Regula lui Cramer

În algebră liniară regula lui Cramer este o formulă explicită pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare cu tot atâtea ecuații câte necunoscute, valabilă ori de câte ori sistemul are o soluție unică. Ea exprimă soluția în funcție de determinanții matricei coeficienților (pătrată) și ai matricilor obținute din aceasta prin înlocuirea unei coloane cu vectorul coloană din membrul drept al ecuațiilor. Este numită după Gabriel Cramer, care a publicat regula pentru un număr arbitrar de necunoscute în 1750, deși Colin Maclaurin a publicat și el în 1748 cazuri particulare ale regulii și probabil că știa de asta încă din 1729.

Regula lui Cramer implementată într-un mod naiv este ineficientă din punct de vedere computațional pentru sistemele cu mai mult de două sau trei ecuații. În cazul a necuații cu n necunoscute este necesar calculul a n + 1 determinanți, în timp ce eliminarea gaussiană obține același rezultat (până la un factor constant independent de $n$) cu aceeași complexitate de calcul^⁠(d) ca și calculul unui singur determinant. Mai mult, algoritmul Bareiss este o modificare simplă a eliminării gaussiene care produce într-un singur calcul o matrice ale cărei elemente nenule sunt determinanții implicați în regula lui Cramer.

Cazul general

Fie un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute, reprezentat sub formă de înmulțire a matricilor după cum urmează:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

unde matricea A n × n are determinantul nenul, iar vectorul $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}$ este vectorul coloană al variabilelor. Atunci teorema afirmă că în acest caz sistemul are o soluție unică, valorile necunoscutelor fiind date de:

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n$

unde $A_{i}$ este matricea formată prin înlocuirea celei de a i-a coloană a lui A cu vectorul coloană b.

O versiune mai generală a regulii lui Cramer consideră ecuația matricială

$AX=B$

unde matricea A n × n aer determinantul nenul, iar X și B sunt matrici n × m. Fiind date secvențele $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n$ și $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq m,$ fie $X_{I,J}$ submatricea k × k a lui X cu liniile în $I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ și coloanele în $J:=(j_{1},\ldots ,j_{k}).$ Fie $A_{B}(I,J)$ matricea n × n formată prin înlocuirea coloanei $i_{s}$ din A cu cea de a $j_{s}$-a coloană din B, pentru toate $s=1,\ldots ,k$. Atunci

$\det X_{I,J}={\frac {\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}}$

În cazul $k=1$ aceasta se reduce la regula lui Cramer obișnuită.

Regula este valabilă pentru sistemele de ecuații cu coeficienți și necunoscute din orice corp, nu doar din cel al numerelor reale.

Demonstrație

Demonstrația regulii lui Cramer folosește următoarele proprietăți ale determinanților: liniaritatea în raport cu orice coloană dată și faptul că determinantul este nul ori de câte ori două coloane sunt egale, ceea ce se datorează proprietății că semnul determinantului se inversează dacă se permută două coloane.

Se alege indicele j al unei coloane și fie ca elementele din celelalte coloane să aibă valori fixe. Aceasta face ca determinantul să fie în funcție doar de elementele din cea de a j-a coloană. Liniaritatea acestei coloane înseamnă că această funcție are forma:

$D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j}$

unde $C_{i,j}$ sunt coeficienți care depind de elementele lui A care nu se află în coloana j. Deci, avem

$\det(A)=D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j}$

(Teorema lui Laplace dă o formulă pentru calcularea coeficienților $C_{i,j},$ dar expresia lor nu este importantă aici.)

Dacă funcția $D_{j}$ este aplicată oricărei alte coloane k din A, atunci rezultatul este determinantul matricei obținute din A prin înlocuirea coloanei j cu o copie a coloanei k, deci determinantul rezultat este nul (cazul a două coloane egale).

Acum fie un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute $x_{1},\ldots ,x_{n},$ a cărui matrice de coeficienți este A, presupunând că det(A) este nenul:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}$

Dacă se combină aceste ecuații luând de C_1,j ori prima ecuație, plus de C_2,j ori a doua și așa mai departe până la de C_n,j ori ultima, atunci pentru fiecare k coeficientul rezultat al lui x_k devine:

$D_{j}(a_{1,k},\ldots ,a_{n,k})$

Deci, toți coeficienții devin zero, cu excepția coeficientului lui $x_{j}$ care devine $\det(A).$ Similar, coeficientul constant devine $D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),$ iar astfel ecuația rezultată este:

$\det(A)x_{j}=D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n})$

care dă valoarea lui $x_{j}$ ca:

$x_{j}={\frac {1}{\det(A)}}D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n})$

Întrucât, prin construcție, numărătorul este determinantul matricei obținute din A prin înlocuirea coloanei j cu b, obținem expresia regulii lui Cramer ca o condiție necesară pentru o soluție.

Rămâne de demonstrat că aceste valori pentru necunoscute formează o soluție. Fie M matricea n × n care are coeficienții lui $D_{j}$ ca a j-a linie, pentru $j=1,\ldots ,n$ (aceasta este matricea conjugată^⁠(d) a lui A). Exprimat în termeni matriciali, trebuie așadar demonstrat că:

$\mathbf {x} ={\frac {1}{\det(A)}}M\mathbf {b}$

este o soluție, adică

$A\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\mathbf {b} =\mathbf {b}$

Pentru asta, este suficient de denonstrat că

$A\,\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)=I_{n}$

unde $I_{n}$ este matricea unitate.

