Principiul lui D'Alembert

Parte a seriei de articole despre
Mecanică clasică
${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ Principiul al II-lea al mecanicii
Istorie Cronologie
Ramuri Cinematică Dinamică Mecanică cerească aplicată a mediilor continue statistică Statică
Concepte Accelerație Energie cinetică potențială de rotație Forță aparentă contact frecare suprafață volum Impuls Inerție Lucru mecanic virtual Masă Moment cinetic de inerție Principiul lui D'Alembert Putere Randament mecanic Sistem de referință inerțial neinerțial Spațiu Timp Viteză relativă
Formulări Legile lui Newton Mecanică analitică Mecanică lagrangiană Mecanică hamiltoniană Ecuația Hamilton–Jacobi
Subiecte de bază Deplasare Legea atracției universale Mișcare ecuații armonică rectilinie Solid rigid
Rotație Rotație Sistem de referință în rotație Viteză unghiulară Accelerație unghiulară Forță centripetă centrifugă Forța Coriolis Frecvență Oscilație oscilator armonic amortizare Pendul conic Vibrație
Oameni de știință Galileo Huygens Newton Kepler Horrocks Halley Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Cauchy
Categorii Mecanică clasică

Traité de dynamique de Jean le Rond D'Alembert, 1743. În el, savantul francez a enunțat principiul cantității de mișcare, cunoscut și sub numele de „principiul lui D’Alembert”.

Jean le Rond D'Alembert

În mecanica clasică principiul lui D'Alembert, cunoscut și sub numele de principiul Lagrange-D'Alembert, este o enunțare a legilor fundamentale ale mișcării din fizica clasică. Este numit astfel după descoperitorii săi, fizicianul și matematicianul francez Jean le Rond D'Alembert și matematicianul italo-francez Joseph Louis Lagrange. Principiul lui D'Alembert generalizează principiul lucrului mecanic virtual de la statică la sisteme dinamice prin introducerea unor forțe inerțiale care, atunci când sunt adăugate la forțele aplicate dintr-un sistem, au ca rezultat un echilibru dinamic.

Principiul lui D'Alembert poate fi aplicat în cazuri de constrângeri cinematice^⁠(d) care depind de viteze. Principiul nu se aplică la deplasări ireversibile, cum ar fi frecarea prin alunecare, fiind necesară o specificare mai generală a ireversibilității.

Formularea principiului

Principiul afirmă că suma diferențelor dintre forțele care acționează asupra unui sistem de particule cu masă și derivatele temporale ale impulsului sistemului însuși proiectate asupra oricărei deplasări virtuale compatibile cu constrângerile sistemului este nulă. Astfel, în notație matematică, principiul lui D'Alembert se scrie:

$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,,$

unde: $i$ este un indice care indică o anumită particulă din sistem,

$\mathbf {F} _{i}$ este forța totală (fără forțele de constrângere) aplicată particulei $i,$

$m_{i}$ este masa particulei $i,$

$\mathbf {v} _{i}$ este viteza particulei $i,$

$\delta \mathbf {r} _{i}$ este deplasarea virtuală compatibilă cu constrângerile particulei $i.$

Notația cu punct a lui Newton este utilizată pentru a reprezenta derivata în raport cu timpul. Ecuația de mai sus este adesea numită principiul lui D'Alembert, dar a fost scrisă pentru prima dată în această formă variațională de Joseph Louis Lagrange. Contribuția lui D'Alembert a fost demonstrarea faptului că, în sistemul dinamic ca întreg, forțele de constrângere se anulează. Adică, forțele generalizate $\mathbf {Q} _{j}$ nu trebuie neapărat să includă forțele de constrângere. Este echivalent cu principiul constrângerii minime al lui Gauss^⁠(d), care este ceva mai complex.

