Principiul acțiunii minime

În fizică principiul acțiunii minime afirmă că dinamica unei mărimi fizice (poziția, viteza și accelerația unei particule sau valorile unui câmp în orice punct din spațiu și variațiile acestora) poate fi dedusă dintr-o singură mărime numită acțiune presupunând că valorile dinamice permit acțiunii să aibă o valoare optimă între două momente de timp date (valoarea este minimă atunci când cele două momente sunt suficient de apropiate).

Majoritatea ecuațiilor fundamentale ale fizicii pot fi formulate pornind de la principiul acțiunii minime. Acesta este cazul în special în mecanica clasică, electromagnetism, teoria relativității generale și teoria cuantică a câmpurilor.

Istoric

În 1915 David Hilbert a demonstrat ecuațiile gravitației din teoria relativității generale cu ajutorul principiului acțiunii minime. (Fotografie din 1912)

Ideea că o traiectorie minimizează o durată sau o lungime a fost propusă pentru prima dată de Pierre de Fermat în jurul anului 1655, în timpul studiului său de optică (vezi Principiul lui Fermat). Deși l-a interesat și pe Gottfried Wilhelm Leibniz,^[1] Pierre Louis Maupertuis a fost cel care în jurul anului 1740 a avansat formularea textuală și matematică a unui „principiu al acțiunii minime” pentru mecanică. Leonhard Euler, dezvoltând analiza matematică, a început să reformuleze acest principiu, dar Joseph-Louis Lagrange a fost cel care i-a dat forma definitivă în 1755, pentru a-l trata apoi ca o simplă consecință a mecanicii sale analitice.^[2]

În 1827 William Rowan Hamilton, căutând să aplice acest principiu în optică, a dezvoltat o nouă abordare bazată pe studiul energiei prin metoda analitică: mecanica hamiltoniană, pe care Carl Gustav Jacob Jacobi o va rafina în jurul anului 1840.^[2]

De la formularea sa, acest principiu a ghidat mulți oameni de știință în cercetările lor, în special pe Louis de Broglie în jurul anului 1920 în lucrarea sa asupra teoriei cuantice. În 1915 David Hilbert a demonstrat ecuațiile gravitației relativității generale folosind principiul (Albert Einstein le-a găsit printr-o altă metodă), iar Richard Feynman a propus în 1942 o nouă formulare a principiului, în teza sa de doctorat intitulată Principiul acțiunii minime în mecanica cuantică, permițând o rescriere a mecanicii cuantice.^[2]

Formularea istorică

Maupertuis a definit principiul acțiunii minime pentru mecanică în memoriile sale despre Acordul diferitelor legi ale naturii care până acum păreau incompatibile, publicate în Memoriile Academiei de Științe din Paris din 15 aprilie 1744:^[3]^[4]

„Lorsqu’il arrive quelque changement dans la nature, la quantité d’action, nécessaire pour ce changement, est la plus petite qui soit possible.”

în limba română:

„Când are loc orice schimbare în natură, cantitatea de acțiune necesară pentru această schimbare este cea mai mică posibilă.”

Acest principiu și-a dezvăluit întreaga valoare grație lucrărilor lui Euler, Lagrange, Hamilton, Jacobi și Helmholtz, care au arătat ulterior că, contrar opiniei metafizice a lui Maupertuis, acesta este un principiu extrem, maximo-minim, nu un minim absolut. Anterior Leibniz introdusese idei similare, inclusiv înțelegerea faptului că este un principiu extrem.^[1]

Metoda variațională și interpretările fizicii clasice

Interpretarea Euler–Lagrange a acțiunii

Acțiunea este prezentată ca însumarea de-a lungul traiectoriei sistemului a diferenței dintre energia cinetică și energia potențială. Acțiunea sistemului este $S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}-V\right)dt,$ unde $t$ este timpul. Determinarea traiectoriei se face printr-o metodă variațională: punctele extreme fiind fixe, la fel și timpul de parcurs, se variază traiectoriile, iar traiectoriile admise fizic sunt cele pentru care acțiunea este staționară în raport cu variațiile minuscule ale traiectoriei.

