Utilizator:Victor Blacus/Texte/01/02

Spațiul de configurație

Sistem de $n\,$ fermioni identici. Notație condensată pentru poziție/spin $x=\left(\mathbf {x} ,\sigma \right)$. Coordonate în spațiul de configurație $\left(x_{1},x_{2},\ldots \,x_{n}\right)$. Sistem complet ortonormat și discret de funcții uniparticulă $\{\phi _{k}\left(x\right),\;k=k_{1},k_{2},\dots \,k_{n}\}$, indici definiți de permutările

${\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\k_{1}&k_{2}&\cdots &k_{n}\end{pmatrix}}$.

Determinanți Slater:

$\Phi _{k_{1}k_{2}\ldots \,k_{n}}\left(x_{1},x_{2},\ldots \,x_{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}{\begin{vmatrix}\phi _{k_{1}}\left(x_{1}\right)&\phi _{k_{2}}\left(x_{1}\right)&\cdots &\phi _{k_{n}}\left(x_{1}\right)\\\phi _{k_{1}}\left(x_{2}\right)&\phi _{k_{2}}\left(x_{2}\right)&\cdots &\phi _{k_{n}}\left(x_{2}\right)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{k_{1}}\left(x_{n}\right)&\phi _{k_{2}}\left(x_{n}\right)&\cdots &\phi _{k_{n}}\left(x_{n}\right)\end{vmatrix}}\;$.

Notație $\left[k_{1}k_{2}\ldots k_{n}\right]$ pentru șirul indicilor $k_{1}k_{2}\ldots k_{n}$, așezați în ordine crescătoare: $k_{1}<k_{2}<\ldots <k_{n}$.

Orice funcție antisimetrică $\Psi \left(x_{1},x_{2},\ldots \,x_{n}\right)$ se poate scrie

$\Psi \left(x_{1},x_{2},\ldots \,x_{n}\right)\;=\sum _{\left[k_{1}k_{2}\ldots k_{n}\right]}A_{\left[k_{1}k_{2}\ldots k_{n}\right]}\Phi _{\left[k_{1}k_{2}\ldots k_{n}\right]}\left(x_{1},x_{2},\ldots \,x_{n}\right)$,

unde sumarea se face peste toate combinațiile de indici $k_{i}$ distincți, așezați în ordine crescătoare.

Notație:

$\Phi _{n_{1}n_{2}\ldots }\equiv \Phi _{\left[k_{1}k_{2}\ldots k_{n}\right]}$,

$A_{n_{1}n_{2}\ldots }\equiv A_{\left[k_{1}k_{2}\ldots k_{n}\right]}$,

unde $n_{1}$ e numărul de indici $k_{i}$ egali cu $1$, $n_{2}$ e numărul de indici $k_{i}$ egali cu $2$, ... etc. Cum $\{\Phi _{n_{1}n_{2}\ldots }\}$ sunt determinanți Slater $n\times n$, numerele $n_{i}$ pot avea numai valorile $0$ sau $1$ și nu există decât funcțiuni $\Phi _{n_{1}n_{2}\ldots }$ pentru care ${\begin{matrix}\sum _{i}n_{i}\end{matrix}}=n$.

Cu această notație, orice funcție antisimetrică $\Psi \left(x_{1},x_{2},\ldots \,x_{n}\right)$ se poate scrie

$\Psi \left(x_{1},x_{2},\ldots \,x_{n}\right)\;=\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }A_{n_{1}n_{2}\ldots }\;\Phi _{n_{1}n_{2}\ldots }\left(x_{1},x_{2},\ldots \,x_{n}\right)$,

unde sumarea se extinde peste toate sistemele de indici $\{n_{1}n_{2}\ldots \}$ cu $n_{i}=0,1$ și pentru care ${\begin{matrix}\sum _{i}n_{i}\end{matrix}}=n$.

Spațiul numerelor de ocupare

Indicii $\{n_{1}n_{2}\ldots \}$ sunt luați drept coordonatele punctelor $\left(n_{1},n_{2},\ldots \right)$ în spațiul infinit-dimensional al „numerelor de ocupare” $N_{\phi }$.

Componentele $\{A_{n_{1}n_{2}\ldots }\}$ sunt adunate în „funcția de indici” $A\left(n_{1},n_{2},\ldots \right)$, diferită de zero numai în subspațiul $N_{\phi }^{\left(n\right)}\subset N_{\phi }$, caracterizat prin ${\begin{matrix}\sum _{i}n_{i}\end{matrix}}=n$.