Proprietățile de mai sus ale funcțiilor $D_{j}$ arată că MA = det(A)I_n, prin urmare:

$\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\,A=I_{n}$

Asta completează demonstrația deoarece un invers la stânga al unei matrice pătrate este și un invers la dreapta (v. Teorema matricei inversabile).

Obținerea matricei inverse

Articol principal: Inversarea matricilor

Fie A o matrice n × n cu elemente din corpul F. Atunci

$A\,{\bar {A}}={\bar {A}}\,A=\det(A)I$

unde ${\bar {A}}$ este matricea conjugată, det(A) este determinantul, iar I este matricea unitate. Dacă det(A) este nenul, atunci matricea inversă a lui A este

$A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\bar {A}}$

Aceasta dă o formulă pentru inversa lui A, cu condiția ca det(A) ≠ 0. De fapt, această formulă funcționează ori de câte ori F este un inel comutativ, cu condiția ca det(A) să fie o unitate. Dacă det(A) nu este o unitate, atunci A nu este inversabilă peste inel (poate fi inversabilă peste un inel mai mare în care unele elemente neunitare ale lui F pot fi inversabile).

Aplicații

Relații explicite pentru sisteme mici

Fie sistemul liniar

$\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y&={\color {red}c_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y&={\color {red}c_{2}}\end{matrix}}\right.$

care în format matricial este

${\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}c_{1}}\\{\color {red}c_{2}}\end{bmatrix}}$

Se presupune că a₁b₂ − b₁a₂ nu este nul. Atunci, cu ajutorul determinanților x și y, cu regula lui Cramer se obține:

${\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}{c_{1}}}&b_{1}\\{\color {red}{c_{2}}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}{c_{1}}}\\a_{2}&{\color {red}{c_{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\end{aligned}}$

Regula pentru matrici 3 × 3 este similară. Fie

$\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z&={\color {red}d_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&={\color {red}d_{2}}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&={\color {red}d_{3}}\end{matrix}}\right.$

care în format matricial este

${\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}d_{1}}\\{\color {red}d_{2}}\\{\color {red}d_{3}}\end{bmatrix}}$

Valorile lui x, y și z sunt:

$x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}d_{1}}&b_{1}&c_{1}\\{\color {red}d_{2}}&b_{2}&c_{2}\\{\color {red}d_{3}}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}d_{1}}&c_{1}\\a_{2}&{\color {red}d_{2}}&c_{2}\\a_{3}&{\color {red}d_{3}}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&{\color {red}d_{1}}\\a_{2}&b_{2}&{\color {red}d_{2}}\\a_{3}&b_{3}&{\color {red}d_{3}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}}$

În geometria diferențială

În calculul Ricci

Regula lui Cramer este folosită în calculul Ricci^⁠(d) în diverse calcule cu sinboluri Christoffel^⁠(d) de ordinul întâi și al doilea.

În particular, regula lui Cramer poate fi utilizată pentru a demonstra că operatorul de divergență pe o varietate riemanniană^⁠(d) este invariant în raport cu schimbarea coordonatelor. Iată o demonstrație directă, eliminând rolul simbolurilor Christoffel.

Fie $(M,g)$ o varietate riemanniană cu coordonatele locale $(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}).$ Fie $A=A^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ un câmp vectorial. Se folosește notația Einstein^⁠(d) peste tot.

Teoremă.

Divergența lui $A$,

$\operatorname {div} A={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right)$

este invariantă față de schimbarea de coordonate.

Demonstrație

Fie $(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n})\mapsto ({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n})$ o transformare de coordonate cu Jacobianul⁠(d) nesingular. Atunci legile clasice de transformare a coordonatelor implică faptul că $A={\bar {A}}^{k}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}$ unde ${\bar {A}}^{k}={\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{j}}}A^{j}.$ Similar, dacă $g=g_{mk}\,dx^{m}\otimes dx^{k}={\bar {g}}_{ij}\,d{\bar {x}}^{i}\otimes d{\bar {x}}^{j},$ atunci ${\bar {g}}_{ij}={\frac {\partial x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}g_{mk}.$ Scrierea legii transformării în formă matricială dă ${\bar {g}}=\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\text{T}}g\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right),$ ceea ce implică $\det {\bar {g}}=\left(\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)\right)^{2}\det g.$ Acum se calculează ${\begin{aligned}\operatorname {div} A&={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right)\\&=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}{\bar {A}}^{\ell }\det \!\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\!\!-1}\!{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right)\end{aligned}}$ Pentru a demonstra că aceasta este egală cu ${\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\bar {A}}^{k}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right)$ este necesar și suficient de arătat că ${\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \!\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\!\!\!-1}\right)=0\qquad {\text{pentru toate}}\ell$ ceea ce este echivalent cu ${\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{\ell }}}$ Efectuând derivarea membrului stâng se obține: ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)&=(-1)^{i+j}{\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}\det M(i|j)\\&={\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {(-1)^{i+j}}{\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}}\det M(i|j)=(\ast )\end{aligned}}$ unde $M(i|j)$ este matricea obținută din $\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)$ ștergând a $i$-lea linie și a $j$-a coloană. Dar regula lui Cramer spune că ${\frac {(-1)^{i+j}}{\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}}\det M(i|j)$ este al $(j,i)$-lea element al matricei $\left({\frac {\partial {\bar {x}}}{\partial x}}\right)$ Ca urmare: $(\ast )=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{i}}}$ încheind demonstrația.

