Triunghi ortic

Triunghiul A'B'C' este triunghiul ortic al triunghiului ABC

Triunghiul ortic este triunghiul determinat de picioarele înălțimilor unui triunghi oarecare.

Proprietăți ale triunghiului ortic

Valorile unghiurilor

Unghiurile triunghiului ortic sunt egale cu:

$\angle \ C'=\angle \ A'C'B'=\angle \ CC'A'+\angle \ CC'B'=\angle \ CAA'+\angle \ CBB'=\pi \ -2C$

$\angle \ B'=\angle \ A'B'C'=\angle \ BB'A'+\angle \ BB'C'=\angle \ BAA'+\angle \ BCC'=\pi \ -2B$

$\angle \ A'=\angle \ B'A'C'=\angle \ AA'B'+\angle \ AA'C'=\angle \ ABB'+\angle \ ACC'=\pi \ -2A$

Demonstrație: $ABA'B'$ este patrulater inscriptibil, deci $\angle \ CA'B'=\angle \ A.$ La fel se procedează și pentru celelalte unghiuri.

Lungimile laturilor

Dacă se notează $AA'=h_{a},BB'=h_{b},CC'=h_{c}$ laturile triunghiului ortic sunt egale cu:

$A'B'=c.cosC$, $B'C'=a.cosA$, $A'C'=b.cosB$

Demonstrație În Δ CB'A' se folosește teorema sinusurilor:

${\frac {CA'}{sinB}}={\frac {A'B'}{sinC}}(1)$

În triunghiul dreptunghic AA'C: $cosC={\frac {CA'}{AC}}$

$\rightarrow \ CA'=ACcosC=bcosC(2)$

Din (1) și (2):

$A'B'$ = ${\frac {CA'sinC}{sinB}}$ =${\frac {ACcosCsinC}{sinB}}$ = ${\frac {bsinCcosC}{sinB}}$ = $(2RsinC)cosC$ = $c.cosC$

Analog, se obțin și celelalte relații.

Raza cercului circumscris

Notând:

R - raza cercului circumscris triunghiului ABC;

R* - raza cercului circumscris triunghiului ortic A'B'C'.

și aplicând teorema sinusurilor acestui triunghi, se obține:

$2R^{*}={\frac {A'B'}{sinC'}}={\frac {c.cosC}{sin(\pi \ -2C)}}={\frac {c.cosC}{sin2C}}={\frac {c.cosC}{2sinCcosC}}$ = ${\frac {c}{2sinC}}=R$

Prin urmare:

$R^{*}$ = ${\frac {R}{2}}$

Vezi și

• Triunghi
• Bisectoare
• Mediatoare
• Mediană
• Linia mijlocie
• Înălțime (geometrie)
• Cercul celor nouă puncte