Unitate (teoria inelelor)

În algebră, o unitate sau element inversabil al unui inel este un element simetrizabil în raport cu înmulțirea inelului. Adică, un element u al unui inel R este o unitate dacă există v în R astfel încât $$vu=uv=1,$$unde 1 este elementul unitate; elementul v este unic și se numește inversul multiplicativ al lui u. Mulțimea unităților lui R formează un grup R^× în raport cu înmulțirea, numit grupul unităților lui R. Alte notații pentru grupul unităților sunt R^∗, U(R) și E(R) (din termenul german Einheit).

Mai rar, termenul „unitate” este uneori folosit pentru a desemna elementul 1 al inelului, în expresii precum „inel cu unitate” sau „matrice unitate”. Din cauza acestei ambiguități, 1 este mai frecvent numit „elementul unitate” sau „identitatea” inelului, iar expresiile „inel cu element unitate” sau „inel cu identitate” pot fi folosite pentru a sublinia faptul că se consideră un inel, nu un pseudoinel.

Exemple

Identitatea multiplicativă 1 și opusul său −1 sunt întotdeauna unități. Mai general, orice rădăcină a unității într-un inel R este o unitate: dacă rⁿ = 1, atunci rⁿ⁻¹ este inversul multiplicativ al lui r. Într-un inel nenul, elementul 0 nu este o unitate, deci R^× nu este închis la adunare. Un inel nenul R în care fiecare element nenul este o unitate (adică R^× = R ∖ {0}) se numește corp. Un corp în care operația de înmulțire este comutativă se numește corp comutativ. De exemplu, grupul unităților corpului numerelor reale R este R ∖ {0}.

Inel întreg

În inelul de numere întregi Z, singurele unități sunt 1 și −1 .

În inelul Z/nZ al claselor de resturi modulo n, unitățile sunt clasele de congruență (mod n) reprezentate de numere întregi coprime cu n. Acestea constituie grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n.

Inel de întregi al unui corp de numere algebrice

În inelul Z[√3] obținut prin adjuncționarea întregului pătratic √3 la Z, avem (2 + √3)(2 − √3) = 1, deci 2 + √3 este o unitate, la fel și puterile sale, deci Z[√3] are o infinitate de unități.

Mai general, pentru inelul de întregi R al unui corp de numere algebrice F, teorema unităților a lui Dirichlet afirmă că R^× este izomorf cu grupul $$\mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}$$ unde $\mu _{R}$ este grupul (finit, ciclic) al rădăcinilor unității în R, iar n, rangul grupului unităților, este $$n=r_{1}+r_{2}-1,$$ unde $r_{1},r_{2}$ sunt numărul de scufundări reale și respectiv numărul de perechi de scufundări complexe ale lui F.

Aceasta susține exemplul cu Z[√3]: Grupul unităților al (inelului de întregi al) unui corp pătratic real este infinit de rang 1, deoarece $r_{1}=2,r_{2}=0$.

Polinoame și serii de puteri

Pentru un inel comutativ R, unitățile inelului de polinoame R[x] sunt polinoamele $$p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$$ pentru care a₀ este o unitate în R și coeficienții rămași $a_{1},\dots ,a_{n}$ sunt elemente nilpotente, adică satisfac $a_{i}^{N}=0$ pentru un anumit N. În particular, dacă R este un domeniu (sau, mai general, redus), atunci unitățile lui R[x] sunt unitățile lui R. Unitățile inelului de serii de puteri $R[[x]]$ sunt seriile de puteri $$p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$$ cu a₀ o unitate în R.

Inele de matrici

Grupul unităților inelului M_n(R) de matrici n × n peste un inel R este grupul GL_n(R) de matrici inversabile. Pentru un inel comutativ R, un element A al lui M_n(R) este inversabil dacă și numai dacă determinantul lui A este inversabil în R. În acest caz, A⁻¹ se poate exprima explicit în funcție de matricea adjunctă.

În general

Pentru elementele x și y dintr-un inel R, dacă $1-xy$ este inversabil, atunci $1-yx$ este inversabil cu inversa $1+y(1-xy)^{-1}x$; această formulă poate fi ghicită, dar nu demonstrată, prin următorul calcul într-un inel de serii de puteri necomutative: $$(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y{\biggl (}\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}{\biggr )}x=1+y(1-xy)^{-1}x.$$ Vezi identitatea lui Hua pentru rezultate similare.

Grupul unităților

Un inel comutativ este un inel local dacă R ∖ R^× este un ideal maximal.

Dacă R ∖ R^× este un ideal, atunci este în mod necesar un ideal maximal și R este local, deoarece un ideal maximal nu are elemente comune cu R^×.

Dacă R este un corp finit, atunci R^× este un grup ciclic de ordin | R | − 1.

Orice morfism de inele f : R → S induce un morfism de grupuri R^× → S^×, deoarece f trimite unitățile în unități. De fapt, formarea grupului unităților definește un functor de la categoria inelelor la categoria grupurilor. Acest functor are un adjunct stâng care este construcția inelului de grup peste Z.

Asociere

În cele ce urmează R este presupus comutativ. Elementele r și s ale lui R se numesc asociate dacă există o unitate u în R astfel încât r = us; acest lucru se notează r ~ s. În orice inel, perechile de elemente opuse x și −x sunt asociate, deoarece orice inel conține unitatea −1. De exemplu, 6 și −6 sunt asociate în Z. În general, ~ este o relație de echivalență pe R.

Asocierea poate fi descrisă și pe baza acțiunii lui R^× pe R prin înmulțire: Două elemente ale lui R sunt asociate dacă se află în aceeași R^×-orbită.

Într-un domeniu de integritate, mulțimea elementelor asociate cu un element nenul dat are același cardinal ca R^×.

Relația de echivalență ~ poate fi privită ca oricare dintre relațiile de semigrup ale lui Green aplicate semigrupului multiplicativ al unui inel comutativ R.

Bibliografie

• Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (ed. Revised ed. of Algebra, 2nd). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001. 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (ed. 3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. 
• Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra 1 (ed. 2nd). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. 
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X. 
• Watkins, John J. (2007), Topics in commutative ring theory, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, MR 2330411 
• Weil, André (1974). Basic number theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 144 (ed. 3rd). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58655-5.