Calculul implicit al derivatelor

Fie două ecuații $F(x,y,u,v)=0$ și $G(x,y,u,v)=0\,.$ Dacă u și v sunt variabile independente, se pot defini $x=X(u,v)$ și $y=Y(u,v).$

O ecuație pentru ${\dfrac {\partial x}{\partial u}}$ poate fi obținută cu regula lui Cramer.

Calculul lui ${\dfrac {\partial x}{\partial u}}$

Pentru început, se calculează primele derivate ale lui F, G, x, și y: ${\begin{aligned}dF&={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0\\[6pt]dG&={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0\\[6pt]dx&={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv\\[6pt]dy&={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv\end{aligned}}$ Înlocuind dx, dy în dF și dG se obține: ${\begin{aligned}dF&=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0\\[6pt]dG&=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0\end{aligned}}$ Deoarece u, v sunt independente, coeficienții lui du, dv trebuie să fie nuli. Deci se pot scrie ecuațiile pentru coeficienți: ${\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial F}{\partial u}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial G}{\partial u}}\\[6pt]{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial F}{\partial v}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial G}{\partial v}}\end{aligned}}$ Acum, din regula lui Cramer se observă că: ${\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}$ Aceasta este p relație în fucție de doi jacobieni: ${\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (u,y)}}\right)}{\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (x,y)}}\right)}}$ Formule similare se pot obține pentru ${\frac {\partial x}{\partial v}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial v}}$

În optimizări liniare cu numere întregi

Regula lui Cramer poate fi utilizată pentru a demonstra că o problemă de optimizare liniară cu numere întregi^⁠(d) a cărei matrice de constrângeri este total unimodulară^⁠(d) și a cărui membru drept este un număr întreg, are soluții de bază în numere întregi. Acest lucru face ca problema în numere întregi să fie substanțial mai ușor de rezolvat.

Ecuații diferențiale ordinare

Regula lui Cramer este utilizată pentru a obține soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare neomogene prin metoda variației parametrilor^⁠(d).

Exemple

Sisteme cu soluție unică

Sistem 2x2

Fie sistemul liniar

$\left\{{\begin{matrix}12x+3y&=15\\2x-3y&=13\end{matrix}}\right.$

Aplicând regula lui Cramer se obține

${\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}15&3\\{13}&-3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}12&3\\2&-3\end{vmatrix}}}={-84 \over -42}={\color {red}2},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}12&15\\2&{13}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}12&3\\2&-3\end{vmatrix}}}=-{126 \over 42}={\color {red}-3}\end{aligned}}$

Aceste valori pot fi verificate prin substituția lor în ecuațiile inițiale:

$12x+3y=(12\times {\color {red}2})+(3\times ({\color {red}-3}))=24-9=15$

și

$2x-3y=(2\times {\color {red}2})-(3\times ({\color {red}-3}))=4-(-9)=13$

după cum este necesar.

Sistem 3x3

Fie sistemul liniar

$\left\{{\begin{matrix}3x-2y+5z&=\color {red}2\\4x-7y-z&=\color {red}{19}\\5x-6y+4z&=\color {red}{13}\end{matrix}}\right.$

Pentru simplitate, se notează cu A matricea coeficienților:

$A={\begin{bmatrix}3&-2&5\\4&-7&-1\\5&-6&4\end{bmatrix}}$

și

$A_{1}={\begin{bmatrix}\color {red}{2}&-2&5\\\color {red}{19}&-7&-1\\\color {red}{13}&-6&4\end{bmatrix}},\quad A_{2}={\begin{bmatrix}3&\color {red}{2}&5\\4&\color {red}{19}&-1\\5&\color {red}{13}&4\end{bmatrix}},\quad A_{3}={\begin{bmatrix}3&-2&\color {red}{2}\\4&-7&\color {red}{19}\\5&-6&\color {red}{13}\end{bmatrix}}$

Calcularea determinanților necesari printr-o metodă oarecare dă:

$|A|=5,\quad |A_{1}|=-5,\quad |A_{2}|=10,\quad |A_{3}|=5$

Aplicând regula lui Cramer se obține

${\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}A_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}={-5 \over -5}={\color {red}1},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}A_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}={10 \over -5}={\color {red}-2},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}A_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}={5 \over -5}={\color {red}-1}\end{aligned}}$

Aceste valori pot fi verificate prin substituția lor în ecuațiile inițiale:

$3x-2y+5z=(3\times {\color {red}1})-(2\times ({\color {red}-2}))+(5\times ({\color {red}-1}))=3+4-5=2$

$4x-7y-z=(4\times {\color {red}1})-(7\times ({\color {red}-2}))-(1\times ({\color {red}-1}))=4+14+1=19$

$5x-6y+4z=(5\times {\color {red}1})-(6\times ({\color {red}-2}))+(4\times ({\color {red}-1}))=5+12-4=13$

după cum este necesar.

