Punct șa

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search
Punctul în roșu al graficului funcției asociat unicului punct șa al său (0;0).

În matematici, un punct-șa (în engleză saddle point) al unei funcții f definite pe un produs cartezian X × Y a două mulțimi X și Y este un punct în așa fel încât:

  • atinge un maximum în pe Y;
  • iar atinge un minimum în pe X.

Unii autori inversează maximele și minimele ( cu un minimum în și cu un maximum în ), dar acesata nu schimbă cantitativ rezezultatele (se poate reveni la cazul prezent prin schimbare de variabile).

Termenul punct șa face referire la forma de șa de cal pe care o ia graficul funcției când X și Y sunt intervale din . Uneori se utilizează și denumirea de punct-trecătoare, cu referire la imaginea unei trecători din munte.

Noțiunea de punct-șa intervine:

  • în optimizare, concept care permite enunțarea unor condiții care asigură existența unei soluții primale-duale;
  • în teoria jocurilor / teoria jocurilor;
  • pentru determinarea unor soluții particulare ale unor ecuații care nu sunt de minim sau maxim ale energiei funcționale.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Iată o definiție destul de generală a noțiunii de punct-șa a unei funcții definite pe un produs cartezian de mulțimi. Nicio structură nu este cerută pe aceste mulțimi. Funcția trebuie din contra să-și ia valorile în mulțimea numerelor reale (sau mai general în dreapta reală încheiată ).

Teoremă
Punct șa
Fie X și Y două mulțimi și o funcție care poate lua valorile . Se spune că este un punct-șa al f pe X × Y dacă

În condițiile de mai sus, este numită valoarea-șa a f.

Altfel spus, atinge un maximum în pe Y și atinge un minimum în pe X. Nimic nu este cerut în afara crucii , astfel încât imaginea șeii sau trecătorii să poată fi înșelătoare ca atunci când este definită de f(x,y)=x[1]y[2] (toate punctele axei ordonatelor sunt puncte-șa).

Referințe și note[modificare | modificare sursă]

  • en Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H; Fristedt, Bert (), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, p. 375, ISBN 0-387-97388-5 
  • en Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (), Geometry and the Imagination (ed. 2nd), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 
  • en von Petersdorff, Tobias (), „Critical Points of Autonomous Systems”, Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes) 
  • en Widder, D. V. (), Advanced calculus, New York: Dover Publications, p. 128, ISBN 0-486-66103-2 
  • en Agarwal, A., Study on the Nash Equilibrium (Lecture Notes) 

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Commons
Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de Punct șa