</math>

Analiza cazurilor posibile arată că există două categorii de funcții de stare:&nbsp;<ref>Țițeica, pp. 352–354.</ref>

:[[funcție simetrică |Funcții ''simetrice'']], pentru care <math>P \psi ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) = \psi ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) \, .</math>

:Funcții ''antisimetrice'', pentru care <math>P \psi ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) = (-1)^{\nu} \, \psi ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) \, ,</math> unde <math>\nu</math> e [[Paritatea unei permutări|paritatea]] permutării <math>P \, .</math>

Concluzia cu caracter general care se desprinde de aici, numită uneori ''postulatul simetrizării'', este:&nbsp;<ref>Messiah, p. 507.</ref>

:''Funcția de stare a unui sistem de particule identice nu poate fi decât sau simetrică, sau antisimetrică.''

===Operatori de simetrizare și antisimetrizare===

Pentru a obține o funcție simetrică sau antisimetrică, pornind de la o funcție <math>\psi ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) \,</math> oarecare, se procedează în felul următor.&nbsp;<ref>Țițeica, pp. 355–357.</ref> Numărul permutărilor a <math>N \,</math> obiecte este <math>N! \,</math> ; dintre acestea jumătate sunt pare și jumătate sunt impare. Fie <math>P_1, P_2, \ldots P_n</math> totalitatea permutărilor pare și <math>Q_1, Q_2, \ldots Q_n</math> totalitatea permutărilor impare, unde <math>n = N! / 2 \,</math> . Operatorul

:<math>S = \frac{1}{\sqrt{N!}} ( \sum_{i=1}^{n} P_i + \sum_{i=1}^{n} Q_i )\, ,</math>

numit ''operator de simetrizare'', are proprietatea că, aplicat unei funcții arbitrare, rezultatul este o funcție simetrică. Similar, ''operatorul de antisimetrizare''

:<math>A = \frac{1}{\sqrt{N!}} ( \sum_{i=1}^{n} P_i - \sum_{i=1}^{n} Q_i )</math>

conduce la o funcție antisimetrică. Dacă rezultatul antisimetrizării este identic nul, se spune că funcția inițială nu e antisimetrizabilă.

===Evoluția în timp a sistemelor de particule identice===

Întrucât permutările comută cu hamiltonianul, din ecuația lui Schrödinger rezultă că proprietatea funcției de stare de a fi simetrică sau antisimetrică se păstrează în cursul evoluției în timp a sistemului.&nbsp;<ref name="p359">Țițeica, p. 359.</ref>

==Alte postulate==
[[Fișier:Symmetricwave2.png|thumb|Figura 4. Sistem de doi bosoni identici: funcție de stare simetrică.]]
[[Fișier:Asymmetricwave2.png|thumb|Figura 5. Sistem de doi fermioni identici: funcție de stare antisimetrică.]]
Pe lângă postulatul simetrizării, funcțiile de stare ale sistemelor de particule identice sunt supuse și altor condiții restrictive, care nu decurg din principiile mecanicii cuantice, ci au la rândul lor caracter de postulate, rezultate din analiza teoretică a datelor experimentale.&nbsp;<ref>Țițeica, p. 351 și pp. 357–359.</ref> Aceste postulate ale mecanicii cuantice nerelativiste se obțin însă, în cadrul [[Teoria cuantică a câmpurilor|teoriei cuantice a câmpurilor]], drept consecințe ale unor ipoteze cu caracter foarte general.

===Bosoni și fermioni===

Studiul sistemelor de particule identice a arătat că acestea pot fi clasificate, din punctul de vedere al distribuției statistice în spațiul stărilor, în două categorii exclusive. Particulele care ascultă de [[Mecanică_statistică#Statistica Bose-Einstein (bosoni)|statistica Bose-Einstein]] au fost numite [[boson]]i; cele care urmează [[Mecanică_statistică#Statistica Fermi-Dirac (fermioni)|statistica Fermi-Dirac]] au fost numite [[fermion]]i. Calitatea de boson sau fermion este legată de proprietatea funcției de stare de a fi simetrică sau antisimetrică:

:''Funcția de stare a unui sistem de bosoni identici nu poate fi decât simetrică. Funcția de stare a unui sistem de fermioni identici nu poate fi decât antisimetrică.''