Această metodă are ca rezultat ecuațiile Euler-Lagrange^⁠(d) care tratează drumuri pe care acțiunea nu este întotdeauna minimă în comparație cu altele apropiate și admisibile matematic, dar sunt uneori puncte șa: acțiunea este staționară pentru variații infinitezimale ale drumului și este maximă pentru anumite tipuri de variații, în timp ce este minimă pentru altele. În toate cazurile, aceste drumuri respectă condițiile fizice și sunt, prin urmare, realiste. Totuși, de-a lungul fiecăruia dintre ele, dacă două puncte sunt suficient de apropiate (măsurat prin lungimea care le separă pe drum), atunci se poate demonstra că între ele acest drum „minimizează” acțiunea în metoda variațională.^[5]^[6], ceea ce justifică numele principiului.

Aceasta poate fi interpretată ca echivalentă cu următoarele două condiții:

traiectoria urmată de un corp este cea care permite transformarea instantanee a energiei cinetice în energie potențială cât mai mică posibil (și prin urmare și cea mai lentă de-a lungul traiectoriei), sau transformarea imediată a energiei potențiale în cea mai mare energie cinetică posibilă (și prin urmare cea mai rapidă posibilă de-a lungul traiectoriei);
transformarea (și prin urmare traiectoria) este determinată de condițiile inițiale (poziție și viteză) și de condițiile mediului fizic: trebuie să existe continuitate a traiectoriei dacă există continuitate a mediului fizic.

Uneori există un schimb ciclic între aceste două energii (pendul fără frecare, satelit cu orbită eliptică etc.) sau o stabilizare temporară (bilă nemișcată sau plasată pe fundul unei adâncituri, satelit cu orbită circulară etc.).

Căderea liberă a unui corp este un exemplu tipic de transformare a energiei potențiale (gravitaționale) în energie cinetică. Încetinirea și oprirea (înainte de cădere) a unui corp aruncat vertical este un exemplu de transformare inversă.

Frecarea necesită o transformare mai complicată deoarece generează căldură, care este energia cinetică a moleculelor, dar, neglijând această formă de energie, se poate utiliza principiul acțiunii minime considerând că energia cinetică se pierde (părăsește sistemul studiat). Prin definiție, forțele care pot fi luate în considerare în principiul acțiunii minime sunt forțe conservative, adică provin dintr-o energie potențială; tocmai această energie potențială intervine în principiul acțiunii minime. În cazul forțelor neconservative, așa cum este cazul frecării, este necesar să se modifice principiul acțiunii minime sau, echivalent, ecuațiile Euler–Lagrange prin introducerea unei funcții disipative.^[7]

Interpretarea Hamilton–Jacobi a acțiunii

Definiția acțiunii de către Maupertuis, ca „produsul masei cu viteza și spațiul”, corespunzător unui câmp conservativ unde energia totală este o constantă, este astăzi numită acțiune redusă^[8]. Această acțiune $S_{0}(\mathbf {x} )$ într-un punct $\mathbf {x}$ în spațiu este egală cu:

S_{0}(\mathbf {x} )=m\mathbf {v} \cdot \mathbf {x}

adică, viteza unei particule sau a unui obiect cu masa $m$ în punctul $\mathbf {x}$ este dată de:^[8]^[9]

\mathbf {v} ={\frac {\nabla S_{0}(\mathbf {x} )}{m}}

Aceasta înseamnă că acțiunea redusă „conduce” particula. În plus, acțiunea este un câmp potențial, adică o valoare este definită în toate punctele din spațiu (în figura alăturată cu cât albastrul este mai deschis, cu atât acțiunea este mai mare); prin urmare, gradientul acțiunii definește un câmp de viteze (săgețile din figura alăturată). Acțiunea redusă nu definește doar o singură traiectorie, ci un flux de traiectorii care sunt ortogonale pe suprafețele $S_{0}=constant,$ adică $\mathbf {v} \propto \nabla S_{0}\,.$ Este suficient să se dea unei particule o poziție inițială, după care traiectoria sa este dată de câmpul de viteze.^[8]

