Funcție în scară

Vom considera pentru început funcții definite pe un interval deschis mărginit $I=(a,b)$ cu $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$.

Definiție. Funcția $s:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ se zice funcție în scară (sau etajată) pe intervalul $I=(a,b)$, dacă există o diviziune

$(d)a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k-1}<t_{k}<\cdots <t_{n}=b$

a intervalului $I=(a,b)$ încât $f$ este constantă pe fiecare dintre intervalele $I_{j}=(t_{j-1},t_{j}),j=1,2,\cdots n.$

Să notăm cu $S_{I}$ mulțimea funcțiilor în scară pe intervalul $I$. Din definiția precedentă rezultă că dacă $s\in S_{I}$ atunci există $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}\in \mathbb {R}$ încât

$s(t)=c_{1}\phi _{I_{1}}(t)+c_{2}\phi _{I_{2}}(t)+\cdots +c_{n}\phi _{I_{n}}(t),\forall t\in \bigcup _{j=1}^{n}I_{j},$

unde $\phi _{I_{j}}$ se notează funcția caracteristică a intervalului $I_{j}=(t_{j-1},t_{j}).$, adică funcția.

Remarcăm că în punctele $t_{1},t_{2},\cdots$, Tabela$_{n-1}$ funcția s poate fi definită în mod arbitrar.

Remarcă. Din definiția de mai sus rezultă că orice funcție în scară este continuă aproape peste tot^⁠(d) (căci mulțimea punctelor sale de discontinuitate este finită).

Definiție 2. Numărul real

$\int _{I}s(t)dt=\sum _{j=1}^{n}c_{j}(t_{j}-t_{j-1})$ se numește integrala Lebesque a funcției în scară $s$ pe intervalul $I=(a,b)$.

În continuare vom mai nota

$\int _{I}s(t)dt=\int _{a}^{b}s(t)dt$

Exemplu. Funcția $sign:(-1,1)\rightarrow \mathbb {R}$ este o funcție în scară pe $I=(-1,1)$ și

$\int _{-1}^{1}signtdt=-1+1=0$

Facem notațiile : $s^{+}={\frac {s+|s|}{2}},s^{-}{\frac {|s|-s}{2}},s_{1}\vee s_{2}=max\{s_{1},s_{2}\},s_{1}\wedge s_{2}=min\{s_{1},s_{2}\}$.

Teoremă. Dacă $s_{1},s_{2},s_{3}:I\rightarrow \mathbb {R}$ sunt funcții în scară pe $I=(a,b)$ și $\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {R}$ atunci $\alpha _{1}s_{1}+\alpha _{2}s_{2},|s_{1}|,s_{1}^{+},s_{1}^{-},s_{1}\vee s_{2},s_{1}\wedge s_{2}\in S_{I}$ și

$(i)\int _{I}(\alpha _{1}s_{1}+\alpha _{2}s_{2})(t)dt=\alpha _{1}\int _{I}s_{1}(t)dt+\alpha _{2}\int _{I}s_{2}(t)dt$;

$(ii)|\int _{I}s(t)dt|\leq \int _{I}|s(t)|dt$;

$(iii)s_{1}\leq s_{2}a.p.t\rightarrow \int _{I}s_{1}(t)dt\leq \int _{I}s_{2}(t)dt$;

$(iv)\forall _{c}\in \rightarrow s\in S_{(}a,c)\bigcap S(c,b)$ și $\int _{I}s(t)dt=\int _{a}^{c}s(t)dt+\int _{c}^{b}s(t)dt$