Dacă funcția $\Psi \left(x_{1},x_{2},\ldots \,x_{n}\right)$ în spațiul configurțiilor este normată

$\sum _{\sigma _{1}}\cdots \sum _{\sigma _{n}}\int d\mathbf {x} _{1}\cdots \int d\mathbf {x} _{n}{\begin{vmatrix}\;\Psi \left(x_{1},x_{2},\ldots \,x_{n}\right)\end{vmatrix}}^{2}\;=\;\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }{\begin{vmatrix}A_{n_{1}n_{2}\ldots }\end{vmatrix}}^{2}\;=\;1$,

atunci funcția $A\left(n_{1},n_{2},\ldots \right)$ în spațiul numerelor de ocupare satisface condiția

$\sum _{N_{\phi }}{\begin{vmatrix}A\left(n_{1},n_{2},\ldots \right)\end{vmatrix}}^{2}\;=\;1\;$.

Funcția antisimetrică $\Psi \left(x_{1},x_{2},\,\ldots \,x_{n}\right)$, în reprezentarea $\{\Phi _{n_{1}n_{2}\ldots }\}$ din spațiul configurațiilor, este reprezentată în spațiul numerelor de ocupare de funcția $A\left(n_{1},n_{2},\ldots \right)$. Funcția $\Phi _{n_{1}^{0}n_{2}^{0}\ldots }\left(x_{1},x_{2},\ldots \,x_{n}\right)$ are reprezentarea $\delta _{n_{1}n_{2}\ldots ;\;n_{1}^{0}n_{2}^{0}\ldots }$, cu ${\begin{matrix}\sum _{i}n_{i}^{0}\end{matrix}}=n$.

Operatori de creare și anihilare

Spațiul Fock $N_{\phi }^{\left(0\right)}\oplus N_{\phi }^{\left(1\right)}\oplus N_{\phi }^{\left(2\right)}\oplus \cdots$.

Definiții:

$a_{r}\,|n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r},\ldots \rangle =\left(-1\right)^{s_{r}}\,n_{r}\,|n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}-1,\ldots \rangle \,$,

$a_{r}^{+}\,|n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r},\ldots \rangle =\left(-1\right)^{s_{r}}\,\left(1-n_{r}\right)\,|n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}+1,\ldots \rangle$,

$s_{r}=\sum _{i=1}^{r-1}n_{i}\;$.

Relații de anticomutare:

$\left[a_{r},a_{s}\right]_{+}=0\;,\quad \left[a_{r}^{+},a_{s}^{+}\right]_{+}=0\;,\quad \left[a_{r},a_{s}^{+}\right]_{+}=\delta _{rs}\;.$

Definiții:

$\psi \left(\mathbf {x} \right)=\sum _{k}\phi _{k}\left(x\right)a_{k}\,$,

$\psi ^{+}\left(\mathbf {x} \right)=\sum _{k}\phi _{k}^{*}\left(x\right)a_{k}^{+}\,$.

Notații condensate în spațiul configurațiilor (poziție/spin): $x=\left(\mathbf {x,\sigma } \right)\,$ și $\,\delta \left(x\right)=\delta \left(\mathbf {x} \right)\,\delta _{\sigma \sigma '}\,$.

Relații de anticomutare:

$\left[\psi \left(x\right),\psi \left(x'\right)\right]_{+}=0\,$,

$\left[\psi ^{+}\left(x\right),\psi ^{+}\left(x'\right)\right]_{+}=0\,$,

$\left[\psi \left(x\right),\psi ^{+}\left(x'\right)\right]_{+}=\delta \left(x-x'\right)\,$.

Reprezentarea operatorilor

Operator simetric $\mathbb {F}$

$\mathbb {F} A\left(n_{1},n_{2},\ldots \right)\equiv \sum _{m_{1}m_{2}\ldots }F_{n_{1}n_{2}\ldots ,\,m_{1}m_{2}\ldots }\,A\left(m_{1},m_{2},\ldots \right)$

$F_{n_{1}n_{2}\ldots ,\,m_{1}m_{2}\ldots }=\sum _{\sigma _{1}}\cdots \sum _{\sigma _{n}}\int d\mathbf {x_{1}} \cdots \int d\mathbf {x_{n}} \,\Phi _{n_{1}n_{2}\ldots }^{*}\mathbb {F} \Phi _{m_{1}m_{2}\ldots }$

Cel mai general operator simetric:

$F\equiv \sum _{i=1}^{n}F^{(1)}\left(x_{i}\right)+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j>i}F^{(2)}\left(x_{i},x_{j}\right)+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j>i}\sum _{k>j}F^{(3)}\left(x_{i},x_{j},x_{k}\right)+\cdots$

Suma se poate scrie concis prin introducerea operatorului $\mathbb {F}$ asupra numerelor de ocupare:

$\mathbb {F} ={\frac {1}{1!}}\sum _{p,r}a_{p}^{+}F_{pr}^{(1)}a_{r}+{\frac {1}{2!}}\sum _{p,t}\sum _{r,s}a_{p}^{+}a_{r}^{+}F_{pr,ts}^{(2)}a_{t}a_{s}+{\frac {1}{3!}}\sum \sum \sum +\cdots$