Sisteme cu un număr infinit de soluții

Fie sistemul liniar

$\left\{{\begin{matrix}2x-y&=8\\4x-2y&=16\end{matrix}}\right.$

Se vede că a doua ecuație este un multiplu al primei, ceea ce înseamnă că există o infinitate de soluții. Aplicând regula lui Cramer se obține

${\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}8&-1\\{16}&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1\\4&-2\end{vmatrix}}}={0 \over 0},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}2&8\\4&{16}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1\\4&-2\end{vmatrix}}}={0 \over 0}\end{aligned}}$

care ambele sunt expresii nedefinite.

Sisteme fără soluții

Fie sistemul liniar

$\left\{{\begin{matrix}3x-4y&=1\\3x-4y&=2\end{matrix}}\right.$

Se vede că membrul stâng al ambelor ecuații este identic, dar membrul drept diferă. Rezultă că sistemul este incompatibil, deci nu are soluții. Aplicând regula lui Cramer se obține

${\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}1&-4\\{2}&-4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&-4\\3&-4\end{vmatrix}}}={4 \over 0},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}3&1\\3&{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&-4\\3&-4\end{vmatrix}}}={3 \over 0}\end{aligned}}$

care este nedefinită datorită împărțirii cu zero, dar are numărătorul nenul.

Exemplu de implementare în Python

import numpy as np
from copy import deepcopy

def replace_column(matrix, column, column_index):
    index = 0
    for row_matrix in matrix:
        row_matrix[column_index] = column[index]
        index = index + 1
    return matrix

def cramer(coefficient_matrix: list[list[int]], rhs_column: list[int]):
    """Cramer's_rule."""
    solutions = []
    det_coeff = np.linalg.det(coefficient_matrix)

    column_index = 0
    for rhs_values in rhs_column:
        other_coeff_matrix = replace_column(deepcopy(coefficient_matrix), rhs_column, column_index)
        solutions.append((np.linalg.det(other_coeff_matrix) / det_coeff))
        column_index = column_index + 1

    print("Solutions =", solutions)

cramer([[3, -2, 5], 
        [4, -7, -1], 
        [5, -6, 4]], [2, 19, 13])  # Solutions = [1.0000000000000107, -1.999999999999993, -1.000000000000002]

Vezi și

• Eliminare gaussiană
• Teorema Kronecker-Capelli

Legături externe

• en Proof of Cramer's Rule la PlanetMath
• en Eric W. Weisstein, Regula lui Cramer la MathWorld.

În algebră liniară regula lui Cramer este o formulă explicită pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare cu tot atâtea ecuații câte necunoscute, valabilă ori de câte ori sistemul are o soluție unică. Ea exprimă soluția în funcție de determinanții matricei coeficienților (pătrată) și ai matricilor obținute din aceasta prin înlocuirea unei coloane cu vectorul coloană din membrul drept al ecuațiilor. Este numită după Gabriel Cramer, care a publicat regula pentru un număr arbitrar de necunoscute în 1750, deși Colin Maclaurin a publicat și el în 1748 cazuri particulare ale regulii și probabil că știa de asta încă din 1729.

Regula lui Cramer implementată într-un mod naiv este ineficientă din punct de vedere computațional pentru sistemele cu mai mult de două sau trei ecuații. În cazul a necuații cu n necunoscute este necesar calculul a n + 1 determinanți, în timp ce eliminarea gaussiană obține același rezultat (până la un factor constant independent de $n$) cu aceeași complexitate de calcul^⁠(d) ca și calculul unui singur determinant. Mai mult, algoritmul Bareiss este o modificare simplă a eliminării gaussiene care produce într-un singur calcul o matrice ale cărei elemente nenule sunt determinanții implicați în regula lui Cramer.

Cazul general

Fie un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute, reprezentat sub formă de înmulțire a matricilor după cum urmează:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

unde matricea A n × n are determinantul nenul, iar vectorul $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}$ este vectorul coloană al variabilelor. Atunci teorema afirmă că în acest caz sistemul are o soluție unică, valorile necunoscutelor fiind date de:

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n$

unde $A_{i}$ este matricea formată prin înlocuirea celei de a i-a coloană a lui A cu vectorul coloană b.

O versiune mai generală a regulii lui Cramer consideră ecuația matricială

$AX=B$

unde matricea A n × n aer determinantul nenul, iar X și B sunt matrici n × m. Fiind date secvențele $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n$ și $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq m,$ fie $X_{I,J}$ submatricea k × k a lui X cu liniile în $I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ și coloanele în $J:=(j_{1},\ldots ,j_{k}).$ Fie $A_{B}(I,J)$ matricea n × n formată prin înlocuirea coloanei $i_{s}$ din A cu cea de a $j_{s}$-a coloană din B, pentru toate $s=1,\ldots ,k$. Atunci

$\det X_{I,J}={\frac {\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}}$

În cazul $k=1$ aceasta se reduce la regula lui Cramer obișnuită.

