Viteză relativă

Mișcare relativă a unui om pe un tren

Parte a seriei de articole despre
Mecanică clasică
${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ Principiul al II-lea al mecanicii
Istorie Cronologie
Ramuri Cinematică Dinamică Mecanică cerească aplicată a mediilor continue statistică Statică
Concepte Accelerație Energie cinetică potențială de rotație Forță aparentă contact frecare suprafață volum Impuls Inerție Lucru mecanic virtual Masă Moment cinetic de inerție Principiul lui D'Alembert Putere Randament mecanic Sistem de referință inerțial neinerțial Spațiu Timp Viteză relativă
Formulări Legile lui Newton Mecanică analitică Mecanică lagrangiană Mecanică hamiltoniană Ecuația Hamilton–Jacobi
Subiecte de bază Deplasare Legea atracției universale Mișcare ecuații armonică rectilinie Solid rigid
Rotație Rotație Sistem de referință în rotație Viteză unghiulară Accelerație unghiulară Forță centripetă centrifugă Forța Coriolis Frecvență Oscilație oscilator armonic amortizare Pendul conic Vibrație
Oameni de știință Galileo Huygens Newton Kepler Horrocks Halley Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Cauchy
Categorii Mecanică clasică

În fizică viteza relativă a unui obiect B față de un observator A, notată $\mathbf {v} _{B\mid A}$ (sau $\mathbf {v} _{BA}$ sau $\mathbf {v} _{B\operatorname {rel} A}$), este vectorul B măsurat în sistemul de referință în repaus^⁠(d) al lui A. Viteza relativă $v_{B\mid A}=\|\mathbf {v} _{B\mid A}\|$ este norma vectorială a vitezei relative.

În mecanica clasică

În unidimensional (nerelativist)

Se începe cu mișcarea relativă în mecanica clasică (nerelativistă sau aproximarea newtoniană), conform căreia toate vitezele sunt mult mai mici decât viteza luminii. Această limită este asociată cu transformarea Galilei. Figura de sus prezintă un om deasupra unui tren, la capătul din spate. La ora 13:00 el începe să meargă înainte cu o viteză de 10 km/h față de tren. Trenul se mișcă cu 40 km/h. Figura prezintă bărbatul și trenul în două momente diferite: mai întâi, când a început călătoria și cu o oră mai târziu, la ora 14:00. Figura sugerează că bărbatul se află la 50 km de punctul de plecare după ce a călătorit (pe jos și cu trenul) timp de o oră. Aceasta, prin definiție, este de 50 km/h, ceea ce sugerează că prescripția pentru calcularea vitezei relative în acest mod este adunarea celor două viteze.

Diagrama conține ceasuri și rigle pentru a reaminti cititorului că, deși logica din spatele acestui calcul pare impecabilă, face presupuneri false despre cum se comportă ceasurile și riglele. Pentru a recunoaște că acest model de mișcare relativă din mecanica clasică încalcă teoria relativității restrânse, se generalizează exemplul într-o ecuație:

$\underbrace {\mathbf {v} _{M\mid P}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {\mathbf {v} _{M\mid T}} _{\text{10 km/h}}+\underbrace {\mathbf {v} _{T\mid P}} _{\text{40 km/h}}$

unde $\mathbf {v} _{M\mid P}$ este viteza oMului relativ la Pământ,

    $\mathbf {v} _{M\mid T}$ este viteza oMului relativ la Tren,

    $\mathbf {v} _{T\mid P}$ este viteza oTrenului relativ la Pământ.

Expresiile complet legitime pentru „viteza lui A față de B” includ „viteza lui A față de B” și „viteza lui A în sistemul de coordonate unde B este întotdeauna în repaus”. încălcarea relativității restrânse apare deoarece această ecuație pentru viteza relativă prezice în mod fals că diferiți observatori vor măsura viteze diferite atunci când observă mișcarea luminii.

În bidimensional (nerelativist)

Viteza relativă a două particule în mecanica clasică

Figura prezintă două obiecte A și B care se mișcă cu viteză constantă. Ecuațiile mișcării sunt:

$\mathbf {r} _{A}=\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {v} _{A}t$

$\mathbf {r} _{B}=\mathbf {r} _{Bi}+\mathbf {v} _{B}t$

unde indicele i se referă la deplasarea inițială (la momentul t = 0 .) Diferența dintre cei doi vectori de deplasare, $\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}$, reprezintă poziția lui B așa cum se vede din A.

