Inegalitatea Popoviciu pentru varianță

În teoria probabilităților, inegalitatea Popoviciu, numită după Tiberiu Popoviciu, este o margine superioară a varianței σ² oricărei distribuții de probabilitate mărginite. Fie M și m marginile superioară și inferioară ale valorilor oricărei variabile aleatoare cu o anumită distribuție de probabilitate. Atunci ingealitatea Popoviciu este:

$\sigma ^{2}\leq {\frac {1}{4}}(M-m)^{2}.$

Această inegalitate este precisă atunci când o jumătate din probabilitate este concentrată în apropierea uneia dintre cele două margini.

Sharma et al au îmbunătățit inegalitatea Popoviciu:

${\sigma ^{2}+\left({\frac {\text{Al treilea moment central}}{2\sigma ^{2}}}\right)^{2}}\leq {\frac {1}{4}}(M-m)^{2}.$

Dacă mărimea eșantionului este finită atunci inegalitatea von Szokefalvi Nagy dă o margine inferioară a varianței

$\sigma ^{2}\geq {\frac {(M-m)^{2}}{2n}}$

unde n este mărimea eșantionului.

Inegalitatea Popoviciu este mai slabă decât inegalitatea Bhatia–Davis care arată că

$\sigma ^{2}\leq (M-\mu )(\mu -m)$

unde μ este așteptarea pentru variabila aleatoare.

O margine inferioară a varianței bazată pe inegalitatea Bhatia–Davis a fost descoperită de Agarwal et al

$(M-\mu )(\mu -m)-{\frac {(M-m)^{3}}{6}}\leq \sigma ^{2}$