Regula este valabilă pentru sistemele de ecuații cu coeficienți și necunoscute din orice corp, nu doar din cel al numerelor reale.

Demonstrație

Demonstrația regulii lui Cramer folosește următoarele proprietăți ale determinanților: liniaritatea în raport cu orice coloană dată și faptul că determinantul este nul ori de câte ori două coloane sunt egale, ceea ce se datorează proprietății că semnul determinantului se inversează dacă se permută două coloane.

Se alege indicele j al unei coloane și fie ca elementele din celelalte coloane să aibă valori fixe. Aceasta face ca determinantul să fie în funcție doar de elementele din cea de a j-a coloană. Liniaritatea acestei coloane înseamnă că această funcție are forma:

$D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j}$

unde $C_{i,j}$ sunt coeficienți care depind de elementele lui A care nu se află în coloana j. Deci, avem

$\det(A)=D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j}$

(Teorema lui Laplace dă o formulă pentru calcularea coeficienților $C_{i,j},$ dar expresia lor nu este importantă aici.)

Dacă funcția $D_{j}$ este aplicată oricărei alte coloane k din A, atunci rezultatul este determinantul matricei obținute din A prin înlocuirea coloanei j cu o copie a coloanei k, deci determinantul rezultat este nul (cazul a două coloane egale).

Acum fie un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute $x_{1},\ldots ,x_{n},$ a cărui matrice de coeficienți este A, presupunând că det(A) este nenul:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}$

Dacă se combină aceste ecuații luând de C_1,j ori prima ecuație, plus de C_2,j ori a doua și așa mai departe până la de C_n,j ori ultima, atunci pentru fiecare k coeficientul rezultat al lui x_k devine:

$D_{j}(a_{1,k},\ldots ,a_{n,k})$

Deci, toți coeficienții devin zero, cu excepția coeficientului lui $x_{j}$ care devine $\det(A).$ Similar, coeficientul constant devine $D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),$ iar astfel ecuația rezultată este:

$\det(A)x_{j}=D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n})$

care dă valoarea lui $x_{j}$ ca:

$x_{j}={\frac {1}{\det(A)}}D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n})$

Întrucât, prin construcție, numărătorul este determinantul matricei obținute din A prin înlocuirea coloanei j cu b, obținem expresia regulii lui Cramer ca o condiție necesară pentru o soluție.

Rămâne de demonstrat că aceste valori pentru necunoscute formează o soluție. Fie M matricea n × n care are coeficienții lui $D_{j}$ ca a j-a linie, pentru $j=1,\ldots ,n$ (aceasta este matricea conjugată^⁠(d) a lui A). Exprimat în termeni matriciali, trebuie așadar demonstrat că:

$\mathbf {x} ={\frac {1}{\det(A)}}M\mathbf {b}$

este o soluție, adică

$A\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\mathbf {b} =\mathbf {b}$

Pentru asta, este suficient de denonstrat că

$A\,\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)=I_{n}$

unde $I_{n}$ este matricea unitate.

Proprietățile de mai sus ale funcțiilor $D_{j}$ arată că MA = det(A)I_n, prin urmare:

$\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\,A=I_{n}$

Asta completează demonstrația deoarece un invers la stânga al unei matrice pătrate este și un invers la dreapta (v. Teorema matricei inversabile).

Obținerea matricei inverse

Articol principal: Inversarea matricilor

Fie A o matrice n × n cu elemente din corpul F. Atunci

$A\,{\bar {A}}={\bar {A}}\,A=\det(A)I$

unde ${\bar {A}}$ este matricea conjugată, det(A) este determinantul, iar I este matricea unitate. Dacă det(A) este nenul, atunci matricea inversă a lui A este

$A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\bar {A}}$

Aceasta dă o formulă pentru inversa lui A, cu condiția ca det(A) ≠ 0. De fapt, această formulă funcționează ori de câte ori F este un inel comutativ, cu condiția ca det(A) să fie o unitate. Dacă det(A) nu este o unitate, atunci A nu este inversabilă peste inel (poate fi inversabilă peste un inel mai mare în care unele elemente neunitare ale lui F pot fi inversabile).

Aplicații

Relații explicite pentru sisteme mici

Fie sistemul liniar

$\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y&={\color {red}c_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y&={\color {red}c_{2}}\end{matrix}}\right.$

care în format matricial este

${\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}c_{1}}\\{\color {red}c_{2}}\end{bmatrix}}$

Se presupune că a₁b₂ − b₁a₂ nu este nul. Atunci, cu ajutorul determinanților x și y, cu regula lui Cramer se obține:

${\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}{c_{1}}}&b_{1}\\{\color {red}{c_{2}}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}{c_{1}}}\\a_{2}&{\color {red}{c_{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\end{aligned}}$

Regula pentru matrici 3 × 3 este similară. Fie

$\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z&={\color {red}d_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&={\color {red}d_{2}}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&={\color {red}d_{3}}\end{matrix}}\right.$

care în format matricial este

${\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}d_{1}}\\{\color {red}d_{2}}\\{\color {red}d_{3}}\end{bmatrix}}$

Valorile lui x, y și z sunt:

$x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}d_{1}}&b_{1}&c_{1}\\{\color {red}d_{2}}&b_{2}&c_{2}\\{\color {red}d_{3}}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}d_{1}}&c_{1}\\a_{2}&{\color {red}d_{2}}&c_{2}\\a_{3}&{\color {red}d_{3}}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&{\color {red}d_{1}}\\a_{2}&b_{2}&{\color {red}d_{2}}\\a_{3}&b_{3}&{\color {red}d_{3}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}}$

În geometria diferențială

În calculul Ricci

Regula lui Cramer este folosită în calculul Ricci^⁠(d) în diverse calcule cu sinboluri Christoffel^⁠(d) de ordinul întâi și al doilea.