Energie totală constantă

În cazul în care asupra particulei acționează un potențial independent de timp, $V(\mathbf {x} ,t)=V(\mathbf {x} ),$ energia totală $E={\frac {1}{2}}mv^{2}+V(\mathbf {x} )$ este constantă și acțiunea totală $S(\mathbf {x} ,t),$ în funcție de poziția $\mathbf {x}$ și timpul $t$ , se scrie drept funcția de acțiune redusă ca:

S(\mathbf {x} ,t)=-Et+S_{0}(\mathbf {x} )

Energie totală variabilă

În cazul în care asupra particulei acționează un potențial $V(\mathbf {x} ,t)$ care depinde de timp, energia totală nu mai este constantă, iar acțiunea totală $S(\mathbf {x} ,t)$ nu mai verifică relația precedentă, ci ecuația Hamilton–Jacobi:^[8]

{\frac {\partial S(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\frac {1}{2m}}(\nabla S(\mathbf {x} ,t))^{2}+V(\mathbf {x} ,t)=0

cu condiția inițială :

S({\textbf {x}},0)=S_{0}({\textbf {x}})

unde acțiunea inițială $S_{0}({\textbf {x}})$ este acțiunea redusă care definește câmpul de viteze inițial. Această condiție inițială a equației Hamilton–Jacobi este diferită de cea a ecuației lui Euler–Lagrange, care nu definește poziția inițială. Această condiție generalizează acțiunea redusă în cazul în care energia totală este variabilă. În particular, ea „conduce” viteza particulei, după care este definit gradientul câmpului de viteze în fiecare punct $(\mathbf {x} ,t)$ :

|

\mathbf {v} \left(\mathbf {x,} t\right)={\frac {\mathbf {\nabla } S\left(\mathbf {x,} t\right)}{m}}

Este o problemă metafizică ?

Prezentarea actuală a principiului acțiunii minime folosește ipoteza a două puncte fixe pe traiectoria obiectului în mișcare: un punct de plecare și un punct final. Acest lucru a fost adesea criticat ca fiind utilizarea în raționament a unei „cauze din final”, ceea ce este contrar cauzalității^⁠(d), care în fizică urmează săgeata timpului.

Această presupunere a cunoașterii a priori a capetelor corespunde formulării actuale a acțiunii, care duce la ecuațiile Euler–Lagrange, unde poziția inițială $\mathbf {x} _{0}$ la momentul inițial $t_{0}$ al sistemului este cunoscută, dar nu și viteza inițială ${\textbf {v}}_{0}.$ Aceasta va fi cunoscută doar la după rezolvarea ecuațiilor Euler–Lagrange, care utilizează poziția finală $\mathbf {x} _{1}$ la momentul $t_{1}.$ În cazul unei particule libere, această viteză inițială va fi $\mathbf {v} _{0}=(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{0})/(t_{1}-t_{0}),$ care depinde de o cauză finală, valoarea $\mathbf {x} _{1}$ în momentul $t_{1}.$ Aceasta este principala critică metafizică adusă principiului acțiunii minime, încă de la crearea sa de către Maupertuis.

Din punct de vedere al calculului, utilizarea unei cauze finale (punctul de sosire) nu reprezintă o problemă deoarece în practică viteza inițială este cunoscută și se poate adesea inversa rezultatul ecuațiilor Euler–Lagrange și exprima poziția finală în funcție de viteza inițială, ca în cazul particulei libere: $\mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} _{0}(t_{1}-t_{0}).$

Totuși, din punct de vedere teoretic, pentru a evita recurgerea la cauza din final, este necesar să se utilizeze cealaltă formulare, cu ecuațiile Hamilton–Jacobi. În acest caz se presupune că acțiunea inițială Hamilton–Jacobi $S_{0}(\mathbf {x} )$ este cunoscută, prin urmare că viteza inițială în poziția inițială $\mathbf {x} _{0}$ este și ea cunoscută și egală cu:

