Teorema lui Napoleon

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Teorema lui Napoleon

În geometrie, teorema zisă a lui Napoleon este o problemă de geometrie sintetică.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Dat fiind un triunghi oarecare ΔABC, pe laturile acestuia se construiesc în exterior trei triunghiuri echilaterale: ΔABZ, ΔBCX și ΔACY (sau toate trei în interior). Să se arate că centrele N, L și respectiv M ale triunghiurilor construite formează un triunghi echilateral.

Soluția cu triunghiuri asemenea[modificare | modificare sursă]

Triunghiurile ΔAMC și ΔANZ sunt asemenea, pentru că au unghiuri corespondente egale de 30°, 30° și respectiv 120°. De aici rezultă AM/AN = AC/AZ.

Aceasta, împreună cu egalitatea unghiurilor \sphericalangle MAN și \sphericalangle CAZ, implică asemănarea triunghiurilor ΔAMN ~ ΔACZ, cu raportul de asemănare AC/AM = √3 = CZ/MN

Similar se obține CZ/LN = √3, de unde rezultă MN = LN.

Același raționament de mai sus se aplică pentru a arata că LN = ML.

În concluzie MN = LN = ML, deci triunghiul MNL este echilateral.

Soluție cu numere complexe[modificare | modificare sursă]

Se notează j = e^{i\frac{2\pi}{3}} (rădăcina cubică a unității).

Înzestrând planul complex cu un reper ortonormat. fie a, b, c, l, m și n afixele punctelor A, B, C, L, M și N în acest reper.

Prin construcție, A este imaginea lui B prin rotație de centru N și unghi \textstyle{+\frac{2\pi}{3}}, ceea ce se traduce prin :

(a-n) = j(b-n).

La fel:

(b-l) = j(c-l)\quad\text{și}\quad(c-m) = j(a-m).

Se deduce:

(1-j)n = a-jb,\quad(1-j)l = b-jc\quad\text{și}\quad (1-j)m = c-ja.

Cum însă \textstyle{\frac{1}{j}+1+j = 0} și j^3 = 1, se obține:

\begin{align}(1-j)(m-n)&=(-1-j)a+jb+c\\
&= j^2a+j^4b+j^3c\\
&= -j^2[-a+(1+j)b-jc]\\
&= -j^2[(b-jc)-(a-jb)]\\
&= -j^2(1-j)(l-n)\end{align}

Împărțind la (1-j) rezultă (m-n) = -j^2(l-n) sau \scriptstyle(m-n) = e^{i\frac{\pi}{3}}(l-n).

M este imaginea lui L prin rotație de centru N și unghi \textstyle{+\frac{\pi}{3}} deci NLM este un triunghi echilateral.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Pentru alte probleme care au soluții cu triunghiuri asemenea:

Culegeri de probleme[modificare | modificare sursă]

  • Grigore Gheba, Exerciții și probleme de matematică, clasele V-VIII, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1975
  • G. Țițeica, Probleme de geometrie, ediția a VI-a, Editura Tehnică București, 1961.
  • W. J. Lougheed and J. G. Workman, Geometry for High Schools, The Macmillan Company of Canada Limited, 1935

Legături externe[modificare | modificare sursă]