În particular, regula lui Cramer poate fi utilizată pentru a demonstra că operatorul de divergență pe o varietate riemanniană^⁠(d) este invariant în raport cu schimbarea coordonatelor. Iată o demonstrație directă, eliminând rolul simbolurilor Christoffel.

Fie $(M,g)$ o varietate riemanniană cu coordonatele locale $(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}).$ Fie $A=A^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ un câmp vectorial. Se folosește notația Einstein^⁠(d) peste tot.

Teoremă.

Divergența lui $A$,

$\operatorname {div} A={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right)$

este invariantă față de schimbarea de coordonate.

Demonstrație

Fie $(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n})\mapsto ({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n})$ o transformare de coordonate cu Jacobianul⁠(d) nesingular. Atunci legile clasice de transformare a coordonatelor implică faptul că $A={\bar {A}}^{k}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}$ unde ${\bar {A}}^{k}={\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{j}}}A^{j}.$ Similar, dacă $g=g_{mk}\,dx^{m}\otimes dx^{k}={\bar {g}}_{ij}\,d{\bar {x}}^{i}\otimes d{\bar {x}}^{j},$ atunci ${\bar {g}}_{ij}={\frac {\partial x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}g_{mk}.$ Scrierea legii transformării în formă matricială dă ${\bar {g}}=\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\text{T}}g\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right),$ ceea ce implică $\det {\bar {g}}=\left(\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)\right)^{2}\det g.$ Acum se calculează ${\begin{aligned}\operatorname {div} A&={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right)\\&=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}{\bar {A}}^{\ell }\det \!\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\!\!-1}\!{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right)\end{aligned}}$ Pentru a demonstra că aceasta este egală cu ${\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\bar {A}}^{k}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right)$ este necesar și suficient de arătat că ${\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \!\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\!\!\!-1}\right)=0\qquad {\text{pentru toate}}\ell$ ceea ce este echivalent cu ${\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{\ell }}}$ Efectuând derivarea membrului stâng se obține: ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)&=(-1)^{i+j}{\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}\det M(i|j)\\&={\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {(-1)^{i+j}}{\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}}\det M(i|j)=(\ast )\end{aligned}}$ unde $M(i|j)$ este matricea obținută din $\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)$ ștergând a $i$-lea linie și a $j$-a coloană. Dar regula lui Cramer spune că ${\frac {(-1)^{i+j}}{\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}}\det M(i|j)$ este al $(j,i)$-lea element al matricei $\left({\frac {\partial {\bar {x}}}{\partial x}}\right)$ Ca urmare: $(\ast )=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{i}}}$ încheind demonstrația.

Calculul implicit al derivatelor

Fie două ecuații $F(x,y,u,v)=0$ și $G(x,y,u,v)=0\,.$ Dacă u și v sunt variabile independente, se pot defini $x=X(u,v)$ și $y=Y(u,v).$

O ecuație pentru ${\dfrac {\partial x}{\partial u}}$ poate fi obținută cu regula lui Cramer.

Calculul lui ${\dfrac {\partial x}{\partial u}}$

Pentru început, se calculează primele derivate ale lui F, G, x, și y: ${\begin{aligned}dF&={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0\\[6pt]dG&={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0\\[6pt]dx&={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv\\[6pt]dy&={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv\end{aligned}}$ Înlocuind dx, dy în dF și dG se obține: ${\begin{aligned}dF&=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0\\[6pt]dG&=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0\end{aligned}}$ Deoarece u, v sunt independente, coeficienții lui du, dv trebuie să fie nuli. Deci se pot scrie ecuațiile pentru coeficienți: ${\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial F}{\partial u}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial G}{\partial u}}\\[6pt]{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial F}{\partial v}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial G}{\partial v}}\end{aligned}}$ Acum, din regula lui Cramer se observă că: ${\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}$ Aceasta este p relație în fucție de doi jacobieni: ${\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (u,y)}}\right)}{\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (x,y)}}\right)}}$ Formule similare se pot obține pentru ${\frac {\partial x}{\partial v}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial v}}$

În optimizări liniare cu numere întregi

Regula lui Cramer poate fi utilizată pentru a demonstra că o problemă de optimizare liniară cu numere întregi^⁠(d) a cărei matrice de constrângeri este total unimodulară^⁠(d) și a cărui membru drept este un număr întreg, are soluții de bază în numere întregi. Acest lucru face ca problema în numere întregi să fie substanțial mai ușor de rezolvat.

