Transformare Galilei

În fizică o transformare Galilei este utilizată pentru a aplica între coordonatele a două sisteme de referință care diferă doar prin mișcarea relativă constantă în cadrul abordărilor din mecanica clasică. Aceste transformări, împreună cu rotațiile și translațiile în spațiu și timp, formează grupul galileian neomogen (presupus în continuare). Fără translațiile în spațiu și timp, grupul este grupul galileian omogen. Grupul galileian este grupul de mișcări ale relativității (invarianței) galileiene, care acționează asupra celor patru dimensiuni ale spațiului și timpului, formând geometria galileiană. Acesta este punctul de vedere al transformării pasive^⁠(d). În teoria relativității restrânse, transformările Galilei omogene și neomogene sunt, înlocuite de transformările Lorentz, respectiv de transformările Poincaré. Invers, contracția grupului^⁠(d) în limita clasică^⁠(d) $c \to \infty$ a transformărilor Poincaré produce transformările Galilei.

Ecuațiile de mai jos sunt valide din punct de vedere fizic doar într-un sistem de referință newtonian și nu sunt aplicabile sistemelor de coordonate care se mișcă unele față de altele la viteze care se apropie de viteza luminii.

Galileo Galilei a formulat aceste concepte în descrierea sa a mișcării uniforme.^[1] Subiectul a fost motivat de descrierea mișcării unei bile care se rostogolește pe un plan înclinat, prin care a măsurat valoarea numerică a accelerației gravitaționale în apropierea suprafeței Pământului.

Translație

Deși transformările sunt numite după Galileo, spațiul și timpul absolut^⁠(d) așa cum au fost concepute de Isaac Newton le definesc domeniul de definiție. În esență, transformările Galilei întruchipează noțiunea intuitivă de adunare și scădere a vitezelor ca vectori.

Notația de mai jos descrie relația pentru transformarea Galilei dintre coordonatele $(x, y, z, t)$ și $(x', y', z', t')$ ale unui singur eveniment arbitrar, măsurat în două sisteme de coordonate $S$ și $S',$ în mișcare relativă uniformă (cu viteza $v$ ) în direcțiile lor comune $x$ și $x'$ , cu originile lor spațiale coincizând la momentul respectiv $t = t' = 0$ :^[2]^[3]^[4]^[5]

x'=x-vt

y'=y

z'=z

t'=t

De reținut că ultima ecuație este valabilă pentru toate transformările Galilei până la adăugarea unei constante și exprimă ipoteza unui timp universal independent de mișcarea relativă a diferiților observatori.

În algebra liniară această transformare este descrisă cu o matrice care acționează asupra unui vector. Într-o mișcare paralelă cu axa $x$ transformarea acționează doar asupra a două componente:

{\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}

Deși reprezentările matriciale nu sunt strict necesare pentru transformarea Galilei, ele oferă mijloacele pentru compararea directă cu metodele de transformare din relativitatea restrânsă.

Transformările Galilei

Simetriile Galilei pot fi scrise în mod unic sub forma compunerii^⁠(d) unei rotații, a unei translații și a unei mișcări uniforme a spațiu-timpului.^[6] Fie $x$ un punct în spațiu-timpul tridimensional și $t$ un punct în timpul unidimensional. Un punct general în spațiu-timp este dat de o pereche ordonată $(x, t).$

O mișcare uniformă cu viteza $v$ este dată de:

(\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t)

unde $v \in R 3$ .
O translație este dată de:

(\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+s)

unde $a \in R 3$ și $s \in R$ .
O rotație este dată de:

(\mathbf {x} ,t)\mapsto (R\mathbf {x} ,t)

unde $R : R 3 \to R 3$ este o transformare ortogonală^⁠(d).^[6]

Ca grup Lie, grupul transformărilor Galilei are dimensiunea 10.^[6]

Note

^ it Galilei 1638i, 191–196.
en Copernicus et al. 2002, pp. 515–520.
^ en Mould 2002, Chapter 2 §2.6, p. 42.
^ en Lerner 1996, Chapter 38 §38.2, p. 1046,1047.
^ en Serway & Jewett 2006, Chapter 9 §9.1, p. 261.
^ en Hoffmann 1983, Chapter 5, p. 83.
^ ^a ^b ^c en Arnold 1989, p. 6.

Bibliografie

en Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (ed. 2). Springer-Verlag. p. 6. ISBN 0-387-96890-3.
en Copernicus, Nicolaus; Kepler, Johannes; Galilei, Galileo; Newton, Isaac; Einstein, Albert (2002). Hawking, Stephen, ed. On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy. Philadelphia, London: Running Press. pp. 515–520. ISBN 0-7624-1348-4.
en Galilei, Galileo (1638). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze (în italiană). Leiden: Elsevier. pp. 191–196.
en Galilei, Galileo (1638). Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences [Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze]. Translated to English 1914 by Henry Crew and Alfonso de Salvio.
en Lerner, Lawrence S. (1996), Physics for Scientists and Engineers, 2, Jones and Bertlett Publishers, Inc, ISBN 0-7637-0460-1 , Chapter 38 §38.2, p. 1046,1047
en Mould, Richard A. (2002), Basic relativity, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95210-1 , Chapter 2 §2.6, p. 42
en Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006), Principles of Physics: A Calculus-based Text (ed. 4th), Brooks/Cole - Thomson Learning, Bibcode:2006ppcb.book.....J, ISBN 0-534-49143-X , Chapter 9 §9.1, p. 261

Lectură suplimentară

en Bargmann, Valentine (1954). „On Unitary Ray Representations of Continuous Groups”. Annals of Mathematics. 2. 59 (1): 1–46. doi:10.2307/1969831. JSTOR 1969831.
en Gilmore, Robert (2006). Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications. Dover Books on Mathematics. Dover Publications. ISBN 0486445291.
en Hoffmann, Banesh (1983), Relativity and Its Roots, Scientific American Books, ISBN 0-486-40676-8 , Chapter 5, p. 83
en Nadjafikhah, Mehdi; Forough, Ahmad-Reza (2009). „Galilean Geometry of Motions” (PDF). Applied Sciences. 11: 91–105.

Vezi și

Portal Fizică

[1] t Galilei 1638i, 191–196.
en Copernicus et al. 2002, pp. 515–520.

[2] Mould 2002, Chapter 2 §2.6, p. 42.

[3] Lerner 1996, Chapter 38 §38.2, p. 1046,1047.

[4] Serway & Jewett 2006, Chapter 9 §9.1, p. 261.

[5] Hoffmann 1983, Chapter 5, p. 83.

[mmcm-6] Arnold 1989, p. 6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]