Obținere

Cazul general cu masă variabilă

Enunțul general al principiului lui D'Alembert menționează „derivata temporală a impulsului sistemului”. Conform celei de-a doua legi a lui Newton, prima derivată temporală a impulsului este forța. Impulsul celei de-a $i$-a mase este produsul dintre masă și viteza sa:

$\mathbf {p} _{i}=m_{i}\mathbf {v} _{i}$

iar derivata sa temporală este

${\dot {\mathbf {p} }}_{i}={\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}+m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}$

În multe aplicații, masele sunt constante și această ecuație se reduce la:

${\dot {\mathbf {p} }}_{i}=m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}$

Totuși, în unele aplicații masele variază (ex. lanțurile care sunt rulate sau derulate) și, în aceste cazuri, ambii termeni ${\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}$ și $m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}$ trebuie să rămână, obținându-se:

$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Dacă masa variabilă este ejctată cu viteza $\mathbf {w} _{i},$ principiul are un termen suplimentar:

$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}-{\dot {m}}_{i}(\mathbf {v} _{i}-\mathbf {w} _{i}))\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Cazul particular cu masă constantă

Fie legea lui Newton pentru un sistem de $i$ particule cu masă constantă. Forța totală asupra fiecărei particule este:

$\mathbf {F} _{i}^{(T)}=m_{i}\mathbf {a} _{i}$

unde: $\mathbf {F} _{i}^{(T)}$ sunt forțele totale care acționează asupra particulelor sistemului,

$m_{i}\mathbf {a} _{i}$ sunt forțele inerțiale care rezultă din forțele totale.

Trecerea forțelor inerțiale în membrul stâng dă o expresie care poate fi considerată a reprezenta echilibrul cvasistatic, dar care este de fapt doar o mică manipulare algebrică a legii lui Newton:

$\mathbf {F} _{i}^{(T)}-m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {0}$

Lucrul mecanic virtual, $\delta L,$ efectuat de forțele totale și inerțiale împreună la o deplasare virtuală arbitrară a sistemului, $\delta \mathbf {r} _{i},$ conduce la o identitate zero, deoarece suma forțelor implicate este nulă pentru fiecare particulă.

$\delta L=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Ecuația vectorială originală ar putea fi recuperată prin recunoașterea faptului că expresia lucrului mecanic trebuie să fie valabilă pentru deplasări arbitrare. Separând forțele totale în forțe aplicate, $\mathbf {F} _{i},$ și forțe de constrângere, $\mathbf {C} _{i},$ duce la:

$\delta L=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Dacă se presupune că deplasările virtuale arbitrare sunt în direcții ortogonale cu forțele de constrângere (ceea ce nu este de obicei cazul, deci această situație este valabilă doar în cazuri particulare), forțele de constrângere nu efectuează niciun lucru mecanic, ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,.}$ Astfel de deplasări se spune că sunt consistente cu constrângerile. Aceasta duce la formularea principiului lui d'Alembert, care afirmă că diferența dintre forțele aplicate și forțele inerțiale pentru un sistem dinamic nu efectuează lucrul mecanic virtual:

$\delta L=\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Principiul forțelor de inerție al lui D'Alembert

D'Alembert a arătat că se poate transforma un corp rigid accelerat într-un sistem static echivalent prin adăugarea așa-numitei „forță inerțială” și a „momentului inerțial”. Forța inerțială trebuie să acționeze asupra centrului de masă, iar momentul inerțial poate acționa oriunde. Sistemul poate fi apoi analizat exact ca un sistem static supus acestei „forțe și moment inerțiale” și forțelor externe. Avantajul este că în sistemul static echivalent se pot calcula momentele în oricare punct (nu doar în centrul de masă). Acest lucru duce adesea la calcule mai simple, deoarece orice forță (la rândul ei) poate fi eliminată din ecuațiile momentelor prin alegerea punctului adecvat în jurul căruia se aplică ecuația momentelor (suma momentelor = zero). Chiar și în cursul fundamentelor dinamicii și a cinematicii mașinilor, acest principiu ajută la analiza forțelor care acționează asupra unei verigi a unui mecanism atunci când este în mișcare. În manualele de dinamică inginerească, acest lucru este uneori denumit „principiul lui D'Alembert”.