Ecuații diferențiale ordinare

Regula lui Cramer este utilizată pentru a obține soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare neomogene prin metoda variației parametrilor^⁠(d).

Exemple

Sisteme cu soluție unică

Sistem 2x2

Fie sistemul liniar

$\left\{{\begin{matrix}12x+3y&=15\\2x-3y&=13\end{matrix}}\right.$

Aplicând regula lui Cramer se obține

${\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}15&3\\{13}&-3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}12&3\\2&-3\end{vmatrix}}}={-84 \over -42}={\color {red}2},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}12&15\\2&{13}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}12&3\\2&-3\end{vmatrix}}}=-{126 \over 42}={\color {red}-3}\end{aligned}}$

Aceste valori pot fi verificate prin substituția lor în ecuațiile inițiale:

$12x+3y=(12\times {\color {red}2})+(3\times ({\color {red}-3}))=24-9=15$

și

$2x-3y=(2\times {\color {red}2})-(3\times ({\color {red}-3}))=4-(-9)=13$

după cum este necesar.

Sistem 3x3

Fie sistemul liniar

$\left\{{\begin{matrix}3x-2y+5z&=\color {red}2\\4x-7y-z&=\color {red}{19}\\5x-6y+4z&=\color {red}{13}\end{matrix}}\right.$

Pentru simplitate, se notează:

$A={\begin{bmatrix}3&-2&5\\4&-7&-1\\5&-6&4\end{bmatrix}}$

drept matricea coeficienților și

$A_{1}={\begin{bmatrix}\color {red}{2}&-2&5\\\color {red}{19}&-7&-1\\\color {red}{13}&-6&4\end{bmatrix}},\quad A_{2}={\begin{bmatrix}3&\color {red}{2}&5\\4&\color {red}{19}&-1\\5&\color {red}{13}&4\end{bmatrix}},\quad A_{3}={\begin{bmatrix}3&-2&\color {red}{2}\\4&-7&\color {red}{19}\\5&-6&\color {red}{13}\end{bmatrix}}$

Calcularea determinanților necesari printr-o metodă oarecare dă:

$|A|=5,\quad |A_{1}|=-5,\quad |A_{2}|=10,\quad |A_{3}|=5$

Aplicând regula lui Cramer se obține

${\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}A_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}={-5 \over -5}={\color {red}1},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}A_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}={10 \over -5}={\color {red}-2},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}A_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}={5 \over -5}={\color {red}-1}\end{aligned}}$

Aceste valori pot fi verificate prin substituția lor în ecuațiile inițiale:

$3x-2y+5z=(3\times {\color {red}1})-(2\times ({\color {red}-2}))+(5\times ({\color {red}-1}))=3+4-5=2$

$4x-7y-z=(4\times {\color {red}1})-(7\times ({\color {red}-2}))-(1\times ({\color {red}-1}))=4+14+1=19$

$5x-6y+4z=(5\times {\color {red}1})-(6\times ({\color {red}-2}))+(4\times ({\color {red}-1}))=5+12-4=13$

după cum este necesar.

Sisteme cu un număr infinit de soluții

Fie sistemul liniar

$\left\{{\begin{matrix}2x-y&=8\\4x-2y&=16\end{matrix}}\right.$

Se vede că a doua ecuație este un multiplu al primei, ceea ce înseamnă că există o infinitate de soluții. Aplicând regula lui Cramer se obține

${\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}8&-1\\{16}&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1\\4&-2\end{vmatrix}}}={0 \over 0},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}2&8\\4&{16}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1\\4&-2\end{vmatrix}}}={0 \over 0}\end{aligned}}$

care ambele sunt expresii nedefinite.

Sisteme fără soluții

Fie sistemul liniar

$\left\{{\begin{matrix}3x-4y&=1\\3x-4y&=2\end{matrix}}\right.$

Se vede că membrul stâng al ambelor ecuații este identic, dar membrul drept diferă. rezultă că sistemul este incompatibil, deci nu are soluții. Aplicând regula lui Cramer se obține

${\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}1&-4\\{2}&-4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&-4\\3&-4\end{vmatrix}}}={4 \over 0},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}3&1\\3&{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&-4\\3&-4\end{vmatrix}}}={3 \over 0}\end{aligned}}$

care sunt nedefinite datorită împărțirii cu zero, dar au numărătorii nenuli.

Exemplu de implementare în Python

import numpy as np
from copy import deepcopy

def replace_column(matrix, column, column_index):
    index = 0
    for row_matrix in matrix:
        row_matrix[column_index] = column[index]
        index = index + 1
    return matrix

def cramer(coefficient_matrix: list[list[int]], rhs_column: list[int]):
    """Cramer's_rule."""
    solutions = []
    det_coeff = np.linalg.det(coefficient_matrix)

    column_index = 0
    for rhs_values in rhs_column:
        other_coeff_matrix = replace_column(deepcopy(coefficient_matrix), rhs_column, column_index)
        solutions.append((np.linalg.det(other_coeff_matrix) / det_coeff))
        column_index = column_index + 1

    print("Solutions =", solutions)

cramer([[3, -2, 5], 
        [4, -7, -1], 
        [5, -6, 4]], [2, 19, 13])  # Solutions = [1.0000000000000107, -1.999999999999993, -1.000000000000002]

Interpretare geometrică

Interpretarea geometrică a regulii lui Cramer. Ariile celui de-al doilea și celui de-al treilea paralelogram umbrit sunt aceleași, iar al doilea este înmulțit cu $x_{1}\,.$ Din această egalitate rezultă regula lui Cramer.