$F_{pr}^{(1)}=\sum _{\sigma }\int dx\;\phi _{p}^{*}\left(x\right)F^{(1)}\left(x\right)\phi _{r}\left(x\right)$

$F_{pr,ts}^{(2)}=\sum _{\sigma _{1}}\sum _{\sigma _{2}}\int dx_{1}\int dx_{2}\;\phi _{p}^{*}\left(x_{1}\right)\phi _{r}^{*}\left(x_{2}\right)F^{(2)}\phi _{t}\left(x_{2}\right)\phi _{s}\left(x_{1}\right)$

$F_{...,...}^{(3)}=\cdots$

$\mathbb {F} \equiv {\frac {1}{1!}}{\begin{matrix}\sum _{\sigma }\int _{\infty }\end{matrix}}\,dx\;\psi ^{+}\left(x\right)F^{(1)}\left(x\right)\psi \left(x\right)+{\frac {1}{2!}}{\begin{matrix}\sum _{\sigma _{1}}\sum _{\sigma _{2}}\int _{\infty }\int _{\infty }\end{matrix}}\,dx_{1}\,dx_{2}\;\psi ^{+}\left(x_{1}\right)\psi ^{+}\left(x_{2}\right)F^{(2)}\left(x_{1},x_{2}\right)\psi \left(x_{2}\right)\psi \left(x_{1}\right)+$

$\quad {\frac {1}{3!}}{\begin{matrix}\sum \sum \sum \int \int \int \end{matrix}}+\cdots$

Sisteme cu număr variabil de particule, spațiu Fock, ... Trebuie puse de acord notațiile din cele două surse. Trebuie completat, fiindcă au rămas găuri.

${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{\left(0\right)}\oplus {\mathcal {H}}^{\left(1\right)}\oplus {\mathcal {H}}^{\left(2\right)}\oplus \cdots {\mathcal {H}}^{\left(n\right)}\oplus \cdots$

$|\Psi \rangle \longrightarrow {\begin{bmatrix}\Psi ^{\left(0\right)}\\\Psi ^{\left(1\right)}\left(x_{1}\right)\\\Psi ^{\left(2\right)}\left(x_{1},x_{2}\right)\\\vdots \\\Psi ^{\left(n\right)}\left(x_{1},x_{2},\,\ldots \,x_{n}\right)\\\vdots \end{bmatrix}}$

$\psi \left(x\right){\begin{bmatrix}\Psi ^{\left(0\right)}\\\Psi ^{\left(1\right)}\left(x_{1}\right)\\\Psi ^{\left(2\right)}\left(x_{1},x_{2}\right)\\\vdots \\\Psi ^{\left(n\right)}\left(x_{1},x_{2},\,\ldots \,x_{n}\right)\\\vdots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {1}}\,\Psi ^{\left(1\right)}\left(x\right)\\{\sqrt {2}}\,\Psi ^{\left(2\right)}\left(x,x_{1}\right)\\{\sqrt {3}}\,\Psi ^{\left(3\right)}\left(x,x_{1},x_{2}\right)\\\vdots \\{\sqrt {n+1}}\,\Psi ^{\left(n+1\right)}\left(x,x_{1},x_{2},\,\ldots \,x_{n}\right)\\\vdots \end{bmatrix}}$

$\psi ^{+}\left(x\right){\begin{bmatrix}\Psi ^{\left(0\right)}\\\Psi ^{\left(1\right)}\left(x_{1}\right)\\\Psi ^{\left(2\right)}\left(x_{1},x_{2}\right)\\\vdots \\\Psi ^{\left(n\right)}\left(x_{1},x_{2},\,\ldots \,x_{n}\right)\\\vdots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {1}}}\,\epsilon \delta \left(x-x_{1}\right)\Psi ^{\left(0\right)}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\{\epsilon \delta \left(x-x_{1}\right)\Psi ^{\left(1\right)}\left(x_{2}\right)+\epsilon ^{2}\delta \left(x-x_{2}\right)\Psi ^{\left(1\right)}\left(x_{1}\right)\}\\\vdots \\{\frac {1}{\sqrt {n}}}\,\sum _{k=1}^{n}\epsilon ^{k}\delta \left(x-x_{k}\right)\Psi ^{\left(n-1\right)}\left(x_{1},\ldots \,x_{k-1},x_{k+1},\ldots \,x_{n}\right)\\\vdots \end{bmatrix}}$

Referințe

• M.G.: Metoda cuantificării a doua, Note manuscrise, 1954.
• Silvan S. Schweber: An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory, Dover, 2005; E-book.