===Spin și statistică===

Calitatea de boson sau fermion este legată de spinul particulei:

:''Particulele cu spin întreg (inclusiv spin zero) sunt bosoni. Particulele cu spin semiîntreg sunt fermioni.''

===Principiul interdicției===

În cazul unui sistem de particule dinamic independente, hamiltonianul este o sumă de operatori care acționează, fiecare dintre ei, asupra unei singure particule:

:<math>\mathcal{H} ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) =  H(q_1) + H(q_2) + \cdots H(q_N) \, .</math>

Ecuația Schrödinger

:<math>\mathcal{H} \Psi = \mathcal{E} \Psi</math>

se separă în ecuații uniparticulă

:<math>H(q)\,\psi_i (q) = E_i\,\psi_i (q) \, .</math>

Soluția globală corespunzătoare este

:<math>\Psi ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) = \psi_{i_1}(q_1) \, \psi_{i_2}(q_2) \, \cdots \, \psi_{i_N}(q_N) \, , \quad \mathcal{E} = E_{i_1} + E_{i_2} + \cdots E_{i_N} \, .</math>

Această soluție, care reprezintă starea sistemului în care particula cu indice <math>i \,</math> se află în starea <math>\psi_i</math> de energie <math>E_i \,</math>, nu satisface postulatul simetrizării. Semnificație fizică au doar soluțiile obținute prin aplicarea operatorului de simetrizare sau antisimetrizare, după cum este vorba de bosoni sau de fermioni. În cazul fermionic, funcția antisimetrică se scrie compact ca ''determinant Slater'':

:<math>\Psi_A ( q_1 , q_2 , \ldots q_N ) \, = \, \frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \psi_{i_1} (q_1) & \psi_{i_2} (q_1) & \cdots & \psi_{i_N} (q_1) \\ \psi_{i_1} (q_2) & \psi_{i_2} (q_2) & \cdots & \psi_{i_N} (q_2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \psi_{i_1} (q_N) & \psi_{i_2} (q_N) & \cdots & \psi_{i_N} (q_N) \end{vmatrix} \, .</math>

În această formă, antisimetria rezultă explicit din schimbarea semnului [[Determinant (matematică)|determinantului]] la permutarea liniilor. Iar dacă două coloane sunt identice, determinantul este zero și nu poate reprezenta funcția de stare a unui sistem fizic. Acest rezultat exprimă [[principiul de excluziune]] al lui [[Wolfgang Pauli|Pauli]] (principiul interdicției):&nbsp;<ref name="p359" />

:''Stări în care doi fermioni identici au același sistem de numere cuantice sunt interzise.''

Caracteristicile sistemelor de particule identice sunt rezumate în tabelul care urmează.

{| class="wikitable" style="margin-left: 1.0em"
|+ Sisteme de particule identice
|-
| '''bosoni'''
| statistică Bose-Einstein
| funcție de stare simetrică
| spin întreg
|
|-
| '''fermioni'''
| statistică Fermi-Dirac
| funcție de stare antisimetrică
| spin semiîntreg
| principiul interdicției
|}

==Note==

<references />

==Bibliografie==

* Gottfried, Kurt și Yan, Tung-Mow: ''Quantum mechanics: fundamentals'', ed. 2-a, Springer, 2003, pp. 267–272 și pp. 503–537. ISBN 0-387-22823-2
* [[Lev Landau |L.D. Landau]], [[Evgheni Lifșiț |E.M. Lifshitz]]: ''Quantum mechanics: non-relativistic theory'', Pergamon Press, Oxford, 1991, pp. 209–220. ISBN 0-08-029140-6
* Messiah, Albert: ''Mécanique quantique'', Tome II, Dunod, Paris, 1964, pp. 496–508.
* [[Șerban Țițeica|Țițeica, Șerban]]: ''Mecanica cuantică'', Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1984, pp. 348–362.

==Vezi și==

* [[Boson]]
* [[Fermion]]
* [[Principiul de excluziune]]
* [[Mecanică_statistică#Mecanică statistică cuantică|Mecanică statistică cuantică]]

==Legături externe==

* [http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~bds10/aqp/lec11_compressed.pdf Identical particles]
* [http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_9.pdf Quantum Mechanics of Identical Particles] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150621073611/http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_9.pdf |date=2015-06-21 }}


{{Fizică cuantică}}
{{Fizică statistică}}

[[Categorie:Mecanică cuantică]]
[[Categorie:Fizică statistică]]