Problemă bine pusă

În matematică o problemă bine pusă este una pentru care sunt îndeplinite următoarele proprietăți:

1. Problema are o soluție.
2. Soluția este unică.
3. Comportamentul soluției se schimbă continuu odată cu condițiile inițiale.

Exemple de probleme bine puse tipice sunt ecuația lui Laplace cu condiții la limită Dirichlet și ecuația propagării căldurii cu condiții inițiale specificate. Acestea ar putea fi considerate probleme „naturale” prin faptul că există procese fizice modelate de aceste probleme.

Problemele care nu sunt bine puse în sensul de mai sus sunt denumite rău puse. Un exemplu simplu este o problemă de optimizare globală^⁠(d), deoarece poziția optimelor nu este, în general, o funcție continuă a parametrilor care specifică obiectivul, chiar și atunci când obiectivul în sine este o funcție netedă de acești parametri. Problemele inverse^⁠(d) sunt adesea rău puse. De exemplu inversa ecuației propagării căldurii, prin care se deduce o distribuție anterioară a temperaturii din datele finale, nu este bine pusă deoarece soluția este foarte sensibilă la modificările datelor finale.

Modelele mediilor continue trebuie adesea discretizate^⁠(d) pentru a obține o soluție numerică. Deși soluțiile pot fi continue în funcție de condițiile inițiale, ele pot suferi de instabilitate numerică atunci când sunt rezolvate cu precizie finită sau cu erori în date.

Condiționare

Chiar dacă o problemă este bine pusă, ea poate fi, totuși, rău condiționată^⁠(d), ceea ce înseamnă că o mică eroare în datele inițiale poate duce la erori mult mai mari în răspunsuri. Problemele din sistemele complexe neliniare (așa-numitele sisteme haotice) oferă exemple binecunoscute de instabilitate. O problemă rău condiționată este indicată de un număr de condiționare^⁠(d) mare.

Dacă problema este bine pusă, atunci are șanse mari de rezolvare pe un computer care utilizează un algoritm stabil. Dacă nu este bine pusă, pentru tratarea numerică trebuie reformulată. De obicei, aceasta presupune includerea unor ipoteze suplimentare, cum ar fi netezimea^⁠(d) soluției. Acest proces este cunoscut sub numele de regularizare^⁠(d). Regularizarea Tihonov este una dintre cele mai frecvent utilizate metode pentru regularizarea problemelor liniare rău puse.

Existența soluțiilor locale

Existența soluțiilor locale este adesea o parte importantă a problemei de bine punere și este fundamentul multor metode de estimare, de exemplu metoda energetică.

Există numeroase rezultate pe această temă. De exemplu, teorema Cauchy-Kowalevski^⁠(d) pentru problemele cu valori inițiale Cauchy afirmă în esență că, dacă termenii dintr-o ecuație cu derivate parțiale sunt toți formați din funcții analitice și este îndeplinită o anumită condiție de transversalitate (hiperplanul sau, mai general, hipersuprafața unde sunt poziționate datele inițiale trebuie să nu fie caracteristică^⁠(d) pentru operatorul de derivare parțială), atunci în anumite regiuni există în mod necesar soluții care sunt și ele funcții analitice. Acesta este un rezultat fundamental în studiul ecuațiilor cu derivate parțiale analitice. Surprinzător, teorema nu este valabilă în contextul funcțiilor netede. Hans Lewy a descoperit în 1957 un exemplu dei ecuație cu derivate parțiale liniară ai cărei coeficienți sunt netezi (adică au derivate de toate ordinele), dar nu sunt analitici, la care ecuație nu există vreo soluție. Prin urmare, teorema Cauchy-Kowalevski este în mod necesar limitată în domeniul său de aplicare la funcțiile analitice.

Metoda energetică

Metoda energetică este utilă pentru stabilirea atât a unicității, cât și a continuității în raport cu condițiile inițiale (adică nu stabilește existența). Metoda se bazează pe derivarea unei limite superioare a unei funcționale de tip energie pentru o problemă dată.

