În algebra liniară , produsul extern ,[1] produsul diadic [1] vectori de coordonate este o matrice . Dacă cei doi vectori au dimensiunile n și m , atunci produsul lor exterior este o matrice n × m . Mai general, având în vedere doi tensori (matrici multidimensionale), produsul lor extern este un tensor. Produsul extern al tensorilor este denumit și produsul tensorial (d algebra tensorială (d
Produsul extern diferă de:
Fiind dați doi vectori de dimensiunile
m
×
1
{\displaystyle m\times 1}
n
×
1
{\displaystyle n\times 1}
u
=
[
u
1
u
2
⋮
u
m
]
,
v
=
[
v
1
v
2
⋮
v
n
]
{\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}
produsul lor extern, notat
u
⊗
v
,
{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ,}
este matricea
A
m
×
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{m\times n}}
obținută prin înmulțirea fiecărui element al
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
cu fiecare element al
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
:
[2]
u
⊗
v
=
A
=
[
u
1
v
1
u
1
v
2
…
u
1
v
n
u
2
v
1
u
2
v
2
…
u
2
v
n
⋮
⋮
⋱
⋮
u
m
v
1
u
m
v
2
…
u
m
v
n
]
{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}}
Sau, în notație indexată :
(
u
⊗
v
)
i
j
=
u
i
v
j
{\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}}
Notând produsul scalar cu
⋅
,
{\displaystyle \,\cdot ,\,}
w
n
×
1
,
{\displaystyle \mathbf {w} _{n\times 1},}
(
u
⊗
v
)
w
=
(
v
⋅
w
)
u
.
{\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\mathbf {w} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u} .}
x
1
×
m
,
{\displaystyle \mathbf {x} _{1\times m},}
x
(
u
⊗
v
)
=
(
x
⋅
u
)
v
T
.
{\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }.}
Dacă
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
det
(
u
⊗
v
)
=
0
.
{\displaystyle \det(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=0\,.}
Produsul extern
u
⊗
v
{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }
înmulțirea matricilor
u
v
T
,
{\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{\operatorname {T} },}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
vector coloană
m
×
1
{\displaystyle m\times 1}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
n
×
1
{\displaystyle n\times 1}
vectorul linie
v
T
{\displaystyle \mathbf {v} ^{\operatorname {T} }}
[3] [4]
m
=
4
{\displaystyle m=4}
n
=
3
,
{\displaystyle n=3,}
[5]
u
⊗
v
=
u
v
T
=
[
u
1
u
2
u
3
u
4
]
[
v
1
v
2
v
3
]
=
[
u
1
v
1
u
1
v
2
u
1
v
3
u
2
v
1
u
2
v
2
u
2
v
3
u
3
v
1
u
3
v
2
u
3
v
3
u
4
v
1
u
4
v
2
u
4
v
3
]
.
{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}.}
Pentru vectori complecși este adesea util să se ia adjuncta lui
v
,
{\displaystyle \mathbf {v} ,}
v
†
{\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }}
(
v
T
)
∗
{\displaystyle \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}}
u
⊗
v
=
u
v
†
=
u
(
v
T
)
∗
.
{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }=\mathbf {u} \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}.}
Dacă
m
=
n
,
{\displaystyle m=n,}
1
×
1
{\displaystyle 1\times 1}
⟨
u
,
v
⟩
=
u
T
v
{\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v} }
care este produsul intern standard pentru spații vectoriale euclidiene,[4] produs scalar . Produsul scalar este urma produsului extern.[6]
Înmulțirea unui vector
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
u
⊗
v
{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }
(
u
⊗
v
)
w
=
u
⟨
v
,
w
⟩
{\displaystyle \left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \right)\mathbf {w} =\mathbf {u} \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \right\rangle }
Fiind dați doi tensori,
u
,
v
,
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,}
(
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
{\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})}
(
l
1
,
l
2
,
…
,
l
n
)
{\displaystyle (l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}
u
⊗
v
{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }
(
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
,
l
1
,
l
2
,
…
,
l
n
)
{\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m},l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}
(
u
⊗
v
)
i
1
,
i
2
,
…
i
m
,
j
1
,
j
2
,
…
,
j
n
=
u
i
1
,
i
2
,
…
,
i
m
v
j
1
,
j
2
,
…
,
j
n
{\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1},i_{2},\dots i_{m},j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}=u_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}}
De exemplu, dacă
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
(
3
,
5
,
7
)
{\displaystyle (3,5,7)}
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
(
10
,
100
)
,
{\displaystyle (10,100),}
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
(
3
,
5
,
7
,
10
,
100
)
.
{\displaystyle (3,5,7,10,100).}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A [2, 2, 4] = 11
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
B [8, 88] = 13
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
C [2, 2, 4, 8, 88] = 143
^ a b Emil Petre, Optimizări , Cap. 1 Introducere în problematica optimizării sistemelor, (curs, 2008), Universitatea din Craiova , p. 1–11, accesat 2023-04-13, (arhivat )
^ en Lerner, R. G. ; Trigg, G. L. (1991 ). Encyclopaedia of Physics ISBN 0-89573-752-3 . ^ en Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009 ). Linear Algebra . Schaum’s Outlines (ed. 4th). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1 . ^ a b en Keller, Frank (23 februarie 2020 ). „Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product” (PDF) . inf.ed.ac.uk . Accesat în 6 septembrie 2020 .
^ en James M. Ortega (1987) Matrix Theory: A Second Course , page 7, Plenum Press, ISBN: 0-306-42433-9 ^ en Stengel, Robert F. (1994 ). Optimal Control and Estimation ISBN 0-486-68200-5 . 
(ed. 2nd). VHC. ISBN 0-89573-752-3.