\mathbf {v} _{0}=\mathbf {v} \left(\mathbf {x} _{0}\right)={\frac {\mathbf {\nabla } S_{0}\left(\mathbf {x} _{0}\right)}{m}}

Demonstrație

Înainte de Lagrange acest principiu a fost conceput din considerații metafizice, independent de orice alt principiu fizic. În 1756 Lagrange a dat principiului acțiunii minime expresia matematică care este valabilă și astăzi. El a dezvoltat mecanica analitică și în lucrarea sa din 1788 a demonstrat acest principiu pornind de la „principiul vitezelor virtuale” (numit și principiul lui D'Alembert). „Principiul vitezelor virtuale” exprimă principiul fundamental al dinamicii al lui Newton prin separarea constrângerilor sistemului fizic (limitarea în spațiu, rigidități etc.) și a fenomenelor externe sau interne care acționează asupra sistemului).^[10]

Această demonstrație pune capăt întrebărilor metafizice despre principiul acțiunii minime: principiul este echivalent cu un principiu fizic al lui Newton, nesupus criticii metafizice, iar „cauza din final” este atunci înțeleasă ca un artificiu matematic.

Acțiunea clasică și cea relativistă

În funcție de sistemul studiat și de cadrul teoretic în care este considerat, expresia matematică a principiului acțiunii minime se modifică ușor.

Este unul dintre puținele principii care au supraviețuit numeroaselor transformări ale fizicii, dar rareori a fost sursa unei descoperiri: este mai degrabă folosit pentru a reformula sau redemonstra legi descoperite prin alte mijloace. Cea mai mare contribuție a sa a fost aceea de a-l inspira pe W. R. Hamilton în elaborarea mecanicii hamiltoniene.

În fizica relativistă ecuațiile Euler–Lagrange rămân neschimbate, dar lagrangianul nu mai este egal cu diferența dintre energia cinetică și energia potențială. De fapt, din relativitate a reieșit că principiul acțiunii minime se bazează pe existența unei traiectorii continue, parametrizate de timp, care minimizează o funcție sau diferența dintre funcțiile sistemului studiat, determinate din principii generale, cum ar fi:

întrucât traiectoria în spațiu-timp nu depinde de sistemul de referință din care este observată, acțiunea care o determină, precum și funcțiile care formează acțiunea, sunt invariante la schimbările sistemului de referință;
independența corpurilor implică aditivitatea acțiunilor lor și a lagrangienilor lor, astfel încât traiectoriile pot fi determinate separat prin aplicarea metodei variaționale.

Se pare că, dacă în fizica clasică aceste funcții ale sistemului sunt energiile cinetică și potențială, acest lucru nu mai este valabil în teoria relativității.

În fizica relativistă, în absența unui câmp electromagnetic se demonstrează că funcția corpului care este minimizată în principiu este deosebit de simplă: este $-mc\tau$ , unde $\tau$ este „timpul propriu” al traiectoriei, care este atât timpul care curge în sistemul de referință al corpului pe parcursul traiectoriei, cât și lungimea traiectoriei măsurată prin metrica spațiului: aceasta echivalează cu maximizarea „timpului propriu”, datorită semnului „−” și a constanței masei $m$ și vitezei luminii $c.$

Un câmp electromagnetic determină diferențe în traiectoriile corpurilor, în funcție de sarcini și de distribuția lor. Și, la fel ca în fizica clasică, toate ecuațiile pot fi obținute fără principiul acțiunii minime.

Formularea în mecanica cuantică

Pentru a găsi o formulare mai simplă a electrodinamicii cuantice, în jurul anului 1940 Richard Feynman a căutat o formulare a principiului acțiunii minime în mecanica cuantică. Soluția i-a fost sugerată de o idee pe care Paul Dirac o avusese^[11] și fusese publicată într-un articol.^[12]^[13]

Principiul a permis astfel o reformulare a acestei ramuri a fizicii sub forma unei integrale de drum, care s-a dovedit a fi mai simplă decât formularea hamiltoniană pentru electrodinamica cuantică. Această formulare a dat naștere la interpretări de genul „particula testează toate drumurile posibile cu probabilități diferite”.^[14]

Același articol al lui Dirac l-a condus și pe Julian Schwinger la principiul acțiunii cuantic^[15] conform căruia variația operatorului de evoluție^⁠(d) între două stări cuantice este proporțională cu variația acțiunii lagrangianului.