Exemplu

Se consideră ecuația difuziei pe un interval unitate cu condiții la limită Dirichlet omogene și date inițiale adecvate $f(x)$ (de exemplu, pentru care $f(0)=f(1)=0$).

${\begin{aligned}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{aligned}}$

Înmulțind ecuația $u_{t}=Du_{xx}$ cu $u$ și integrând peste intervalul unitate se obține:

${\begin{aligned}&&\int _{0}^{1}uu_{t}dx&=D\int _{0}^{1}uu_{xx}dx\\\Longrightarrow &&\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\partial _{t}u^{2}dx&=Duu_{x}{\Big |}_{0}^{1}-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\\\Longrightarrow &&{\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}&=0-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\leq 0\end{aligned}}$

Asta spune că $\|u\|_{2}$ (p-norma) nu poate crește în timp. Înmulțind cu 2 și integrând în timp, de la $0$ la $t,$ se obține:

$\|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}$

Rezultatul este energia estimată pentru această problemă.

Pentru a demonstra unicitatea soluțiilor, fie două soluții distincte la problemă, notate $u$ și $v,$ fiecare satisfacând aceleași date inițiale. Prin definirea $w=u-v,$ datorită liniarității ecuațiilor se constată că $w$ satisface

${\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}$

Aplicând energia estimată rezultă $\|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0,$ ceea ce implică $u=v$ (aproape peste tot^⁠(d)).

Similar, pentru a demonstra continuitatea în raport cu condițiile inițiale, fie $u$ și $v$ soluții corespunzătoare unor date inițiale diferite $u(x,0)=f(x)$ și $v(x,0)=g(x).$ Considerând încă o dată $w=u-v$, se constată că $w$ satisface aceleași ecuații ca mai sus, dar cu $w(x,0)=f(x)-g(x).$ Aceasta duce la estimarea energiei $\|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}$ care stabilește continuitatea (adică, pe măsură ce $f$ și $g$ se apropie, măsurate prin norma $L^{2}$ a diferenței lor, atunci $\|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0$).

Principiul maximului^⁠(d) este o abordare alternativă pentru a stabili unicitatea și continuitatea soluțiilor în funcție de condițiile inițiale pentru acest exemplu. Existența soluțiilor la această problemă poate fi stabilită folosind serii Fourier.

Teoria semigrupului

Dacă este posibil să se noteze soluția unei probleme Cauchy ${\frac {\partial u}{\partial t}}=Au,u(0)=u_{0}{\text{ (1)}},$ unde A este un operator liniar care aplică un subspațiu liniar dens D(A) al X pe X, cu $u(t)=S(t)u_{0},$ unde $\{S(t);t\geq 0\}$ este o familie de operatori liniari pe X, satisfăcând

• $S(0)=I$
• $S(a+b)=S(a)S(b)=S(b)S(a)$ pentru orice $a,b\geq 0$
• $t\mapsto S(t)w$ este continuă pentru orice $w$ din $X$
• ${\frac {d}{dt}}S(t)w=AS(t)w$ pentru orice $w$ din $X$

atunci (1) este bine pusă.

Teorema Hille–Yosida^⁠(d) enunță criteriile pentru A ca o astfel de $\{S(t);t\geq 0\}$ să existe.

Lectură suplimentară

• fr Hadamard, Jacques (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. Princeton University Bulletin. pp. 49–52. 
• en Parker, Sybil B., ed. (1989) [1974]. McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms (ed. 4th). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-045270-9. 
• en Tikhonov, A. N.; Arsenin, V. Y. (1977). Solutions of ill-Posed Problems. New York: Winston. ISBN 0-470-99124-0. 
• en Strauss, Walter A. (2008). Partial differential equations; An introduction (ed. 2nd). Hoboken: Wiley. ISBN 978-0470-05456-7. 
• en Evans, Lawrence C. (1998). Partial differential equations (PDF). Providence (R. I.): American mathematical society. ISBN 0-8218-0772-2.