Matricea Vandermonde

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În algebră, o matrice Vandermonde, numită după Alexandre-Théophile Vandermonde, este o matrice de forma[1]:

V=\begin{bmatrix}
1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}
\end{bmatrix}

Determinantul unei matrici pătratice Vandermonde (m=n) poate fi exprimat astfel:[2]

\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i).

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Calculând determinantul cu formula lui Leibniz:

 \det(V) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n \alpha_i^{\sigma(i)-1},

unde Sn înseamnă mulțimea permutărilor lui \mathbb{Z} \cap [1, n], iar sgn(σ) este signatura permutării

Se demonstrează prin inducție că:

 \det(V) =\prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)

Pentru (n=2), se verifică imediat. Pentru (n>2), executăm operația elementară

 C_{i}  C_{i} - (\alpha_1 \times C_{i-1})

asupra coloanelor, scăzând din coloana n coloana (n-1) înmulțită cu coeficientul \alpha_1, apoi din coloana (n-1) coloana (n-2) înmulțită cu \alpha_1..., din coloana 2 coloana 1 înmulțită cu \alpha_1, - astfel încât în final pe prima linie să rămână 1 numai în poziția (1,1) și în rest zerouri. Determinantul rămâne neschimbat, și egal cu:

\det(V)=\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & \dots & 0\\
1 & \alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\
1 & \alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\
\vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\
1 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\\
\end{vmatrix}


Dezvoltând după prima linie:

\det(V)= 1 \times \begin{vmatrix}
\alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\
\alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
\alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\\
\end{vmatrix}

Conform proprietății de multiliniaritate a determinantului:

\det(V)=
(\alpha_2-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_1)\dots(\alpha_n-\alpha_1)
\begin{vmatrix}
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-2}\\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-2}\\
1 & \alpha_4 & \alpha_4^2 & \dots & \alpha_4^{n-2}\\
\vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\
1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-2}\\
\end{vmatrix}

de unde, prin inducție matematică, se obține rezultatul cerut.

Referințe[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in matrix analysis, Cambridge University Press. See Section 6.1
  2. ^ http://www.proofwiki.org/wiki/Vandermonde_Determinant