Regula lui Cramer are o interpretare geometrică ce poate fi considerată și o demonstrație sau pur și simplu o considerație asupra naturii sale geometrice. Aceste argumente geometrice funcționează în general, nu numai în cazul a două ecuații cu două necunoscute, cazul prezentat aici.

Fie sistemul de ecuații

$\left\{{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}\right.$

Acesta poate fi considerat o ecuație vectorială:

$x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}$

Aria paralelogramului determinat de ${\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ și ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ este dată de determinantul sistemului de ecuații:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$

În cazul general în care există mai multe variabile și ecuații, determinantul vectorilor n de lungime n va da volumul paralelipipedului determinat de acești vectori în spațiul euclidian n-dimensional.

Prin urmare, aria paralelogramului determinată de $x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ și ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ trebuie să fie $x_{1}$ ori aria primului, deoarece una dintre laturi a fost înmulțită cu acest factor. Acum, acest ultim paralelogram, conform principiului lui Cavalieri^⁠(d), are aceeași arie ca paralelogramul determinat de ${\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ și ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}.$

Egalând aria acestui ultim paralelogram cu cea a celui de al doilea se obține ecuația:

${\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\a_{21}x_{1}&a_{22}\end{vmatrix}}=x_{1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$

din care rezultă regula lui Cramer.

Alte demonstrații

O demonstrație folosind algebra liniară abstractă

Aceasta este o reformulare a demonstrației de mai sus în limbaj abstract.

Fie aplicația $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {\frac {1}{\det A}}\left(\det(A_{1}),\ldots ,\det(A_{n})\right),$ unde $A_{i}$ este matricea $A$ cu $\mathbf {x}$ substituit în a $i$-a coloană, ca în regula lui Cramer. Datorită liniarității determinantului în fiecare coloană, această aplicație este liniară. Se observă că trimiterea celei de a $i$-a coloană a lui $A$ către al $i$-lea versor $\mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,1,\ldots ,0)$ (cu 1 în a $i$-a poziție), deoarece determinantul unei matrice cu o coloană care se repetă este 0. Deci există o aplicație liniară care este în concordanță cu inversa lui $A$ pe spațiul coloanelor; prin urmare, este în concordanță cu $A^{-1}$ pe tot spațiul coloanelor. Deoarece $A$ este inversabil, vectorii coloană acoperă tot $\mathbb {R} ^{n},$ deci aplicația este de fapt inversa lui $A.$ Rezultă regula lui Cramer.

O demonstrație scurtă

Iată o demonstrație scurtă a regulii lui Cramer poate fi dată observând că $x_{1}$ se bazează pe determinantul matricei

$X_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}&0&0&\cdots &0\\x_{2}&1&0&\cdots &0\\x_{3}&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Se presupune că matricea originală A este inversabilă, această matrice $X_{1}$ are coloanele $A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n},$ unde $\mathbf {v} _{n}$ este a n-a coloană a matricei A. Se reamintește că matricea $A_{1}$ are coloanele $\mathbf {b} ,\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n},$ prin urmare $X_{1}=A^{-1}A_{1}$. Prin urmare, folosind faptul că determinantul produsului a două matrici este produsul determinanților, se obține

$x_{1}=\det(X_{1})=\det(A^{-1})\det(A_{1})={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}$

Demonstrația pentru alte $x_{j}$ este similară.

Cazuri incompatibile și nedeterminate

Despre un sistem de ecuații se spune că este incompatibil^⁠(d) atunci când nu există soluții și că este nedeterminat^⁠(d) atunci când există mai multe soluții. Pentru ecuațiile liniare, un sistem nedeterminat va avea o infinitate de soluții (dacă se află peste un corp infinit), deoarece soluțiile pot fi exprimate în funcție de unul sau mai mulți parametri care pot lua valori arbitrare.

Regula lui Cramer se aplică în cazul în care determinantul matricei coeficienților este nenul. În cazul 2 × 2, dacă determinantul matricei coeficienților este nul, atunci sistemul este incompatibil dacă determinanții de la numărător sunt nenuli sau nedeterminat dacă și determinanții de la numărător sunt nuli.

Pentru sistemele 3 × 3 sau mai mari, singurul lucru care se poate spune atunci când determinantul matricei coeficienților este nul este că, dacă oricare dintre determinanții de la numărător este nenul, atunci sistemul este incompatibil. Totuși, faptul că toți determinanții ar fi nuli nu implică faptul că sistemul este nedeterminat. Un exemplu simplu în care toți determinanții sunt nuli, dar sistemul este în continuare incompatibil este sistemul 3 × 3   x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y + z = 3.

Vezi și

• Eliminare gaussiană
• Teorema Kronecker-Capelli

Legături externe

• en Proof of Cramer's Rule la PlanetMath
• en Eric W. Weisstein, Regula lui Cramer la MathWorld.