\delta \langle a_{1},t_{1}|a_{2},t_{2}\rangle =i\left\langle a_{1},t_{1}{\Bigg |}\delta \left[\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(t)dt\right]{\Bigg |}a_{2},t_{2}\right\rangle

unde $\langle a_{1},t_{1}|a_{2},t_{2}\rangle$ reprezintă elementul de matrice al operatorului de evoluție $U(t_{1},t_{2})$ între starea inițială $|a_{2},t_{2}\rangle$ și cea finală $|a_{1},t_{1}\rangle$ , iar ${\mathcal {L}}(t)$ este lagrangianul. Principiul acțiunii poate fi demonstrat din integrala de drum^⁠(d) Feynman^[16] și reciproc, integrala Feynman poate fi dedusă din principiul acțiunii cuantic.^[17] Cele două formulări sunt echivalente, cea a lui Feynman fiind forma integrală, iar cea a lui Schwinger forma diferențială.

Așa cum era de așteptat, integrala de drum permite găsirea la limită a formulării clasice, iar drumul care face ca acțiunea clasică să fie extremă este o particularitate a integralei: doar acesta contribuie semnificativ la integrală.

Note

^ ^a ^b fr Gottfried Wilhelm Leibniz, Lettre sur la Continuité et la Dynamique à Varignon, 16 octobre 1707 și
Essai anagogique dans la recherche des causes, 1697
^ ^a ^b ^c Florence Martin-Robine, 2006
^ fr Samueli, Jean-Jacques; Moatti, Alexandre (mai 2012). „Euler en défense de Maupertuis à propos du principe de moindre action”. Bibnum, Physique. doi:10.4000/bibnum.797. Accesat în 25 iunie 2025.
^ fr Essay de cosmologie. 1750. p. 144.
^ Gignoux, Silvestre-Brac, 2002, cap. 3 (p. 117–134) și exercițiile E3.4 și E3.5, p. 144–145
^ fr Lev Landau, Evgueni Lifchits, Physique théorique, tom. 1 : Mécanique, §2, nota din subsol
^ fr Lev Landau, Physique Statistique
^ ^a ^b ^c ^d fr Jean-Louis Basdevant, Le principe de moindre action et les principes variationnels en physique, Paris: Vuibert, 2010, pp. 87–88, ISBN: 978-2-311-00244-7
^ en Cornelius Lánczos, The Variational Principles of Mechanics, University of Toronto Press, 1952, p. 240, ISBN: 0-8020-1743-6
^ Gignoux, Silvestre-Brac, 2002, cap. 2 (demonstrația)
^ en Paul Dirac, "The Lagrangian in Quantum Mechanics", Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion, vol. 3, 1933, p. 64
^ Florence Martin-Robine, 2006, pp. 206–209
^ fr Richard Feynman, Conférence Nobel, dans La nature de la physique, Seuil, 1980
^ Florence Martin-Robine, 2006, p. 209
^ en Julian Schwinger, Quantum mechanics"] Universitatea din Grenoble, iulie 1955, p. 34
^ en Jean Bernard Zuber, Claude Itzykson, Quantum field theory], McGraw-Hill International Book Co., 1980 ISBN: 0-07-032071-3, {{isbn|978-0-07-032071-0}, OCLC 4494256, pp. 429–430. Retrieved 2022-05-21
^ en K. A. Milton, "Schwinger's quantum action principle : from Dirac's formulation through Feynman's path integrals, the Schwinger-Keldysh method, quantum field theory, to source theory", 2015, ISBN: 978-3-319-20128-3, ISBN: 3-319-20128-X, {{|isbn|3-319-20127-1}}, OCLC 911054478. Retrieved 2022-05-26

