Criteriul raportului (D'Alembert)

În matematică, criteriul raportului (D'Alembert) se aplică pentru determinarea naturii seriei infinite

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

ai cărei termeni sunt numere reale sau complexe. Testul a fost prima dată publicat de Jean le Rond d'Alembert, de aceea mai este numit și criteriul lui D'Alembert. Criteriul raportului folosește numărul

$L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

Criteriul raportului spune că:

• Dacă L < 1 atunci seria este absolut convergentă.
• Dacă L > 1 atunci seria este divergentă.
• Daca L = 1 sau L este nedeterminat atunci natura seriei este nederminată.

Criteriul Raabe-Duhamel

Dacă L = 1 criteriul raportului nu poate dermina natura seriei studiate. O extindere a criteriului raportului este criteriul Raabe-Duhamel care permite uneori determinarea naturii seriei pentru cazul L = 1.

Criteriul Raabe-Duhamel spune că dacă pentru o serie

I

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$

și dacă există un număr pozitiv c astfel încât

$\lim_{n\rightarrow\infty} \,n\left(\,\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1\right)=-1-c$

atunci seria este absolut convergentă.

II

Fie :

$\sum_{n=0}^\infty a_n$ o serie cu termen par si :$l=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right|$, Atunci :

1. Dacă l>1 $\Rrightarrow$ :$\sum_{n=0}^\infty a_n$ - Convergentă

2. Dacă l<1 $\Rrightarrow$ :$\sum_{n=0}^\infty a_n$ - Divergentă