Teorema lui Napoleon

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Teorema lui Napoleon

În geometrie, teorema zisă a lui Napoleon este o problemă de geometrie sintetică.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Dat fiind un triunghi oarecare ΔABC, pe laturile acestuia se construiesc în exterior trei triunghiuri echilaterale: ΔABZ, ΔBCX și ΔACY (sau toate trei în interior). Să se arate că centrele N, L și respectiv M ale triunghiurilor construite formează un triunghi echilateral.

Soluția cu triunghiuri asemenea[modificare | modificare sursă]

Triunghiurile ΔAMC și ΔANZ sunt asemenea, pentru că au unghiuri corespondente egale de 30°, 30° și respectiv 120°. De aici rezultă AM/AN = AC/AZ.

Aceasta, împreună cu egalitatea unghiurilor MAN și CAZ, implică asemănarea triunghiurilor ΔAMN ~ ΔACZ, cu raportul de asemănare AC/AM = √3 = CZ/MN

Similar se obține CZ/LN = √3, de unde rezultă MN = LN.

Același raționament de mai sus se aplică pentru a arata că LN = ML.

În concluzie MN = LN = ML, deci triunghiul MNL este echilateral.

Soluție cu numere complexe[modificare | modificare sursă]

Se notează (rădăcina cubică a unității).

Înzestrând planul complex cu un reper ortonormat. fie a, b, c, l, m și n afixele punctelor A, B, C, L, M și N în acest reper.

Prin construcție, A este imaginea lui B prin rotație de centru N și unghi , ceea ce se traduce prin :

La fel:

Se deduce:

Cum însă și , se obține:

Împărțind la rezultă sau .

M este imaginea lui L prin rotație de centru N și unghi deci este un triunghi echilateral.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Pentru alte probleme care au soluții cu triunghiuri asemenea:

Culegeri de probleme[modificare | modificare sursă]

  • Grigore Gheba, Exerciții și probleme de matematică, clasele V-VIII, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1975
  • G. Țițeica, Probleme de geometrie, ediția a VI-a, Editura Tehnică București, 1961.
  • W. J. Lougheed and J. G. Workman, Geometry for High Schools, The Macmillan Company of Canada Limited, 1935

Legături externe[modificare | modificare sursă]