Unii profesori atrag atenția că în utilizarea mecanicii inerțiale D'Alembert, studenții greșesc adesea semnul. O potențială cauză a acestor greșeli este semnul forțelor inerțiale. Acestea pot fi folosite pentru a descrie o forță aparentă într-un sistem de referință neinerțial^⁠(d), care are o accelerație $\mathbf {a}$ în raport cu un sistem de referință inerțial. Într-un astfel de cadru de referință neinerțial o masă care este în repaus și are accelerație nulă într-un sistem de referință inerțial, deoarece asupra ei nu acționează nicio forță, va avea în continuare o accelerație $-\mathbf {a}$ și va părea că o forță aparentă inerțială $-m\mathbf {a}$ acționează asupra ei. În această situație, forța inerțială are semnul minus.

Echilibru dinamic

Forma lui d'Alembert a principiului lucrului mecanic virtual afirmă că un sistem de corpuri rigide este în echilibru dinamic atunci când lucrul mecanic virtual al sumei forțelor aplicate și a forțelor inerțiale este nulă pentru orice deplasare virtuală a sistemului. Astfel, echilibrul dinamic al unui sistem de n corpuri rigide cu m coordonate generalizate necesită

$\delta L=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0$

pentru orice set de deplasări virtuale $\delta q_{j},$ unde $Q_{j}$ sunt forțele generalizate aplicate, iar $Q_{j}^{*}$ sunt forțele inerțiale generalizate. Din acestă condiție rezultă $m$ ecuații:

$Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\,\ldots \,,\,m$

care pot fi scrise ca:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\,\ldots \,,\,m$

Rezultatul este un set de m ecuații de mișcare care definesc dinamica sistemului rigid.

Formularea folosind lagrangianul

Principiul lui d'Alembert poate fi rescris folosind lagrangianul sistemului ${\mathcal {L}}=T-V$ sistemului, ca o versiune generalizată a principiului lui Hamilton^⁠(d) pentru cazul particulelor punctuale:

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,$

unde $\mathbf {r} =(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{N}),$

$\mathbf {F} _{i}$ sunt forțele aplicate,

$\delta \mathbf {r} _{i}$ sunt deplasările virtuale ale color $i$ particule, consistente cu constrângerile $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,,$

curba critică satisface constrângerile $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0$

Cu lagrangianul

${\mathcal {L}}(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2},$

se ajunge la precedenta formă a principiului lui D'Alembert.

Generalizarea în termodinamică

O dezvoltare a principiului lui D'Alembert poate fi utilizată în termodinamică. De exemplu, pentru un sistem termodinamic închis adiabatic descris de un lagrangian care depinde de o entropie unică, S, și cu mase constante, $m_{i},$ cum ar fi:

${\mathcal {L}}(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}-V(\mathbf {r} ,S)$

se poate scrie:

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0$

unde constrângerile precedente ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ și ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$ sunt generalizate pentru a cuprinde entropia ca:

$\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+T\delta S=0$

$\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}+T{\dot {S}}=0$

unde $T=\partial V/\partial S$ este temperatura sistemului, $\mathbf {F} _{i}$ sunt forțele externe, iar $\mathbf {C} _{i}$ sunt forțele disipative interne. Rezultă ecuațiile de bilanț mecanic și termic:

$m_{i}\mathbf {a} _{i}=-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{i}}}+\mathbf {C} _{i}+\mathbf {F} _{i},\;\;i=1,...,N\qquad \qquad T{\dot {S}}=-\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}$

Aplicații tipice ale principiului susnt sistemele termomecanice, transportul prin membrane și reacțiile chimice.

Pentru $\delta S={\dot {S}}=0$ se regăsesc ecuațiile și principiul lui D'Alembert clasic.