Inegalitatea lui Karamata

Inegalitatea lui Karamata este o inegalitate puternică bazată pe convexitate.

Forma ponderată[modificare | modificare sursă]

Teoremă. Daca f este funcție convexă pe intervalul I, atunci

$p_{1}f(x_{1})+p_{2}f(x_{2})+...+p_{n}f(x_{n})\geq p_{1}f(y_{1})+p_{2}f(y_{2})+...+p_{n}f(y_{n})$

pentru orice $x_{1}\geq x_{2}\geq ...\geq x_{n},y_{1}\geq y_{2}\geq ...\geq y_{n}$ sunt din intervalul $I$ și

$p_{1}x_{1}\geq p_{1}y_{1}$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\geq p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}$

$...$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+...+p_{n-1}x_{n-1}\geq p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+...+p_{n-1}y_{n-1}$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+...p_{n}x_{n}=p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+...+p_{n}y_{n}$ $p_{1},p_{2},...,p_{n}\geq 0$ si $n\geq 2$ dacă $f$ este strict convexă, inegalitatea are loc dacă

$(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(y_{1},y_{2},...,y_{n})$

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Pentru a demonstra inegalitatea Karamata, începem cu presupunerea că numerele xi și yi sunt în ordine descrescătoare. Inegalitatea de demonstrat este:

∑i=1nf(xi)≥∑i=1nf(yi)

pentru o funcție convexă f și șirurile {xi} și {yi} unde x majorizează y.

Presupuneri Inițiale[modificare | modificare sursă]

Presupunerea Ordinii Descrescătoare: Fără a pierde generalitatea, putem presupune că șirurile x și y sunt sortate în ordine descrescătoare.
Cazuri de Non-Egalitate:
- Dacă xi=yi pentru toți i∈{1,…,n}, atunci inegalitatea se menține cu egalitate.
- Dacă xi=yi pentru unii i∈{1,…,n}, putem elimina xi și yi din șiruri fără a afecta proprietățile de majorizare. Astfel, presupunem xi=yi pentru toți i.

Proprietatea Funcției Convexe[modificare | modificare sursă]

O proprietate cheie a funcțiilor convexe f este că pentru x=y:

x−yf(x)−f(y)

este o funcție monoton crescătoare de x pentru y fix (și viceversa). Astfel, pentru șirurile x și y:

ci+1:=xi+1−yi+1f(xi+1)−f(yi+1)≤xi−yif(xi)−f(yi):=ci

pentru toți i∈{1,…,n−1}.

Proprietățile Majorizării[modificare | modificare sursă]

Definim sumele parțiale:

Ai=∑j=1ixj,Bi=∑j=1iyj

Prin proprietatea de majorizare:

Ai≥Bi pentru toți i∈{1,…,n−1} și An=Bn

Dovada Principală[modificare | modificare sursă]

Transformăm inegalitatea într-o sumă implicând diferențele dintre Ai și Bi:

∑i=1n(f(xi)−f(yi))=∑i=1nci(xi−yi)

Folosind definițiile Ai și Bi:

∑i=1nci(xi−yi)=∑i=1nci(Ai−Ai−1−(Bi−Bi−1))

Rearanjând termenii:

∑i=1nci(Ai−Bi)−∑i=1nci(Ai−1−Bi−1)

Prin proprietățile sumei telescopice:

cn(An−Bn)+∑i=1n−1(ci−ci+1)(Ai−Bi)−c1(A0−B0)

Având în vedere că A0=B0=0 și An=Bn:

0+∑i=1n−1(ci−ci+1)(Ai−Bi)−0

Deoarece ci≥ci+1 și Ai≥Bi:

∑i=1n−1(ci−ci+1)(Ai−Bi)≥0

Astfel, am demonstrat că:

∑i=1nf(xi)≥∑i=1nf(yi)

Cazul Egalității[modificare | modificare sursă]

Pentru f strict convexă și monoton crescătoare:

Dacă f este strict convexă, ci>ci+1, există cel puțin un termen strict pozitiv în sumă.
Dacă f este monoton crescătoare, cn≥0.
Stricta convexitate și An>Bn implică inegalitate strictă în sumă, confirmând că nu poate exista egalitate.

Aceasta completează demonstrația inegalității Karamata.

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Inegalitatea lui Karamata^{[nefuncțională]}

Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.