Criteriul raportului (D'Alembert)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, criteriul raportului (D'Alembert) se aplică pentru determinarea naturii seriei infinite

\sum_{n=0}^\infty a_n

ai cărei termeni sunt numere reale sau complexe. Testul a fost prima dată publicat de Jean le Rond d'Alembert, de aceea mai este numit și criteriul lui D'Alembert. Criteriul raportului folosește numărul

L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

Criteriul raportului spune că:

  • Dacă L < 1 atunci seria este absolut convergentă.
  • Dacă L > 1 atunci seria este divergentă.
  • Daca L = 1 sau L este nedeterminat atunci natura seriei este nederminată.

Criteriul Raabe-Duhamel[modificare | modificare sursă]

Dacă L = 1 criteriul raportului nu poate dermina natura seriei studiate. O extindere a criteriului raportului este criteriul Raabe-Duhamel care permite uneori determinarea naturii seriei pentru cazul L = 1.

Criteriul Raabe-Duhamel spune că dacă pentru o serie

I

\sum_{n=0}^\infty a_n
\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1

și dacă există un număr pozitiv c astfel încât

\lim_{n\rightarrow\infty}
\,n\left(\,\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1\right)=-1-c

atunci seria este absolut convergentă.

II

Fie :

\sum_{n=0}^\infty a_n o serie cu termen par si : l=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right|, Atunci :

1. Dacă l>1 \Rrightarrow :\sum_{n=0}^\infty a_n - Convergentă

2. Dacă l<1 \Rrightarrow :\sum_{n=0}^\infty a_n - Divergentă