Teorema Gauss-Bonnet

Teorema Gauss-Bonnet, sau formula Gauss-Bonnet, este o teoremă importantă din domeniul suprafețelor, care face evidentă legătura dintre geometrie și topologie.

Forma locală

Fie (U, h) o parametrizare semigeodezică, cu U omeomorfă cu un disc plan deschis, compatibilă cu orientarea suprafeței orientate S. Fie $R \subset h(U) \!$ o regiune simplă și $\gamma : [0, l] \rightarrow S \!$ parametrizată canonic, pozitiv orientată astfel încât $\partial R = Im \gamma. \!$

Fie $\gamma (s_i) \!$ vârfurile lui $\gamma, \theta_i \!$ unghiurile exterioare corespunzătoare, $i=\overline { 0, k+1 }. \!$

Atunci are loc formula:

$\sum_{i=0}^k \int_{s_i}^{s_{i+1}} k_g (s) + \int \int_R K \; ds + \sum_{i=0}^k \theta_i = 2 \pi \!$

unde $k_g \!$ este curbura geodezică a arcelor diferențiale ale lui $\gamma , \!$ K este curbura gaussiană și $d \sigma\!$ este elementul de suprafață.

Demonstrație

Fie $X= \gamma'(s) \!$ (pe porțiunile diferențiale ale curbei). Avem:

$\bigg [ \frac {\nabla X}{d \mathit s} \bigg ]= \bigg [ \frac {\nabla \gamma' (s)}{d \mathit s} \bigg ] = k_g (s). \!$

Utilizăm următoarele leme:

Lema 1

$\bigg [ \frac {\nabla Y}{dt} \bigg ] - \bigg [ \frac {\nabla X}{dt} \bigg ] = \frac {d \varphi}{dt} \!$

Lema 2

Fie (U, h) o parametrizare ortogonală, X un câmp unitar pe $\gamma \!$ și $\varphi \!$ unghiul dintre $h_1 \!$ și X. Atunci:

$\bigg [ \frac {\nabla X}{d \mathit t} \bigg ] = \frac {1}{2 \sqrt {g_{11} g_{22}}} \bigg \{ \frac {\partial g_{22}}{\partial u^1} \frac {du^2}{dt} - \frac {\partial g_{11}}{\partial u^2} \frac {du^1}{dt} \bigg \} + \frac {d \varphi}{dt} \!$

Demonstrația lemei.

Normăm câmpurile $h_1 \!$ și $h_2 \!$:

$e_1 = \frac {h_1}{\sqrt {g_{11}}}, \; e_2 = \frac {h_1}{\sqrt {g_{22}}}. \!$

Atunci $e_1 \times e_2 = N \!$ și, conform lemei 1,

$\bigg [ \frac{\nabla X}{dt} \bigg ] = \bigg [ \frac {\nabla e_1}{dt} \bigg ] + \frac {d \varphi}{dt} \!$

Legături externe

• en Wolfram MathWorld
• en Maths.Manchester.ac.uk