$\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}=\underbrace {\mathbf {r} _{Bi}-\mathbf {r} _{Ai}} _{\text{separarea inițială}}+\underbrace {(\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A})t} _{\text{viteza relativă}}$

Prin urmare:

$\mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A}$

După substituțiile $\mathbf {v} _{A}=\mathbf {v} _{A|C}$ și $\mathbf {v} _{B}=\mathbf {v} _{B|C}$ se obține:

$\mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B\mid C}-\mathbf {v} _{A\mid C}\Rightarrow$   $\mathbf {v} _{B\mid C}=\mathbf {v} _{B\mid A}+\mathbf {v} _{A\mid C}$

Transformare Galilei (nerelativistă)

Pentru a construi o teorie a mișcării relative compatibilă cu teoria relativității restrânse, trebuie adoptată o convenție diferită. Continuând a lucra în limita newtoniană (nerelativistă), se începe cu o transformare Galilei unidimensională:

$x'=x-vt$

$t'=t$

unde x' este poziția așa cum este văzută de un sistem de referință care se mișcă cu viteza v, în sistemul de referință convenit (x). Calculând derivata primei dintre cele două ecuații de mai sus, avem $dx'=dx-v\,dt$ și ceea ce poate părea evident afirmația $dt'=dt,$ avem:

${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v$

Pentru a obține expresiile anterioare pentru viteza relativă, se presupune că particula A urmează traiectoria definită de dx/dt în sistemul de referință convenit (prin urmare, dx′/dt′ în sistemul de referință convenit). Astfel, $dx/dt=v_{A\mid O}$ și $dx'/dt=v_{A\mid O'}$, unde $O$ și $O'$ se referă la mișcarea lui A așa cum este văzută de un observator în sistemul de referință convenit și respectiv celălalt. Se reamintește că v este mișcarea unui obiect staționar în sistemul de referință convenit, așa cum este văzută din celălalt sistem de referință. Astfel, avem $v=v_{O'\mid O}$ și:

$v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O}$

unde ultima formă are simetria așteptată.

În relativitatea restrânsă

Ca și în mecanica clasică, în relativitatea restrânsă viteza relativă $\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }$ este viteza unui obiect sau observator B în sistemul de referință în repaus al unui alt obiect sau observator A. Totuși, spre deosebire de cazul mecanicii clasice, în general în relativitatea restrânsă nu este cazul ca

$\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }=-\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }$

Această lipsă particulară de simetrie este legată de precesia Thomas^⁠(d) și de faptul că două transformări Lorentz succesive rotesc sistemul de coordonate. Această rotație nu are niciun efect asupra mărimii unui vector, prin urmare viteza relativă este simetrică.

$\|\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }\|=\|\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B|A} }=v_{\mathrm {A|B} }$

Viteze paralele

În cazul în care două obiecte se deplasează în direcții paralele, formula relativistă pentru viteza relativă este similară ca formă cu formula pentru adunarea vitezelor relativiste.

$\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}$

Viteza relativă este dată de relația:

$v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\right|}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}$

Viteze perpendiculare

În cazul în care două obiecte se deplasează în direcții perpendiculare, viteza relativistă relativă $\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }$ este dată de relația:

$\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }$

unde: $\gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}$

Viteza relativă este dară de relația

$v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}$

Cazul general

Relația generală pentru viteza relativă $\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }$ a unui obiect sau observator B în sistemul de referință în repaus al unui alt obiect sau observator A este:

$\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }+\mathbf {v} _{\mathrm {A} }(\gamma _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\right]$

unde $\gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}$

Viteza relativă este:

$v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}{\left(c^{2}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }\right)^{2}}}}}\cdot c$

Lectură suplimentară

• en Alonso & Finn, Fundamental University Physics ISBN: 0-201-56518-8
• en Greenwood, Donald T, Principles of Dynamics.
• en Goodman and Warner, Dynamics.
• en Beer and Johnston, Statics and Dynamics.
• en McGraw Hill Dictionary of Physics and Mathematics.
• en Rindler, W., Essential Relativity.
• en Khurmi R.S., Mechanics, Engineering Mechanics, Statics, Dynamics

Vezi și

• Efectul Doppler
• Mișcare proprie
• Viteză radială

Legături externe

• en Relative Motion at HyperPhysics
• en A Java applet illustrating Relative Velocity, by Andrew Duffy