Bibliografie

fr Florence Martin-Robine, Histoire du principe de moindre action: Trois siècles de principes variationnels de Fermat à Feynman, Paris: Vuibert, 2006, ISBN: 2-7117-7151-2
fr Claude Gignoux, Bernard Silvestre-Brac, Mécanique : De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, Les Ulis: EDP-Sciences, 2002, ISBN: 2-86883-584-8

Lectură suplimentară

fr Jean-Louis Basdevant, Principes variationnels & dynamique, Paris: Vuibert, 2005, ISBN: 2-7117-7172-5
fr Pierre Brunet, Étude historique sur le principe de la moindre action, Actualités scientifiques et industrielles, Académie internationale d’histoire des sciences, Paris, Hermann, 1938
fr Paul Schrecker, Notes sur l'evolution du principe de la moindre action, Isis, sept. 1941, pp. 329–334
de Hermann von Helmholtz, Zur Geschichte des Princips der kleinsten Action, Preußische Akademie der Wissenschaften, 1887

Vezi și

Legături externe

fr Euler en défense de Maupertuis, Sur le principe de la moindre action (1753), en ligne et analysé sur le site BibNum.
fr Claude Cohen-Tannoudji, Forme lagrangienne de la mécanique quantique, cours de 1966 à l'ENS

Portal Fizică

fr „La fabuleuse histoire du principe de moindre action : de Fermat à Feynman” (vid). Canal U. 23 noiembrie 2013.

[Leibn-1] r Gottfried Wilhelm Leibniz, Lettre sur la Continuité et la Dynamique à Varignon, 16 octobre 1707 și
Essai anagogique dans la recherche des causes, 1697

[HPMA-2] Florence Martin-Robine, 2006

[Samueli-3] r Samueli, Jean-Jacques; Moatti, Alexandre (mai 2012). „Euler en défense de Maupertuis à propos du principe de moindre action”. Bibnum, Physique. doi:10.4000/bibnum.797. Accesat în 25 iunie 2025.

[4] r Essay de cosmologie. 1750. p. 144.

[5] Gignoux, Silvestre-Brac, 2002, cap. 3 (p. 117–134) și exercițiile E3.4 și E3.5, p. 144–145

[6] r Lev Landau, Evgueni Lifchits, Physique théorique, tom. 1 : Mécanique, §2, nota din subsol

[7] r Lev Landau, Physique Statistique

[basdevant-8] r Jean-Louis Basdevant, Le principe de moindre action et les principes variationnels en physique, Paris: Vuibert, 2010, pp. 87–88, ISBN: 978-2-311-00244-7

[9] Cornelius Lánczos, The Variational Principles of Mechanics, University of Toronto Press, 1952, p. 240, ISBN: 0-8020-1743-6

[10] Gignoux, Silvestre-Brac, 2002, cap. 2 (demonstrația)

[11] Paul Dirac, "The Lagrangian in Quantum Mechanics", Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion, vol. 3, 1933, p. 64

[12] Florence Martin-Robine, 2006, pp. 206–209

[13] r Richard Feynman, Conférence Nobel, dans La nature de la physique, Seuil, 1980

[14] Florence Martin-Robine, 2006, p. 209

[15] Julian Schwinger, Quantum mechanics"] Universitatea din Grenoble, iulie 1955, p. 34

[16] Jean Bernard Zuber, Claude Itzykson, Quantum field theory], McGraw-Hill International Book Co., 1980 ISBN: 0-07-032071-3, {{isbn|978-0-07-032071-0}, OCLC 4494256, pp. 429–430. Retrieved 2022-05-21

[17] K. A. Milton, "Schwinger's quantum action principle : from Dirac's formulation through Feynman's path integrals, the Schwinger-Keldysh method, quantum field theory, to source theory", 2015, ISBN: 978-3-319-20128-3, ISBN: 3-319-20128-X, {{|isbn|3-319-20127-1}}, OCLC 911054478. Retrieved 2022-05-26

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]